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| Aufgabe | Berechnen Sie die Fourierkoeffizienten (für die Darstellung der Funktion mittels Fourierreihe) eines Sägezahnsignals mit der Periode T, der Höhe h und der Breite b. Bei einer der Spitzen (Zahnpunkte) sei t = 0 (siehe Abbildung).
Kann man eine Aussage über die Abhängigkeit der Fourierkoeffizienten von ihrer Ordnung n machen?
[Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo,
ich hab mir zu dieser Aufgabenstellung schon ein paar Gedanken gemacht, bin mir aber nicht sicher ob das so stimmt.
Folgendes hab ich mir überlegt:
Eine Fourierreihe ist definiert als:
$f(t) = [mm] \frac{a_0}{2} [/mm] + [mm] \sum_{k=1}^{\infty}{(a_k \cdot cos(k\omega t) + b_k \cdot sin(k\omega t))}$
[/mm]
mit den Fourierkoeffizienten [mm] $a_k$ [/mm] und [mm] $b_k$: [/mm]
[mm] $a_0 [/mm] = [mm] \frac{2}{T} \int_0^T{f(t) dt}$
[/mm]
[mm] $a_k [/mm] = [mm] \frac{2}{T} \int_{0}^T{f(t) \cdot cos(k\omega t) dt}$
[/mm]
[mm] $b_k [/mm] = [mm] \frac{2}{T} \int_{0}^T{f(t) \cdot sin(k\omega t) dt}$
[/mm]
Die Integrale hätte ich nun so angesetzt:
[mm] $a_0 [/mm] = 2 [mm] \cdot \frac{2}{T} \int_0^{b/2}{(\frac{-2h}{b}\cdot t + h) dt}$
[/mm]
[mm] $a_k [/mm] = [mm] 2\cdot \frac{2}{T} \int_{0}^{b/2}{(\frac{-2h}{b}\cdot t + h) \cdot cos(k\omega t) dt}$
[/mm]
[mm] $b_k [/mm] = [mm] 2\cdot \frac{2}{T} \int_{0}^{b/2}{(\frac{-2h}{b}\cdot t + h) \cdot sin(k\omega t) dt}$
[/mm]
Wie ich die Integrale berechne ist mir klar, nur bin ich mir nicht ganz sicher, ob ich diese richtig aufgestellt habe.
Ich würd mich freuen, wenn jemand mal kurz einen Blick darauf werfen könnte.
Danke!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:09 Mi 02.01.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo Schluchti,
prinzipiell ist das Okay. Wenn Du die Funktion mal periodisch fortsetzt, wirst Du sehen, dass diese Funktion zur y-Achse periodisch ist und dass demzufolge keine ungeraden Funktionen, das sind die Sinusfunktionen, zur Funktionsbeschreibung beitragen können. Rechne es mal aus, die [mm] b_k [/mm] müssten alle als Ergebnis Null liefern.
Viele Grüße,
Infinit
P.S.: Und denke an [mm] \omega = \bruch{2 \pi}{T} [/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:11 Mi 02.01.2013 | | Autor: | Schluchti |
Hallo Infinit,
danke für die Antwort, das beruhigt mich. Ich hab nämlich mit Mathematica die Fourierreihe geplottet und da hat das etwas komisch ausgesehen. Aber ich werd mich da nochmal dransetzen und mich bei Bedarf nochmal melden.
Danke!
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Hi,
ich hab jetzt nochmal versucht mit Mathematica die durch die Fourierreihe angenäherte Funktion zu plotten, doch irgendwie sieht das Ergebnis bei mir anders aus.
Im ersten Plot sieht man die Originalfunktion und im zweiten die durch die Fourierreihe angenäherte Funktion.
Hat jemand nen Tipp für mich, warum das so komisch aussieht?
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:06 Fr 04.01.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo Schluchti,
hier hast Du eine Diskrepanz zwischen der von Dir geplotteten Funktion zwischen t = -1 und t=1 und den Fourier-Koeffizienten, die Du für Bereiche größer Null bestimmst. Plotte mal die Fourierannäherung über eine volle Periode, also bis t =5. Da sollte die ansteigende Flanke wieder auftauchen.
Viele Grüße,
Infinit
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Hallo Infinit,
das dachte ich auch, doch wenn ich die Funktion etwas weiter plotte (also zum Beispiel bis t = 8), dann ergibt sich folgendes: Datei-Anhang
Sollte die Funktion hier nicht mit einer Steigung ansteigen? Für mich sieht das irgendwie so aus, als würde die Funktion schwingen(?) und dann als wäre dort eine Sprungstelle?
Schöne Grüße
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:53 Fr 04.01.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo schluchti,
bevor wir hier weiter diskutieren, möchte ich doch noch mal auf den Begriff des Sägezahns zurückkommen, den ich so verstehe, wie Du die Kurve für positive Zeiten aufgezeichnet hast. Am Ende des Intervalls springt der Wert von 0 auf h und fällt dann wieder ab. Was Du gezeichnet hast, ist jedoch eine Dreiecksfunktion, zumindest kenne ich sie unter diesem Namen. Sollte also wirklich ein Sägezahn gemeint sein, so wie von mir beschrieben,dann wäre ja alles in Ordnung.
Viele Grüße,
Infinit
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Hallo Infinit,
ich kannte unter dem Begriff Sägezahn bisher auch nur die Form, die von 0 auf h springt und dann wieder abfällt.
Ich hab jetzt nochmal in der Angabe nachgelesen und da ist mir noch folgender Satz aufgefallen: "Bedenken Sie, dass es sich dabei um einen symmetrischen Sägezahn handelt, bei dem Vorder - und Hinterkante jedes Zahns den gleichen Anstieg haben." Das hatte ich ganz vergessen dazuzuschreiben, sorry!
Die Skizze des Professors sieht genauso aus wie die im Ursprungspost von mir. Ich hab sie nur abgezeichnet, um nicht gegen das Copyright zu verstoßen.
Schöne Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:58 Sa 05.01.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo Schluchti,
entwickele doch bitte mal die Funktion innerhalb der Intervallgrenzen in eine Fourierreihe. Dazu müsst Du über die gesamte Periode integrieren und das heisst, a) der Faktor 2 vor dem Integral fällt weg und b) Du musst auch noch über die ansteigende Sägezahnflanke integrieren mit den Grenzen zwischen T-b/2 und T. Damit sollte auf jeden Fall die Funktion richtig angenähert werden im Bereich zwischen 0 und T.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:08 Mo 07.01.2013 | | Autor: | Schluchti |
Hallo Infinit,
danke für die Antwort! Der Fehler lag bei Mathematica. Aus irgendeinem Grund hat das Programm den Fourierkoeffizienten [mm] $b_k$ [/mm] falsch berechnet. Nachdem ich diesen (wie du schon vorher vorgeschlagen hattest) händisch auf 0 gesetzt habe, sieht das ganze nun wunderbar aus.
Ich danke dir für deine Hilfe!
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