Sätze zeigen. Ansatz? < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:56 Mo 08.11.2010 | | Autor: | Manu87 |
Ich verstehe immer noch nicht was ich machen muss. ;-D
[mm] \cap [/mm] und [mm] \cup [/mm] sollen diese komischen Operatoren aus der Definition darstellen.
1.eine idee:
a [mm] \cap [/mm] b = a [mm] \to [/mm] ( a [mm] \le [/mm] b ) [mm] \to [/mm] a [mm] \cup [/mm] b = b
a [mm] \cup [/mm] b = b [mm] \to [/mm] ( a [mm] \le [/mm] b ) [mm] \to [/mm] a [mm] \cap [/mm] b = a
a [mm] \cap [/mm] b = a [mm] \gdw [/mm] a [mm] \cup [/mm] b = b
andere idee:
a [mm] \cap [/mm] b = a
[mm] \gdw [/mm] a [mm] \cap [/mm] b = a [mm] \cap [/mm] ( a [mm] \cup [/mm] b )
Nach Absortionsgesetz die rechte Seite ersetzt. Jetz habe ich hier fast das Ergebnis stehen. Nur weiß ich nicht ob ich a auf beiden Seiten einfach zur folgenden Zeile wegkürzen kann.
[mm] \gdw [/mm] b = a [mm] \cup [/mm] b
Beim Rest brauche ich immernoch Hilfe weil ich nicht immernoch keinen Ansatz habe :-(
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:48 Mo 08.11.2010 | | Autor: | MathePower |
Hallo Manu87,
> ![[]](/images/popup.gif) Datei-Anhang
>
> Ich verstehe nicht was ich machen muss.
>
> 1.
> a [mm]\cap[/mm] b = a [mm]\to[/mm] ( a [mm]\le[/mm] b ) [mm]\to[/mm] a [mm]\cup[/mm] b = b
> a [mm]\cup[/mm] b = b [mm]\to[/mm] ( a [mm]\le[/mm] b ) [mm]\to[/mm] a [mm]\cap[/mm] b = a
> a [mm]\cap[/mm] b = a [mm]\gdw[/mm] a [mm]\cup[/mm] b = b
>
> Ist das so richtig?
>
> Beim Rest brauche ich Hilfe weil ich nicht einmal einen
> Ansatz habe
>
Um Dir helfen zu können, benötigen wir die Definitionen von
[mm]x \cap y[/mm],
[mm]x \cup y[/mm],
[mm]x^{c}[/mm].
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Hallo Manu87,
>
> Definition
> Aufgabe
>
>
> Ich verstehe immer noch nicht was ich machen muss. ;-D
> [mm]\cap[/mm] und [mm]\cup[/mm] sollen diese komischen Operatoren aus der
> Definition darstellen.
>
> 1.eine idee:
> a [mm]\cap[/mm] b = a [mm]\to[/mm] ( a [mm]\le[/mm] b ) [mm]\to[/mm] a [mm]\cup[/mm] b = b
> a [mm]\cup[/mm] b = b [mm]\to[/mm] ( a [mm]\le[/mm] b ) [mm]\to[/mm] a [mm]\cap[/mm] b = a
> a [mm]\cap[/mm] b = a [mm]\gdw[/mm] a [mm]\cup[/mm] b = b
>
> andere idee:
> a [mm]\cap[/mm] b = a
> [mm]\gdw[/mm] a [mm]\cap[/mm] b = a [mm]\cap[/mm] ( a [mm]\cup[/mm] b )
>
> Nach Absortionsgesetz die rechte Seite ersetzt. Jetz habe
> ich hier fast das Ergebnis stehen. Nur weiß ich nicht ob
> ich a auf beiden Seiten einfach zur folgenden Zeile
> wegkürzen kann.
>
> [mm]\gdw[/mm] b = a [mm]\cup[/mm] b
>
> Beim Rest brauche ich immernoch Hilfe weil ich nicht
> immernoch keinen Ansatz habe :-(
>
Das Stichwort bei den Aufgaben b) und d) lautet "Komplementierung".
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:03 Di 09.11.2010 | | Autor: | Manu87 |
Okay b) kann ich mir vorstellen, wie aber den Rest. Och werde den Rest morgen beitragen . Ich bin schon eingeschlafen ;-D
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Okay b) kann ich mir vorstellen, wie aber den Rest. Och
> werde den Rest morgen beitragen . Ich bin schon
> eingeschlafen ;-D
Du musst dich bloß an den Definitionen entlang hangeln.
zB. a)
zz.: [mm]a\sqcup b \ = \ b \ \gdw \ a\sqcap b \ = \ a[/mm]
Dazu zeigst du beide Richtungen [mm]\Rightarrow[/mm] und [mm]\Leftarrow[/mm]
zuerst [mm]\Rightarrow[/mm]:
Gelte also [mm]a\sqcup b \ = \ b[/mm]
Zeigen müssen wir, dass dann gilt: [mm]a\sqcap b \ = \ a[/mm]
Mit [mm]\blue{a\sqcup b} \ = \ \red{b}[/mm] ist aber [mm]a\sqcap \red{b} \ = \ a\sqcap \blue{(a\sqcup b)}[/mm]
Und dieses Gesetz steht auf dem Definitionsblatt.
Was kommt raus?
Nun versuche den Rest ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:51 Di 09.11.2010 | | Autor: | Manu87 |
> zz.: [mm]a\sqcup b \ = \ b \ \gdw \ a\sqcap b \ = \ a[/mm]
> Dazu zeigst du beide Richtungen [mm]\Rightarrow[/mm] und [mm]\Leftarrow[/mm]
> zuerst [mm]\Rightarrow[/mm]:
> Gelte also [mm]a\sqcup b \ = \ b[/mm]
> Zeigen müssen wir, dass dann gilt: [mm]a\sqcap b \ = \ a[/mm]
Bis hier alles klar.
> Mit [mm]\blue{a\sqcup b} \ = \ \red{b}[/mm] ist aber [mm]a\sqcap \red{b} \ = \ a\sqcap \blue{(a\sqcup b)}[/mm]
> Und dieses Gesetz steht auf dem Definitionsblatt.
Aber wo steht diese Definiton? Ich verstehe nicht ganz worauf du hinaus willst.
[mm]a\sqcap \red{b} \ = \ a\sqcap \blue{(a\sqcup b)}[/mm]
Kann ich hier das a einfach rauskürzen?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> > zz.: [mm]a\sqcup b \ = \ b \ \gdw \ a\sqcap b \ = \ a[/mm]
> > Dazu
> zeigst du beide Richtungen [mm]\Rightarrow[/mm] und [mm]\Leftarrow[/mm]
> > zuerst [mm]\Rightarrow[/mm]:
> > Gelte also [mm]a\sqcup b \ = \ b[/mm]
> > Zeigen müssen wir, dass
> dann gilt: [mm]a\sqcap b \ = \ a[/mm]
> Bis hier alles klar.
> > Mit [mm]\blue{a\sqcup b} \ = \ \red{b}[/mm] ist aber [mm]a\sqcap \red{b} \ = \ a\sqcap \blue{(a\sqcup b)}[/mm]
>
> > Und dieses Gesetz steht auf dem Definitionsblatt.
>
> Aber wo steht diese Definiton?
(1.4)
> Ich verstehe nicht ganz
> worauf du hinaus willst.
> [mm]a\sqcap \red{b} \ = \ a\sqcap \blue{(a\sqcup b)}[/mm]
> Kann ich
> hier das a einfach rauskürzen?
Ich verstehe nicht ganz, was du meinst ...
Für diese Beweisrichtung ist die Voraussetzung [mm]a\sqcup b \ = \ b[/mm]
zu zeigen ist [mm]a\sqcap b \ = \ a[/mm]
Also [mm]a\sqcap b \ = \ a\sqcap (a\sqcup b)[/mm] : nach Voraussetzung b durch [mm]a\sqcup b[/mm] ersetzt.
Nach der Absorptionsregel (1.4) ist nun [mm]a\sqcap (a\sqcup b) \ = \ a[/mm]
Und genau das war doch zu zeigen ...
Gruß
schschuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:52 Di 09.11.2010 | | Autor: | Manu87 |
Also:
Bahauptung:
$a [mm] \sqcap [/mm] b = a [mm] \gdw [/mm] a [mm] \sqcup [/mm] b = b$
Beweis von $a [mm] \sqcap [/mm] b = a [mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \sqcup [/mm] b = b$
Induktionsvoraussetzung:
$a [mm] \sqcap [/mm] b = a$ und $a [mm] \sqcup [/mm] b = b$ sind gültig.
Indunktionsschritt:
$a [mm] \sqcap [/mm] b = a$
$a [mm] \sqcap [/mm] b = a [mm] \sqcap [/mm] (a [mm] \sqcup [/mm] b)$ nach 1.4
$a [mm] \sqcap [/mm] (a [mm] \sqcup [/mm] b) [mm] \overset{\text{IV}}{=} [/mm] a [mm] \sqcap [/mm] (a [mm] \sqcup [/mm] b)$
Beweis von $a [mm] \sqcup [/mm] b = b [mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \sqcap [/mm] b = a$
Induktionsvoraussetzung:
$a [mm] \sqcap [/mm] b = a$ und $a [mm] \sqcup [/mm] b = b$ sind gültig.
Indunktionsschritt:
$a [mm] \sqcup [/mm] b = b$
$a [mm] \sqcup [/mm] b = b [mm] \sqcup [/mm] (b [mm] \sqcap [/mm] a)$ nach 1.4
$(a [mm] \sqcap [/mm] b) [mm] \sqcup [/mm] b [mm] \overset{\text{IV}}{=} [/mm] b [mm] \sqcup [/mm] (b [mm] \sqcap [/mm] a)$
Aus $a [mm] \sqcup [/mm] b = b [mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \sqcap [/mm] b = a$ und $a [mm] \sqcap [/mm] b = a [mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \sqcup [/mm] b = b$
folgta [mm] $\sqcap [/mm] b = a [mm] \gdw [/mm] a [mm] \sqcup [/mm] b = b$
[mm] \Box
[/mm]
So ist es dann richtig oder?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
was machst du denn da??
Wozu ne Induktion und über welche Variable denn?
> Also:
>
>
> Bahauptung:
> [mm]a \sqcap b = a \gdw a \sqcup b = b[/mm]
>
> Beweis von [mm]a \sqcap b = a \Rightarrow a \sqcup b = b[/mm]
>
> Induktionsvoraussetzung:
> [mm]a \sqcap b = a[/mm] und [mm]a \sqcup b = b[/mm] sind gültig.
Unsinn!
Bei einem Beweis [mm]p\Rightarrow q[/mm] ist [mm]p[/mm] Voraussetzung, [mm]q[/mm] ist zu zeigen.
Hier ist allein [mm]a\sqcap b=a[/mm] Voraussetzung
Aus der Gültigkeit dieser Vorraussetzung ist [mm]a\sqcup b=b[/mm] zu folgern.
Und das ohne Induktion oder anderen komplizierten Kram, einfach aus den in der Definition gegebenen (Rechen-)Regeln
> Indunktionsschritt:
Gelte
> [mm]\red{a \sqcap b = a}[/mm]
Wir müssen nun zeigen: [mm]a\sqcup b=b[/mm]
Nehmen wir die linke Seite her und formen sie um, bis $...=b$ herauskommt:
Mit der gegebenen roten Voraussetzung gilt [mm]\red{a}\sqcup b=\red{(a\sqcap b)}\sqcup b[/mm] (einfach das erste [mm]a[/mm] durch den Ausdruck [mm]a\sqcap b[/mm] ersetzt, die sind ja nach Vor. gleich)
Nun wende auf [mm]\red{(a\sqcap b)}\sqcup b[/mm] wieder (1.4) an.
> [mm]a \sqcap b = a \sqcap (a \sqcup b)[/mm]
> nach 1.4
> [mm]a \sqcap (a \sqcup b) \overset{\text{IV}}{=} a \sqcap (a \sqcup b)[/mm]
>
> Beweis von [mm]a \sqcup b = b \Rightarrow a \sqcap b = a[/mm]
>
> Induktionsvoraussetzung:
> [mm]a \sqcap b = a[/mm] und [mm]a \sqcup b = b[/mm] sind gültig.
> Indunktionsschritt:
> [mm]a \sqcup b = b[/mm]
> [mm]a \sqcup b = b \sqcup (b \sqcap a)[/mm]
> nach 1.4
> [mm](a \sqcap b) \sqcup b \overset{\text{IV}}{=} b \sqcup (b \sqcap a)[/mm]
>
> Aus [mm]a \sqcup b = b \Rightarrow a \sqcap b = a[/mm] und [mm]a \sqcap b = a \Rightarrow a \sqcup b = b[/mm]
>
> folgta [mm]\sqcap b = a \gdw a \sqcup b = b[/mm]
>
> [mm]\Box[/mm]
>
>
> So ist es dann richtig oder?
Das ist ziemlicher Murks. Wie kommst du denn auf die Idee mit der Induktion?
Das kapiere ich nicht ...
Du hast doch in dem einen Artikel mit den booleschen Ausdrücken eine ganz tolle Antwort geschrieben. Und die Aufgabe dort war viel viel komplizierter.
Du machst es dir hier aus irgendwelchen Gründen selbst schwer 
Denke mal nicht so kompliziert, besser: elementar rangehen
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:25 Di 09.11.2010 | | Autor: | Manu87 |
Ach du heilige .....
Danke für die wichtige Hilfe.!!!!!
Ich würd immernoch solchen Unsinn machen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:31 Di 09.11.2010 | | Autor: | Manu87 |
Hier stand nur Mist ;-D
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:55 Di 09.11.2010 | | Autor: | Manu87 |
So endlich bei c angelangt tauchen schon wieder die ersten Verständnisfragen auf.
> Beh.: [mm]\overline{a+b}[/mm] = [mm]\overline{a}\overline{b}[/mm] de Morgan
> (1.Gleichung)
> Es ist: [mm](a+b)\overline{a}\overline{b}[/mm] =
> [mm]a\overline{a}\overline{b}+b\overline{a}\overline{b}[/mm] =
> [mm]0\overline{b}+0\overline{a}[/mm] = 0+0 = 0
>
> Außerdem ist: [mm](a+b)+\overline{a}\overline{b}[/mm] =
> [mm]((a+b)+\overline{a})((a+b)+\overline{b})[/mm] =
> [mm](1+b)(1+\overline{b})[/mm] = 1
>
> Jetzt folgt wegen der Eindeutigkeit des Komplements, dass
> [mm]\overline{a}\overline{b}[/mm] das Komplement von a+b ist also:
> [mm]\overline{a+b}[/mm] = [mm]\overline{a}\overline{b}[/mm]
> qed
Wie komme ich nun überhaupt erst einmal auf den Gedanken
$ [mm] (a+b)\overline{a}\overline{b}=0 [/mm] $
$ [mm] (a+b)+\overline{a}\overline{b}=1 [/mm] $
Und warum ist de Morgan dann mit der Eindeutigkeit des Komplements in der Booleschen Algebra bewiesen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Mi 10.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:46 Di 09.11.2010 | | Autor: | Manu87 |
Für (d) brauche ich auch einen Tipp. Hier kann man nicht mehr so schön Formeln rumschubsen.
[mm] $(a^c)^c=a$
[/mm]
Wie ranggehen?
|
|
|
| |
|
Hallo Manu87,
>
> Definition
> Aufgabe
>
> Zz: [mm](a^c)^c=a[/mm]
> Für (d) brauche ich auch einen Tipp. Hier kann man nicht
> mehr so schön Formeln rumschubsen.
>
> [mm](a^c)^c=a[/mm]
>
> Wie ranggehen?
Nun, bilde hier
[mm]\left(a^{c}\right)^{c} \cup \left(a^{c}\right)=1[/mm]
oder
[mm]\left(a^{c}\right)^{c} \cap \left(a^{c}\right)=0[/mm]
Gruss
MathePower
|
|
|
|
![[]](http://img710.imageshack.us/img710/6205/unbenanntvy.png){kind=small}
Definition![[]](http://img255.imageshack.us/img255/3446/unbenanntmn.png){kind=small}
Aufgabe
