Sattelpunkt < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:33 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Disap |
Moin.
Ich komme immer wieder mit dem "Sattelpunkt" durcheinander.
Als Text beschrieben kann man sagen: Wenn eine Funktion einen Wendepunkt mit Wendetangente hat, so handelt es sich um einen Sattelpunkt. Wendetangente => Tangente mit der Steigung Null
Woraus für mich folgt
1.) Sattelpunkt = Extrema + Wendepunkt
2.) Die Funktion [mm] x^3 [/mm] hat einen Sattelpunkt?
3.) Die Funktion [mm] x^4 [/mm] hat ein Minimum?
4.) Wie zeigt man mit dem Vorzeichenwechsel, dass [mm] x^3 [/mm] einen Sattelpunkt hat?
die Bedingung beim VZW (= Vorzeichenwechsel) für ein Extrema lautet ja:
f'(x) > 0 für x < [mm] x_{E} [/mm] und f'(x)<0 für x > [mm] x_{E}
[/mm]
Dann hat man ja ein Maximum.
f(x) = [mm] x^3
[/mm]
f'(x) = [mm] 3x^2
[/mm]
f'(x) = 0
[mm] x_{E}= [/mm] 0
Mal eingesetzt:
f'(-1) > 0 für x <0 und f'(1)>0 für x > 0
Laut meinem Buch heißt das, dass kein Extrema vorhanden ist.
Wie zeigt man also nun, dass f(x) = [mm] x^3 [/mm] einen Sattelpunkt hat?
(Ende von Frage 4)
Bitte korrigiert mal meine Behauptungen 1.), 2.), 3.), falls die falsch sein sollten, weil irgendwo muss ja der Fehler liegen.
Vielen Dank
Grüße Disap
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:56 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Disap |
Hallo Loddar.
Ja, das waren gute Korrekturen, nur so ganz habe ich es immer noch nicht verstanden.
Angenommen, ich habe gezeigt, dass bei f(x) = [mm] x^3 [/mm] ein Wendepunkt für [mm] x_{w}=0 [/mm] vorhanden ist, wie zeigt man dann das mit der Wendetangente?
f'( [mm] x_{w}) [/mm] = 0 ?
Liebe Grüße Disap
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:10 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo disap!
> Angenommen, ich habe gezeigt, dass bei f(x) = [mm]x^3[/mm] ein
> Wendepunkt für [mm]x_{w}=0[/mm] vorhanden ist, wie zeigt man dann
> das mit der Wendetangente?
> f'( [mm]x_{w})[/mm] = 0 ? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Nochmal: ein Sattelpunkt ist ein stinknormaler Wendepunkt mit den bekannten Eigenschaften: [mm] $f''(x_W) [/mm] \ = \ 0$.
Das einzig besondere ist die Tatsache, daß dieser Wendepunkt (= Sattelpunkt) eine horizontale Tangente hat. Es gilt hier also: [mm] $f'(x_s) [/mm] \ = \ 0$. Diese spezielle Eigenschaft gilt aber nur für Sattelpunkte (nicht für alle Wendepunkte).
Nun alle Klarheiten beseitigt?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:38 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Disap |
Ja, dankeschön, das habe ich jetzt verstanden, hoffe ich zumindest.
Die einzige Frage, die mir zum Thema Sattelpunkt/Extrema noch einfält, wäre die:
Wieso ist eine dreifache Nullstelle (der Funktion f(x) ) ein Hinweis auf ein Sattelpunkt bzw. warum eine doppelte Nullstelle ein Hinweis auf ein Extrema.
Überlegung dazu:
Aber das wird man wohl nicht ohne viel Aufwand herleiten können... Das hat bestimmt damit etwas zu tun, dass wenn man irgendeine Funktion und deren Ableitungen hat
z.B.
f(x) [mm] x^3(....) [/mm] => [mm] x_{1,2,3}=0
[/mm]
f'(x) [mm] 3x^2*(....) [/mm] => [mm] x_{1, 2}=0
[/mm]
Das verringern sich die Nullstellen immer um eine Stelle.
Selbst wenn das so wäre, würde meine Überlegung keinen zwingenden Hinweis auf einen Sattelpunkt geben, sondern eher auf einen Wendepunkt. Wobei ich hier Sattelpunkt mal schwer von Wendepunkt trennen möchte.
Evtl. finde ich irgendwann im Web dazu mal einen Link oder ich besorge mir ein Buch. Evtl. sind diese "groben Ansätze" ja schon nah dran...
Nochmals, danke für deine Mühe.
Grüße Disap
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:17 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo Disap
Vielleich hilft dir diese Überlegung ein Bisschen:
Eine mehrfache Nullstelle gibt doch schon mal einen Hinweis, dass die Kurve mehr oder weniger horizontal ist. Somit kann es ein Extremum oder ein Sattelpunkt sein.
Vielleicht hilft dir diese Vorstellung ein Bisschen weiter: stelle dir vor, du hast eine Wellenlinie. Zum Beispiel wie unten beim Buchstaben W. Die Schreiblinie, wo das W draufsteht, sei die x-Achse. Wenn nun das W ganz wenig unter der Linie geschrieben ist, hast du 4 Nullstellen, die Funktion muss also bei negativem x und bei positivem x jeweils wieder nach oben gehen (oder auch jeweils nach unten). Wenn du noch eine Welle hinzufügst, hast du 6 Nullstellen, bei einer weiteren Welle dann 8 und so weiter.
Nun lasse in Gedanken die Wellen gaaaaanz flach werden, und die Tiefpunkte ganz nahe beieinander, und der Schüler schreibt auch nicht mehr unter die Schreiblinie, sondern schön drauf. Du siehst dann, dass bei einer geraden Anzahl Nullstellen die Funktion bei x-Werten weit links in die gleiche Richtung zeigt wie ganz weit rechts.
Mit einer ungeraden Anzahl Nullstellen führt die entsprechende Überlegung zum Schluss, dass die Funktionskurve die x-Achse schlussendlich, nach allen Wellenbewegungen, die x-Achse durchdringen muss, dass also ein Sattelpunkt vorliegen muss.
Diese Antwort war jetzt zugegebenermassen nicht gerade sehr mathematisch, sie hilft dir aber doch hoffentlich ein Wenig, dir eine kleine Vorstellung machen zu können. 
Mit lieben Grüssen
Paul
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Hallo Disap,
> Die einzige Frage, die mir zum Thema Sattelpunkt/Extrema
> noch einfält, wäre die:
> Wieso ist eine dreifache Nullstelle (der Funktion f(x) )
> ein Hinweis auf ein Sattelpunkt bzw. warum eine doppelte
> Nullstelle ein Hinweis auf ein Extremaum.
Eine Funktion hat ein Extremum oder auch mehrere Extrema.
> Überlegung dazu:
> Aber das wird man wohl nicht ohne viel Aufwand herleiten
> können... Das hat bestimmt damit etwas zu tun, dass wenn
> man irgendeine Funktion und deren Ableitungen hat
>
> z.B.
> f(x) [mm]x^3(....)[/mm] => [mm]x_{1,2,3}=0[/mm]
> f'(x) [mm]3x^2*(....)[/mm] => [mm]x_{1, 2}=0[/mm]
>
> Das verringern sich die Nullstellen immer um eine Stelle.
Nimm als Beispiel die Funktion $f(x) [mm] =(x-2)^3$
[/mm]
Sie hat 3 Nullstellen, allerdings alle bei x=2 (also dreifach).
Ihre Ableitung bildest du mit der  Kettenregel:
$f'(x) = [mm] 3*(x-2)^2 \gdw$ [/mm] zwei Nullstellen [mm] \Rightarrow [/mm] zwei "Extremstellenkandidaten"
$f''(x) = 3*2*(x-2) [mm] \gdw$ [/mm] eine Nullstelle [mm] \Rightarrow [/mm] eine Wendestelle, wieder bei x=2.
Damit hast du bei x=2 eine Wendestelle mit waagerechter Tangente:
merke: an einer dreifachen Nullstelle einer Funktion liegt immer ein Sattelpunkt;
denn dort sind außer der Funktion selbst auch die 1. und die 2. Ableitung Null.
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> Selbst wenn das so wäre, würde meine Überlegung keinen
> zwingenden Hinweis auf einen Sattelpunkt geben, sondern
> eher auf einen Wendepunkt. Wobei ich hier Sattelpunkt mal
> schwer von Wendepunkt trennen möchte.
> Evtl. finde ich irgendwann im Web dazu mal einen Link oder
> ich besorge mir ein Buch. Evtl. sind diese "groben Ansätze"
> ja schon nah dran...
>
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Irgendwie konnte ich am Montag diese Anwort nicht mehr senden, aber vielleicht hilft sie zusätzlich zu Paulus' Erläuterungen..
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