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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:08 Do 25.08.2011 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich habe eine Frage zur Definition von Saturiertheit.
Meine Definition lautet:
Sei $f:X [mm] \to [/mm] Y$ eine Abbildung von Mengen. Eine Teilmenge $A [mm] \subset [/mm] X$ heußt saturiert (bzgl. f), falls [mm] $A=f^{-1}f(A)$ [/mm] gilt. ($A [mm] \subset f^{-1}f(A)$ [/mm] gilt immer, [mm] "\supset" [/mm] nicht!]
Zum einen möchte ich gerne wissen, was eine Abbildung von Mengen ist. Heißt das einfach, eine Abbildung zwischen den Mengen X und Y, oder heißt dass, das f Mengen der Menge X abbildet, und nicht nur einzelne Elemente?
Meine Hauptfrage ist zu der Anmerkung in Klammern. Das verstehe ich nämlich nicht. Ich hab mir überlegt, dass die Gleichheit doch eigentlich immer gelten müsste. Weil:
Damit [mm] f^{-1} [/mm] existiert, muss f bijektiv sein. Wenn ich jetzt einfach mal sage, dass die Teilmenge A die Elemente a, b und c hat, dann ist das Bild f(A) ja die Menge [mm] $\{f(a), f(b), f(c)\}$. [/mm] Wenn ich das nun in [mm] f^{-1} [/mm] reinstecke, erhalte ich die Menge [mm] $\{a,b,c\}$, [/mm] was widerum A ist. Also [mm] $A=f^{-1}f(A)$. [/mm] Und egal wie die Menge A nun aussieht, durch die Bijektivität von f sind ja alle Zuweisungen umkehrbar eindeutig, ich versteh nicht, wieso dann [mm] "\supset" [/mm] nicht immer gilt.
Vielen Dank.
LG Nadine
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Hallo Nadine!
> Hallo zusammen!
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> Ich habe eine Frage zur Definition von Saturiertheit.
> Meine Definition lautet:
>
> Sei [mm]f:X \to Y[/mm] eine Abbildung von Mengen. Eine Teilmenge [mm]A \subset X[/mm]
> heußt saturiert (bzgl. f), falls [mm]A=f^{-1}f(A)[/mm] gilt. ([mm]A \subset f^{-1}f(A)[/mm]
> gilt immer, [mm]"\supset"[/mm] nicht!]
>
> Zum einen möchte ich gerne wissen, was eine Abbildung von
> Mengen ist. Heißt das einfach, eine Abbildung zwischen den
> Mengen X und Y,
Ja!
> oder heißt dass, das f Mengen der Menge X
> abbildet, und nicht nur einzelne Elemente?
Nein! (Meinst Du mit Mengen der Menge $X$ Teilmengen der Menge $X$?)
>
> Meine Hauptfrage ist zu der Anmerkung in Klammern. Das
> verstehe ich nämlich nicht. Ich hab mir überlegt, dass
> die Gleichheit doch eigentlich immer gelten müsste. Weil:
>
> Damit [mm]f^{-1}[/mm] existiert, muss f bijektiv sein.
Das ist schon das ganze Missverständnis.
Sei $ f:X [mm] \to [/mm] Y $. Dann wird für [mm] $A\subseteq [/mm] X$, [mm] $B\subseteq [/mm] Y$ Folgendes definiert:
$f(A) := [mm] \{f(x)| x \in A\}$ [/mm]
[mm] $f^{-1}(B) [/mm] := [mm] \{x \in X| f(x) \in B\}$.
[/mm]
Diese Definitionen machen also auch dann Sinn, wenn $f$ nicht bijektiv ist!
> Wenn ich
> jetzt einfach mal sage, dass die Teilmenge A die Elemente
> a, b und c hat, dann ist das Bild f(A) ja die Menge [mm]\{f(a), f(b), f(c)\}[/mm].
> Wenn ich das nun in [mm]f^{-1}[/mm] reinstecke, erhalte ich die
> Menge [mm]\{a,b,c\}[/mm], was widerum A ist. Also [mm]A=f^{-1}f(A)[/mm]. Und
> egal wie die Menge A nun aussieht, durch die Bijektivität
> von f sind ja alle Zuweisungen umkehrbar eindeutig, ich
> versteh nicht, wieso dann [mm]"\supset"[/mm] nicht immer gilt.
>
> Vielen Dank.
>
> LG Nadine
LG mathfunnel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:14 Do 25.08.2011 | | Autor: | Pacapear |
Hallo mathfunnel!
> Das ist schon das ganze Missverständnis.
>
> Sei [mm]f:X \to Y [/mm]. Dann wird für [mm]A\subseteq X[/mm], [mm]B\subseteq Y[/mm]
> Folgendes definiert:
>
> [mm]f(A) := \{f(x)| x \in A\}[/mm]
>
> [mm]f^{-1}(B) := \{x \in X| f(x) \in B\}[/mm].
>
> Diese Definitionen machen also auch dann Sinn, wenn [mm]f[/mm] nicht
> bijektiv ist!
Hmm... schon, aber das B wäre ja in meinem Fall das f(A), und das enthält ja nur genau die Elemente, die mit f aus A abgebildet werden. Wenn ich das jetzt in deine [mm] f^{-1} [/mm] Definition stecke, erhalte ich [mm]f^{-1}(f(A)) := \{x \in X| f(x) \in f(A)\}[/mm], und in f(A) steckt ja nicht mehr drinne, was noch Zuweisungen in X haben könnte, so dass A nur ein Teil von [mm] f^{-1}f(A) [/mm] wäre...
Hast du vielleicht mal ein Beispiel?
LG Nadine
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Hallo Nadine!
> Hallo mathfunnel!
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> > Das ist schon das ganze Missverständnis.
> >
> > Sei [mm]f:X \to Y [/mm]. Dann wird für [mm]A\subseteq X[/mm], [mm]B\subseteq Y[/mm]
> > Folgendes definiert:
> >
> > [mm]f(A) := \{f(x)| x \in A\}[/mm]
> >
> > [mm]f^{-1}(B) := \{x \in X| f(x) \in B\}[/mm].
> >
> > Diese Definitionen machen also auch dann Sinn, wenn [mm]f[/mm] nicht
> > bijektiv ist!
>
> Hmm... schon, aber das B wäre ja in meinem Fall das f(A),
> und das enthält ja nur genau die Elemente, die mit f aus A
> abgebildet werden. Wenn ich das jetzt in deine [mm]f^{-1}[/mm]
> Definition stecke, erhalte ich [mm]f^{-1}(f(A)) := \{x \in X| f(x) \in f(A)\}[/mm],
> und in f(A) steckt ja nicht mehr drinne, was noch
> Zuweisungen in X haben könnte, so dass A nur ein Teil von
> [mm]f^{-1}f(A)[/mm] wäre...
>
> Hast du vielleicht mal ein Beispiel?
[mm] $f:\{0,1\} \to \{2\}, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] 2$
[mm] $\{0\} \subseteq f^{-1}(f(\{0\})) [/mm] = [mm] \{0,1\} \not \subseteq \{0\}$
[/mm]
>
> LG Nadine
LG mathfunnel
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