Satz Lagrange < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:09 Fr 26.10.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | Satz davor: Wenn K [mm] \le [/mm] H [mm] \le [/mm] G dann
[G:K]=[G:H][H:K]
daraus folgt :
Ist G endlich und a [mm] \in [/mm] G, so ord(a) teilt |G| |
Hallo,
Nun ich verstehe nicht warum die Folgerung: ord(a) teilt |G|
gilt.
Ich weiß ist G eine Gruppe und a [mm] \in [/mm] G, so defeniert man die Ordnung ord(a) von a als die Ordnung von <a>, dh ord(a)=(<a>)
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:16 Fr 26.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Lu,
betrachte $H:=<a>$ und [mm] $K:=\{1\}$ [/mm] und beachte [mm] $[L:\{1\}]=|L|$ [/mm] für alle Gruppen L.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:43 Fr 26.10.2012 | | Autor: | Lu- |
Achso danke.
Ich hätte noch eine Frage, bei der ich keinen eigenen Thread aufmachen möchte:
Sei G eine Gruppe und N [mm] \le [/mm] G:
Die Partition von G in Links bzw. Rechtsnebenklassen stimmen überein.
<=> aN = Na [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] G
Was bedeutet der Satz: Die Partition von G ind Links bzw. Rechtsnebenklassen stimmen überein.
Könnte mir das vlt wer "unmathematisch" kurz erklären?
Die Begriffe sind klar, aber ich verstehe die Bedeutung des Satzes nicht..
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:52 Fr 26.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Sei G eine Gruppe und N [mm]\le[/mm] G:
> Die Partition von G in Links bzw. Rechtsnebenklassen
> stimmen überein.
> <=> aN = Na [mm]\forall[/mm] a [mm]\in[/mm] G
>
>
> Was bedeutet der Satz: Die Partition von G ind Links bzw.
> Rechtsnebenklassen stimmen überein.
Mit der Partition von G in Linksnebenklassen ist die Menge
[mm] $L:=\{aN\;|\;a\in G\}$
[/mm]
gemeint, mit der Partition in Rechtsnebenklassen die Menge
[mm] $R:=\{Nb\;|\;b\in G\}$.
[/mm]
L und R sind Partitionen von G, d.h. Mengen von Teilmengen von G, die paarweise disjunkt sind und vereinigt ganz G ergeben.
Die Aussage ist nun nicht, dass L und R übereinstimmen, sondern dass sie genau dann übereinstimmen, wenn $aN = [mm] Na\quad \forall a\in [/mm] G$ gilt.
Die Rückrichtung ist klar, aber für die Hinrichtung muss man sich Gedanken machen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:01 Fr 26.10.2012 | | Autor: | Lu- |
Hallo,
danke für den Post.
Ich krieg die eine richtung nicht ganz hin.
Meine Überlegungen:
Wenn aN =Na [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] G
dann ist a N [mm] a^{-1} [/mm] = N
und wenn ich a durch [mm] a^{-1} [/mm] ersetze:
[mm] a^{-1} N(a^{-1})^{-1} [/mm] = N , d.h. [mm] a^{-1} [/mm] N a = N
Wenn ich nun von rechts und links geeignet multipliziere:
N = a N [mm] a^{-1}
[/mm]
Vlt kannst du mir da nochmals helfen..
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:22 Fr 26.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Ich krieg die eine richtung nicht ganz hin.
> Meine Überlegungen:
> Wenn aN =Na [mm]\forall[/mm] a [mm]\in[/mm] G
...dann [mm] L=\{aN\;|\;a\in G\}=\{Na\;|\;a\in G\}=R, [/mm] fertig.
Das "Problem" ist die andere Richtung: Wenn [mm] $\{aN\;|\;a\in G\}=\{Nb\;|\;b\in G\}$ [/mm] gilt, wie folgt dann schon $aN=Na$ für alle [mm] $a\in [/mm] G$?
> dann ist a N [mm]a^{-1}[/mm] = N
> und wenn ich a durch [mm]a^{-1}[/mm] ersetze:
> [mm]a^{-1} N(a^{-1})^{-1}[/mm] = N , d.h. [mm]a^{-1}[/mm] N a = N
> Wenn ich nun von rechts und links geeignet multipliziere:
> N = a N [mm]a^{-1}[/mm]
(Alles korrekte, aber nicht zielführende Schlussfolgerungen.)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 Fr 26.10.2012 | | Autor: | Lu- |
Ich sehe das Problem nicht so ganz:
Da a [mm] \in [/mm] Na , muss die Linksnebenklasse aN , die ja auch a enthält) mit der Rechtsnebenklasse Na übereinstimmen
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:40 Fr 26.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Ich sehe das Problem nicht so ganz:
> Da a [mm]\in[/mm] Na , muss die Linksnebenklasse aN , die ja auch a
> enthält) mit der Rechtsnebenklasse Na übereinstimmen
Zusammen mit der Voraussetzung $L=R$ stimmt die Argumentation:
Wegen [mm] $a\in aN\cap [/mm] Na$ (also [mm] $aN\cap Na\not=\emptyset$), $aN,Na\in [/mm] L=R$ und der paarweisen Disjunktheit der Mengen in $L=R$ muss schon $aN=Na$ gelten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 Fr 26.10.2012 | | Autor: | Lu- |
Hallo,
Danke für den Post.
Aber warum brauchst du zu der Argumentation die Disjunktheit der Mengen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:54 Fr 26.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Aber warum brauchst du zu der Argumentation die
> Disjunktheit der Mengen?
Ich will von [mm] $aN\cap Na\not=\emptyset$ [/mm] bereits auf $aN=Na$ schließen können. Das geht folgendermaßen: Wäre [mm] $aN\not=Na$, [/mm] so würde aufgrund der paarweisen Disjunktheit der Mengen aus $L=R$ gelten: [mm] $aN\cap Na=\emptyset$.
[/mm]
Vielleicht hast du einen anderen Weg im Kopf, der ohne die Disjunktheit auskommt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:04 Fr 26.10.2012 | | Autor: | Lu- |
Danke, jetzt habe ich es verstanden ;)
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