Satz der Potenzmenge(3) < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:38 So 13.08.2006 | | Autor: | clown99 |
| Aufgabe | Sei M eine Menge. Zeigen Sie: Es exisitiert keine bijektive Abbildung
f: M --> p(M).
Hinweis: Angenommen, f sei eine solche Bijektion. Dann betrachte die Menge
X:={x [mm] \in [/mm] M|x [mm] \not\in [/mm] f(x)} |
Ich habe bereits eine Frage zu dem Thema gestellt und auch tolle Antworten mit u.a. dieser hübschen Lösung bekommen:
" Hallo zusammen,
da mir der in der Aufgabenstellung gepostete Beweis doch etwas schwammig scheint, erlaub ich mir mal, ihn ordentlich
zu schreiben.
Wir wollen zeigen: Wenn X eine Menge ist, so gibt es keine surjektive Abbildung Pot(X).
Beweis durch Widerspruch.
Annahme: X beliebige Menge, und Pot(X) surjektiv.
Wir werden nun diese Annahme zum Widerspruch führen.
Wenn es solches f gäbe, so betrachte die Teilmenge X definiert als
Wenn f also surjektiv wäre, so gäbe es dann auch ein X mit
Dann gäbe es für das Enthaltensein/Nichtenthaltensein von in Y nur zwei Möglichkeitem,
wir führen beide zum Widerspruch.
Fall 1: Y, dann gilt also nach Def. von Y und damit Y, Widerspruch.
Fall 2: Y, dann gilt nach Def. von Y aber Y, Widerspruch.
Fertig.
Gruss,
Mathias "
Nun zu dem, was ich nicht verstehe. Wie kann man behaupten, dass X M ist. Ich gehs mal anhand eines einfachen Beispiels durch.
Sei M={1,2}, dann ist p(M)={{};{1};{2};{1,2}}.
Dann ist ja von vorn herein klar, dass aufgrund von |M|=2 < |p(x)|=4 keine Bijektion möglich ist.
Doch wird angenommen, dass es diese gibt, um sie durch Widerspruch zu widerlegen. Soweit so gut.
Also muss es mehr als diese 2 Elemente in M geben, nämlich genau 2 weitere, um das Kriterium der Bijektion zu erfüllen. Gut, bild ich mal.
Diese 2 Elemente, ich nenn sie mal a,b M tauchen in keinem Element von p(M) als Element auf. Das ist klar, sieht man ja oben.
Doch nun ist die Definition von X die Folgende:
X:={x [mm] \in [/mm] M|x [mm] \not\in [/mm] f(x)}
Wenn ich mir das so anschaue und behaupte, dass X p(M) ist, ist das doch verkehrt. In diesem konkreten Fall würde X aus den
Elementen a,b M bestehen. Ein solches X gibt es aber nicht als Element in p(M). Das ist der Knackpunkt.
Im Beweis geht man ja davon aus, dass X p(M) ist und X mit
einem x0 M über f(x0)=X gebildet werden können müsste.
Auf mein Beispiel bezogen erhalten wir die gewünschten Widersprüche:
Fall 1: Wenn f(a) bzw. f(b) =X={a,b}, dann ja auch a bzw. b X
und wegen a f(a) bzw. b f(b) wiederum beide Male [mm] \not\in [/mm] X.
Fall 2: Wenn f(1) v f(2) =X={a,b}, dann ja nicht 1 bzw. 2 X, wegen Def. X wären 1 bzw. 2 X.
Doch wieso soll X p(M) sein, weil in p(M) jedes x M mind. in
einem y p(M) vorkommt? Ists das Kriterium? Ich möcht es so gerne verstehen.
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Hallo clown,
du könntest genausogut deine Rückfragen im ursprünglichen Thread schreiben:
https://matheraum.de/read?t=134909
nachdem du ja den bereits eröffnetest, um deine Fragen nicht im ursprünglichen (nicht von dir eröffneten) Thread stellen zu müssen:
https://matheraum.de/read?t=101603
> Sei M={1,2}, dann ist p(M)={{};{1};{2};{1,2}}.
> Dann ist ja von vorn herein klar, dass aufgrund von |M|=2 < |p(x)|=4 keine Bijektion möglich ist.
Ja.
> Doch wird angenommen, dass es diese gibt, um sie durch
> Widerspruch zu widerlegen. Soweit so gut.
> Also muss es mehr als diese 2 Elemente in M geben, nämlich
> genau 2 weitere, um das Kriterium der Bijektion zu
> erfüllen. Gut, bild ich mal.
> Diese 2 Elemente, ich nenn sie mal a,b M tauchen in
> keinem Element von p(M) als Element auf. Das ist klar,
> sieht man ja oben.
Ja, auf diese Schlussfolgerung kommst du durch die Annahme (die wir als falsch nachweisen wollen!), es gäbe eine Bijektion von M nach p(M).
Wenn du aber schon diese Schlussfolgerung ziehst - von der im Originalbeweis nicht die Rede war - dann kannst du auch sofort zum Widerspruch kommen, dass M gleichzeitig 2-elementig ist und mehr als 2 Elemente enthält.
> Doch nun ist die Definition von X die Folgende:
>
> [mm] $X:=\{x \in M|x \not\in f(x)\}$
[/mm]
>
> Wenn ich mir das so anschaue und behaupte, dass X p(M)
> ist, ist das doch verkehrt.
X besteht per Konstruktion aus Elementen von M, ist also per Definition eine Teilmenge von M, also ein Element von p(M).
> In diesem konkreten Fall würde X aus den
> Elementen a,b M bestehen. Ein solches X gibt es aber
> nicht als Element in p(M). Das ist der Knackpunkt.
Das ist ein Widerspruch. Der ergibt sich aus der gemachten Annahme und deiner Zusatzschlussfolgerung.
Wie gesagt, X ist per Konstruktion in p(M). Dass diese Eigenschaft zu einem Widerspruch führt, kannst du ihr nicht anlasten, weil sie - absolut folgerichtig - aus der unbegründeten Annahme folgt, es gäbe eine Bijektion von M nach p(M).
Gruß,
SirJective
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:37 So 13.08.2006 | | Autor: | SirJective |
Zu deiner PN.
> Hi, danke für deine Antwort. Ich wollte meinen ersten Thread nicht noch länger machen. Hab drübernachgedacht, trotzdem da reinzuposten.
Das halte ich auf jeden Fall für besser als das Eröffnen eines neuen Threads, da es sich immernoch um dasselbe Thema dreht.
> Ich glaube, ich verstehe die Idee endlich. Die Sache ist dann ja die. Die Menge X bestünde aus Elementen aus M. Damit wäre X ein Element aus p(M).
Ja, diese Aussagen sind Teil des Standardbeweises.
> Da es diese X-Elemente aber nicht gibt, treten sie in keinem Element aus p(M) auf. X ist also ne Menge, die Element von p(M) sein müsste, aber nicht sein kann.
Wenn es X gäbe, dann lägen seine Elemente in M, denn so ist X konstruiert. Gleichzeitig lägen seine Elemente aber nicht in M, denn auch das kann man beweisen - aus einem Widerspruch lässt sich alles folgern.
> Die Voridee ist also durchaus die, dass man eine mengenbildende Funktion hat, jedes p(M)-Element aus M-Elementen besteht und die Menge M weitere Elemente besitzen müsste.
Die Folgerung, dass M weitere Elemente besitzen müsste, ist nicht Teil des Standardbeweises. Das ist deine eigene Schlussfolgerung.
Gruß,
SirJective
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:46 Fr 18.08.2006 | | Autor: | clown99 |
Vielen Dank für die Antworten. Toll erklärt, danke.
MfG
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