Satz über Existenz lin. Abb. < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:19 Sa 05.07.2008 | | Autor: | daN-R-G |
| Aufgabe | Es sei [mm]V[/mm] ein endlich-dimensionaler Vektorraum über dem Körper [mm]K[/mm], und [mm]b_1, ..., b_n[/mm] sei eine Basis von [mm]V[/mm]. Sei [mm]W[/mm] ein beliebiger K-Vektorraum.
Zu jedem n-Tupel [mm]a_1, ..., a_n[/mm] von Vektoren aus W gibt es dann genau eine lineare Abbildung [mm]f: V \to W[/mm] mit
[mm]f(b_i) = a_i[/mm] für [mm]i = 1, ..., n[/mm]. |
Hallo!
Ich habe keine Konkrete Augabe, die ich lösen möchte, sondern habe eine generelle Frage zu diesem Satz.
Könnte mir irgendwie jemand erklären, wie ich mir das ungefähr vorzustellen habe?
Ich stelle mir das ganze so vor, dass ich die Vektoren [mm]a_1, ..., a_n[/mm] aus dem Ziel-Vektorraum W habe, und jeder von diesen Vektoren ist das Bild eines der gegebenen Basisvektoren [mm]b_1, ..., b_n[/mm] aus V. Und nach diesem Satz ist also sichergestellt, dass, egal welche Vektoren ich aus W nehme (müssen es auch genau n Stück sein?), man immer eine Lineare Abbildung finden kann, sodass jeder Vektor das Bild eines Basisvektor ist?
Irgendwie habe ich da noch Probleme, mir das ganze zu veranschaulichen.
Vll. kann mir ja jemand etwas dazu sagen, bzw. vll. ein kleines Beispiel (?) geben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:32 Sa 05.07.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
ein Beispiel kann ich dir geben. Naja, zumindest einen Link.
Ich wusste, dass ich zu so einer Art Aufgabe schon einmal eine Frage gestellt hatte, musste aber lange suchen bis ich diese gefunden hatte.
Aber: Wer suchet, der findet 
Aufgabe
Die $ [mm] \IR-lineare [/mm] $ Abbildung $ [mm] f:\IR^3\to\IR^3 [/mm] $ sei definiert durch
f(1,0,0)=(-1,1,3), f(0,1,0)=(0,6,3), f(0,0,1)=(2,4,-3).
Man konstruiere jeweils eine Basis von kern(f) und bild(f).
Hier hast du eine [mm] \IR-lineare [/mm] Abbildung [mm] f:V\to{W} [/mm] mit [mm] V=W=\IR^3.
[/mm]
[mm] B=\{\vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1}\} [/mm] ist Basis von [mm] V=\IR^3 [/mm] und [mm] A=\{\vektor{-1 \\ 1 \\ 3}, \vektor{0 \\ 6 \\ 3}, \vektor{2 \\ 4 \\ -3}\} [/mm] ist Basis von [mm] W=\IR^3. [/mm]
Jetzt sagt der Satz:
...gibt es dann genau eine lineare Abbildung mit
f(1,0,0)=(-1,1,3), f(0,1,0)=(0,6,3), f(0,0,1)=(2,4,-3).
Wie du die findest, wird ersichtlich, wenn du dir den Link ansiehst.
MfG barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:00 So 06.07.2008 | | Autor: | daN-R-G |
Guten morgen und danke schonmal für deine Antwort! ;)
Müssen die drei Vektoren aus dem Bildbereich denn auch zwingend eine Basis bilden, oder reicht es auch aus, wenn ich drei beliebige Vektoren herrausnehme?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:19 So 06.07.2008 | | Autor: | dormant |
Hi!
> Müssen die drei Vektoren aus dem Bildbereich denn auch
> zwingend eine Basis bilden, oder reicht es auch aus, wenn
> ich drei beliebige Vektoren herrausnehme?
Die müssen keine Basis bilden. Da W ein beliebiger K-VR ist, bedeutet es, dass seine Dimension nicht unbedingt gleich n ist (gleich der Dimension von V). So wie ich das verstehe, geht es in diesem Satz um die Existenz und eindeutigkeit von einer Transformationsmatrix (die lineare Abbildung f).
Gruss,
dormant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:45 So 06.07.2008 | | Autor: | daN-R-G |
Ich danke euch beiden für die Unterstützung :)
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