Satz über implizite Funktionen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:04 Do 15.06.2006 | | Autor: | sclossa |
Kann mir vielleicht jemand sagen, was genau der Satz aussagt. Ich kenne die Definition, kann mir aber nicht wirklich so viel darunter vorstellen bzw. die Bedeutung nicht mit meinen Worten wiedergeben.
Liebe Grüße
Stefan
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Hallo sclossa,
Funktionen kann man explizit definieren z.B.:
y(x)=x
man kann Sie aber auch implizit definieren:
F(x,y)=x-y=0
In diesem Fall ist die Gleichung F(x,y)=0 nat. leicht in die explizite Form zu bringen.
Das muß aber nicht immer so sein z.B.
[mm] F(x,y)=x^2+y^2+1 [/mm] oder noch einfacher F(x,y)=1
Für diese Funktionen kann man offenbar nichts in die explizite Form bringen. Nun sieht man das natürlich nicht immer ob solch ein umstellen theoretisch möglich ist und der Satz beantwortet nun genau diese Frage.
Ist ein Umstellen in einer Umgebung eines Punktes [mm] (x_0,y_0) [/mm] möglich?
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 Do 15.06.2006 | | Autor: | sclossa |
> Hallo sclossa,
> Funktionen kann man explizit definieren z.B.:
> y(x)=x
> man kann Sie aber auch implizit definieren:
> F(x,y)=x-y=0
> In diesem Fall ist die Gleichung F(x,y)=0 nat. leicht in
> die explizite Form zu bringen.
> Das muß aber nicht immer so sein z.B.
> [mm]F(x,y)=x^2+y^2+1[/mm] oder noch einfacher F(x,y)=1
> Für diese Funktionen kann man offenbar nichts in die
> explizite Form bringen. Nun sieht man das natürlich nicht
> immer ob solch ein umstellen theoretisch möglich ist und
> der Satz beantwortet nun genau diese Frage.
> Ist ein Umstellen in einer Umgebung eines Punktes
> [mm](x_0,y_0)[/mm] möglich?
Danke schonmal, so langsam geht mir ein Licht auf.
Wenn wir jetzt bei obigen Beispiel bleiben: F(x,y) = x²+y²+1
dann muss ich prüfen ob [mm] \partial [/mm] F / [mm] \partial [/mm] y = 2y in einem Punkt a invertierbar ist (in diesem Fall also ungleich null). Und wenn das gilt, dann kann ich die Funktion in einer Umgebung um diesem Punkt a die Gleichung nach y auflösen, d.h. ich erhalte F(x,g(x))=0 für alle x in der Umgebung. Ich weiß jedoch nicht, wie die Funktion g(x) aussieht, nur das sie existiert. Das oben genannte y(x) ist dann praktisch dieses g(x), oder?
Analog gilt somit dann auch [mm] \partial [/mm] F / [mm] \partial [/mm] x = 2x in einem Punkt a invertierbar, dann kann ich in einer Umgebung von a die Funktion nach x auflösen.
Stimmt das so jetzt?
Lg Sclossa
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Hallo sclossa,
An sich hast Du schon Recht.
Eine Sache hast Du aber noch unterschlagen es muß erstmal einen Punkt geben an dem [mm] F(x_0,y_0)=0 [/mm] gilt.
Den gibt's bei [mm] F(x,y)=x^2+y^2+1 [/mm] nat. nicht. Also leichte Änderung
[mm] F(x,y)=x^2+y^2-1
[/mm]
Dann ist F(x,y)=0 einen Kreisgleichung. Die kann man in x=0,y=1 einfach auflösen. Für x=1 y=0 sind die Bed. nicht erfüllt.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:33 Fr 16.06.2006 | | Autor: | sclossa |
Bleiben wir bei dem Beispiel
[mm] F(x,y)=x^2+y^2-1
[/mm]
wobei ja F(x,y)=0 eine Kreisgleichung ist.
Es gilt: F(0,1)=0, d.h. im Punkt (0,1) ist die Gleichung erfüllt.
Außerdem gilt: [mm] \partial [/mm] F / [mm] \partial [/mm] y (x,y) = 2y und 2y [mm] \not= [/mm] 0 für y =1
Somit kann man die Gleichung lokal um den Punkt (0,1) nach y auflösen. Man erhält dann
F(x,g(x))=0 für alle x in einer Umgebung um den Punkt (0,1).
Ist g(x) hier praktisch y(x)?
Und für den Punkt (1,0) gilt zwar F(1,0)=0, aber dann wäre ja
[mm] \partial [/mm] F / [mm] \partial [/mm] y (x,y) = 0 für (1,0)
und die zweite Bed. wäre nicht erfüllt.
Dafür könnte man dann aber F(x,y) in einer Umgebung um dem Punkt (1,0)nach x auflösen...
Stimmt das so?
Liebe Grüße Sclossa
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Hi Sclossa,
" Dafür könnte man dann aber F(x,y) in einer Umgebung um dem Punkt (1,0) nach x auflösen..."
Ich würde sagen, beim Einsetzen der beiden Zahlen erhälst du den Wert -0- für x. also den Ursprung. [ F (x,y) = -2 ]. Rechnung: F (x,y) = 1² + 0² -1 = 0.
Gruß
Schwangerpaepstin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:42 Fr 16.06.2006 | | Autor: | sclossa |
> Hi Sclossa,
>
> " Dafür könnte man dann aber F(x,y) in einer Umgebung um
> dem Punkt (1,0) nach x auflösen..."
>
> Ich würde sagen, beim Einsetzen der beiden Zahlen erhälst
> du den Wert -0- für x. also den Ursprung. [ F (x,y) = -2 ].
> Rechnung: F (x,y) = 1² + 0² -1 = 0.>
> Gruß
Ich weiß nicht was du damit aussagen willst.
Mir ist schon klar das 1² + 0² - 1² = 0 ist  .
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Hallo Sclossa,
> Bleiben wir bei dem Beispiel
> [mm]F(x,y)=x^2+y^2-1[/mm]
> wobei ja F(x,y)=0 eine Kreisgleichung ist.
> Es gilt: F(0,1)=0, d.h. im Punkt (0,1) ist die Gleichung
> erfüllt.
> Außerdem gilt: [mm]\partial[/mm] F / [mm]\partial[/mm] y (x,y) = 2y und 2y
> [mm]\not=[/mm] 0 für y =1
> Somit kann man die Gleichung lokal um den Punkt (0,1) nach
> y auflösen. Man erhält dann
> F(x,g(x))=0 für alle x in einer Umgebung um den Punkt
> (0,1).
g ist ja eine Funktion von x also wäre es eine Umgebung von x=0 in der F(x,g(x))=0 gilt.
> Ist g(x) hier praktisch y(x)?
Ja.
> Und für den Punkt (1,0) gilt zwar F(1,0)=0, aber dann wäre
> ja
> [mm]\partial[/mm] F / [mm]\partial[/mm] y (x,y) = 0 für (1,0)
> und die zweite Bed. wäre nicht erfüllt.
Man kann sich das auch am Kreis verdeutlichen. Zum einen kann es für [mm] x=1+\epsilon [/mm] keine solche funktion geben zum anderen wäre die Funktion für [mm] x=1-\epsilon [/mm] nicht eindeutig. Man könnte den Kreis ja sowohl nach oben als auch nach unten fortsetzen.
> Dafür könnte man dann aber F(x,y) in einer Umgebung um dem
> Punkt (1,0)nach x auflösen...
Ja.
Ein anderes Bsp. zur Eindeutigkeit wäre [mm] F(x,y)=y^2-x^2 [/mm] Klar löst y=x die Gleichung und im Pkt. (1,1) könnte man das auch so schreiben aber im Pkt. (0,0) nicht da eben auch y=-x die Gleichung löst.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:08 Fr 16.06.2006 | | Autor: | sclossa |
> Ein anderes Bsp. zur Eindeutigkeit wäre [mm]F(x,y)=y^2-x^2[/mm] Klar
> löst y=x die Gleichung und im Pkt. (1,1) könnte man das
> auch so schreiben aber im Pkt. (0,0) nicht da eben auch
> y=-x die Gleichung löst.
Irgendwie ist mir die Begründung hier nicht so ganz einleuchtend. Klar, der Punkt (1,1) erfüllt die Bed und (0,0) nicht - aber warum erhalten wir einmal y=x und einmal y=-x ?
y(x)= [mm] \pm \wurzel[]{x²} [/mm] nicht eindeutig für (0/0)???
Zu dem alten Beispiel noch eine Frage:
Ist also F(x,y)=x²+y²-1 lokal eindeutig nach y eindeutig auflösbar, wenn die Bedingungen erfüllt sind, also für den Punkt (0,1) bzw. (0,-1).
Wir erhalten dann y(x)= [mm] \pm \wurzel[]{1-x²} [/mm]
für alle x in einer Umgebung von 0.
Für die Punkte (-1,0) und (1,0) hingegen sind die Bedingungen nicht erfüllt.
Ich weiß ich wiederhol mich wahrscheinlich, will aber sicher gehn, das ich das richtig verstanden hab.
Im Internet hab ich folgende Aussage gefunden, die mich auch etwas verwirrt:
F(x,y) = x2 + y2 − 1 nach y ergibt . Diese Zahl ist invertierbar genau dann, wenn [mm] y\not=0 [/mm] . Damit folgert man mit Hilfe des Satzes, dass diese Gleichung nach y auflösbar ist, wenn 2y [mm] \not= [/mm] 0 . Der Fall y = 0 tritt jedoch nur in den Punkten x = − 1 oder x = 1 auf. Dies sind also die Problempunkte. Tatsächlich sieht man, dass die Formel
y(x)= [mm] \pm \wurzel[]{1-x²} [/mm] sich genau in diesen Problempunkten in eine positive und negative Lösung verzweigt. In allen anderen Punkten ist die Auflösung lokal eindeutig.
Woran sieht man das sich die Formel in den Problempunkten in eine positive und negative Lösung verzeigen? Wenn ich (1,0) bzw. (-1,0) einsetzte erhalte ich doch immer null? Oder ist damit gemeint, dass sowohl 1 als auch -1 die gleichen Lösung führen? ich mach wohl heute schon etwas zu lang mathe...
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Hallo sclossa,
> > Ein anderes Bsp. zur Eindeutigkeit wäre [mm]F(x,y)=y^2-x^2[/mm] Klar
> > löst y=x die Gleichung und im Pkt. (1,1) könnte man das
> > auch so schreiben aber im Pkt. (0,0) nicht da eben auch
> > y=-x die Gleichung löst.
>
> Irgendwie ist mir die Begründung hier nicht so ganz
> einleuchtend. Klar, der Punkt (1,1) erfüllt die Bed und
> (0,0) nicht - aber warum erhalten wir einmal [mm] y_1(x)=x [/mm] und einmal
> [mm] y_2(x)=-x [/mm] ?
> y(x)= [mm]\pm \wurzel[]{x²}[/mm] nicht eindeutig für (0/0)???
Beide Funktionen erfüllen die Bedingungen:
[mm] F(x,y_1(x))=y_1(x)^2-x^2=x^2-x^2=0
[/mm]
[mm] F(x,y_2(x))=y_2(x)^2-x^2=(-x)^2-x^2=0
[/mm]
und beide gehen durch (0,0) daher ist die Gleichung nicht eindeutig auflösbar.
> Zu dem alten Beispiel noch eine Frage:
> Ist also F(x,y)=x²+y²-1 lokal eindeutig nach y eindeutig
> auflösbar, wenn die Bedingungen erfüllt sind, also für den
> Punkt (0,1) bzw. (0,-1).
> Wir erhalten dann y(x)= [mm]\pm \wurzel[]{1-x²}[/mm]
> für alle x in einer Umgebung von 0.
> Für die Punkte (-1,0) und (1,0) hingegen sind die
> Bedingungen nicht erfüllt.
Ja.
> Im Internet hab ich folgende Aussage gefunden, die mich
> auch etwas verwirrt:
> F(x,y) = x2 + y2 − 1 nach y ergibt . Diese Zahl ist
> invertierbar genau dann, wenn [mm]y\not=0[/mm] . Damit folgert man
> mit Hilfe des Satzes, dass diese Gleichung nach y auflösbar
> ist, wenn 2y [mm]\not=[/mm] 0 . Der Fall y = 0 tritt jedoch nur in
> den Punkten x = − 1 oder x = 1 auf. Dies sind also
> die Problempunkte. Tatsächlich sieht man, dass die Formel
> y(x)= [mm]\pm \wurzel[]{1-x²}[/mm] sich genau in diesen
> Problempunkten in eine positive und negative Lösung
> verzweigt. In allen anderen Punkten ist die Auflösung lokal
> eindeutig.
>
> Woran sieht man das sich die Formel in den Problempunkten
> in eine positive und negative Lösung verzeigen? Wenn ich
> (1,0) bzw. (-1,0) einsetzte erhalte ich doch immer null?
> Oder ist damit gemeint, dass sowohl 1 als auch -1 die
> gleichen Lösung führen? ich mach wohl heute schon etwas zu
> lang mathe...
"Sehen" wird man das nur wenn man sich vor Augen führt das dies eine Kreisgleichung ist und man den Kreis(als Funktion) von dem Punkt (1,0) nach unten und oben fortsetzen kann.
viele Grüße
mathemaduenn
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