Satz v. d. majorisierten Konv. < Sonstiges < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:41 Do 09.02.2012 | | Autor: | yonca |
| Aufgabe | Entscheiden Sie bei der folgenden Behauptung ob sie wahr oder falsch ist:
Sei [mm] (\Omega,\mathcal{A}, [/mm] P) ein W-Raum und [mm] f_n [/mm] eine Folge von P-integrierbaren Funktionen mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{}^{}{f_n dP}= \integral_{}^{}{f_0 dP}. [/mm]
Dann gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f_n [/mm] = [mm] f_0 [/mm] P-f.ü. |
Hallo,
vielleicht kann mir jemand bei dieser Aufgabe weiterhelfen. Laut Musterlösung ist diese Aussage falsch. Mir ist allerdings nicht klar, warum?!
Ich glaube diese Aussage soll sich auf den Satz von der majorisierten Konvergenz beziehen. Ich hätte nun vermutet, dass wenn man die Grenzwertbildung mit dem Integral vertauschen kann, dass dann die Folge [mm] f_n [/mm] auf jeden Fall gegen [mm] f_0 [/mm] P-f.ü. konvergieren muss. Aber offensichtlich scheint diese Überlegung falsch zu sein?!
Also, warum ist diese Aussage nun falsch bzw. gibt es vielleicht ein Gegenbeispiel dazu?
Viele Grüße,
Yonca
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Hallo yonca,
vielleicht sind dir ja die "wandernden Türme" bekannt als Beispiel von stochastischer Konvergenz, die nicht [mm] $\IP$ [/mm] - fast sicher ist.
Falls nicht, hier nochmal die Funktionenfolge:
Für [mm] $m\in\IN$ [/mm] und $k [mm] \in \{0,1,\ldots,2^m - 1\}$ [/mm] sei
[mm] $A_{m,k} [/mm] = [mm] [k*2^{-m},(k+1)*2^{-m}) \subset [/mm] [0,1)$
Mach dir nun klar, dass sich jedes [mm] $n\in\IN$ [/mm] eindeutig in der Form $n = [mm] 2^m [/mm] + k$ darstellen lässt, mit [mm] $m\in\IN$ [/mm] und $k [mm] \in \{0,1,\ldots,2^m - 1\}$.
[/mm]
D.h. es lässt sich eine Folge von Mengen angeben, die wie folgt definiert ist:
[mm] $A_n [/mm] := [mm] A_{m,k}$
[/mm]
Diese Zuordnung ist nach oben genanntem eindeutig, d.h. zu gegebenen n lassen sich eindeutige $m [mm] \in \IN$ [/mm] und $k [mm] \in \{0,1,\ldots,2^m - 1\}$ [/mm] angeben, so dass $n = [mm] 2^m [/mm] + k$ und aus gegebenen $m [mm] \in \IN$ [/mm] und $k [mm] \in \{0,1,\ldots,2^m - 1\}$ [/mm] lässt sich eindeutig das n ausrechnen.
Betrachten wir nun die Indikatorfunktionen der Menge [mm] A_n [/mm] und betrachten das als Folge, d.h.
[mm] $f_n [/mm] := [mm] 1_{A_n}$
[/mm]
dann gilt:
[mm] $\lim_{n\to\infty} \integral_{[0,1)}\, f_n\,d\lambda [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty} \integral_{[0,1)}\, 1_{A_n}\,d\lambda [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty} \left((k+1)*2^{-m} - k*2^{-m}\right) [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty} 2^{-m}$
[/mm]
Und mit [mm] $n\to\infty$ [/mm] gilt auch [mm] $m\to\infty$ [/mm] und damit:
[mm] $\lim_{n\to\infty} \integral_{[0,1)}\, f_n\,d\lambda [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty} 2^{-m} [/mm] = 0 = [mm] \integral_{[0,1)}\, [/mm] 0 [mm] \,d\lambda
[/mm]
Aber es gilt:
[mm] $\lim_{n\to\infty} f_n \not= [/mm] 0$, da die [mm] f_n [/mm] nicht einmal [mm] $\IP$ [/mm] - fast sicher konvergieren.
MFG,
Gono.
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