Satz von Cayley-Hamilton < Eigenwertprobleme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Benutzen Sie den Satz von Cayley-Hamilton um die Inverse der Matrix
[mm] A=\pmat{ 3 & -6 \\ 4 & -5 }
[/mm]
als Polynom in A auszudrücken. |
hab garkeine ahnung wie ich da vorgehn muss :(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:46 So 03.05.2009 | | Autor: | Nalewka |
Guten Tag,
berechne zunächst das charakteristische Polynom der Matrix.
Also [mm] P(\lambda)=....
[/mm]
Und stelle dann [mm] P(\\A)=... [/mm] auf und setze dies dann Null. Dann die Umkehrabbildung bestimmen, wobei [mm] \\A [/mm] deine Matrix ist.
Nal
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danke für die antwort, aber ich habs nicht ganz verstanden
[mm] P(\lambda)=\lambda^2+2\lambda+9
[/mm]
aber wie muss ich jetzt weiter machen?
A in [mm] \lambda [/mm] einsetzen, aber wie soll ich die +9 addieren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:10 So 03.05.2009 | | Autor: | Nalewka |
Guten Tag,
> danke für die antwort, aber ich habs nicht ganz verstanden
> [mm]P(\lambda)=\lambda^2+2\lambda+9[/mm]
>
> aber wie muss ich jetzt weiter machen?
> A in [mm]\lambda[/mm] einsetzen, aber wie soll ich die +9 addieren?
Es ist dann [mm] \\P(A)=0 [/mm] zu setzen.
[mm] \\A^{2}+2A+9E=0 [/mm] wobei [mm] \\E [/mm] die Einheitsmatrix ist.
Nal
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:21 So 03.05.2009 | | Autor: | Kinghenni |
ok dann bin ich nochmal einen schritt weiter :)
so [mm] P(A)=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 12 }
[/mm]
jetzt sagtest du was von umkehrfunktion, da bräucht ich bitte nochmal hilfe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:21 So 03.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> Guten Tag,
>
> > danke für die antwort, aber ich habs nicht ganz verstanden
> > [mm]P(\lambda)=\lambda^2+2\lambda+9[/mm]
> >
> > aber wie muss ich jetzt weiter machen?
> > A in [mm]\lambda[/mm] einsetzen, aber wie soll ich die +9
> addieren?
>
> Es ist dann [mm]\\P(A)=0[/mm] zu setzen.
Das ist doch Unsinn ! Da gibts nichts zu setzen !
Nach dem Satz von Cayley Hamilton ist
[mm]\\P(A)=0[/mm]
FRED
>
> [mm]\\A^{2}+2A+9E=0[/mm] wobei [mm]\\E[/mm] die Einheitsmatrix ist.
>
> Nal
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:29 So 03.05.2009 | | Autor: | Nalewka |
Guten Tag,
>
> Das ist doch Unsinn ! Da gibts nichts zu setzen !
>
> Nach dem Satz von Cayley Hamilton ist
>
>
> [mm]\\P(A)=0[/mm]
>
>
Entschuldige bitte, da habe ich mich nur falsch ausgedrückt. Mir ist bekannt wie der Satz geht. Man muss nicht alles auf die goldene Waage legen.
> FRED
>
>
Mel
>
> >
> > [mm]\\A^{2}+2A+9E=0[/mm] wobei [mm]\\E[/mm] die Einheitsmatrix ist.
> >
> > Nal
> >
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:33 Mo 04.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> Guten Tag,
>
> >
> > Das ist doch Unsinn ! Da gibts nichts zu setzen !
> >
> > Nach dem Satz von Cayley Hamilton ist
> >
> >
> > [mm]\\P(A)=0[/mm]
> >
> >
>
> Entschuldige bitte, da habe ich mich nur falsch
> ausgedrückt. Mir ist bekannt wie der Satz geht. Man muss
> nicht alles auf die goldene Waage legen.
In der Mathematik ist das aber ratsam
FRED
>
> > FRED
> >
> >
>
> Mel
> >
> > >
> > > [mm]\\A^{2}+2A+9E=0[/mm] wobei [mm]\\E[/mm] die Einheitsmatrix ist.
> > >
> > > Nal
> > >
> >
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:23 So 03.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Nach dem Satz von Cayley _ Hamilton ist
$ [mm] \\A^{2}+2A+9E=0 [/mm] $
Multipliziere dies mit [mm] A^{-1} [/mm] und Du hast [mm] A^{-1} [/mm] vor der Nase
FRED
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danke fred für deine meinung,
aber was soll ich mit A^-1 multiplizieren???
die null? dann kommt doch null wieder raus
aber das bringt doch dann garnix???
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> danke fred für deine meinung,
Hallo,
nun, eine "Meinung" war das nicht, sondern eher eine Gebrauchsanweisung.
> aber was soll ich mit A^-1 multiplizieren???
Das hat er doch ganz deutlich gesagt: $ [mm] \\A^{2}+2A+9E=0 [/mm] $
> die null? dann kommt doch null wieder raus
> aber das bringt doch dann garnix???
Immerhin hat obige Gleichung ja zwei Seiten...
Jetzt mach's doch einfach mal. Was steht dann da? Anschauen, freuen, [mm] A^{-1} [/mm] freistellen.
Gruß v. Angela
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> Das hat er doch ganz deutlich gesagt: [mm]\\A^{2}+2A+9E=0[/mm]
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> > die null? dann kommt doch null wieder raus
> > aber das bringt doch dann garnix???
>
> Immerhin hat obige Gleichung ja zwei Seiten...
ja beide seiten sind doch gleich null?
> Jetzt mach's doch einfach mal. Was steht dann da?
ja ka wie, etwa [mm] A^2*A^{-1}+2A *A^{-1}+9E*A^{-1}?????
[/mm]
> Anschauen, freuen, [mm]A^{-1}[/mm] freistellen.
und was bedeutet [mm]A^{-1}[/mm] freistellen.
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> > Das hat er doch ganz deutlich gesagt: [mm]\\A^{2}+2A+9E=0[/mm]
> >
> > > die null? dann kommt doch null wieder raus
> > > aber das bringt doch dann garnix???
> >
> > Immerhin hat obige Gleichung ja zwei Seiten...
> ja beide seiten sind doch gleich null?
Hallo,
ja. Die Gleichheit beider Seiten ist der Witz bei Gleichungen...
Wenn ich die Gleichung 3x=15 lösen will, dann lege ich mich aber doch auch nicht ins Gras und sage: die sind doch eh beide =15.
Sondern ich bemühe mich, etwas übers x herauszufinden.
> > Jetzt mach's doch einfach mal. Was steht dann da?
> ja ka wie, etwa [mm]A^2*A^{-1}+2A *A^{-1}+9E*A^{-1}?????[/mm]
Nein.
Es steht dann da: [mm] A^2*A^{-1}+2A *A^{-1}+9E*A^{-1}\red{=A^{-1}*0=0}
[/mm]
Jetzt bearbeite die linke Seite. Was bedeutet [mm] A^2? [/mm] Was ist [mm] A*A^{-1}? [/mm] Was ist [mm] E*A^{-1}. [/mm] Das hilft.
> und was bedeutet [mm]A^{-1}[/mm] freistellen.
Die Gleichung so umformen, daß [mm] A^{-1} [/mm] alleine auf einer Seite steht.
Gruß v. Angela
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> Es steht dann da: [mm]A^2*A^{-1}+2A *A^{-1}+9E*A^{-1}\red{=A^{-1}*0=0}[/mm]
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> Jetzt bearbeite die linke Seite. Was bedeutet [mm]A^2?[/mm] Was ist
> [mm]A*A^{-1}?[/mm] Was ist [mm]E*A^{-1}.[/mm] Das hilft.
also [mm]A^2[/mm][mm] *A^{-1}=A
[/mm]
[mm][mm] A*A^{-1}=E
[/mm]
[mm] E*A^{-1}=A^{-1}
[/mm]
dh also [mm] A^{-1}=\bruch{A+2E}{9} [/mm] ???
aber das wär ja kein polynom wie in der aufgabe gefordert??
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> dh also [mm]A^{-1}=\red{-}\bruch{A+2E}{9}[/mm] ???
Na also! geht doch!
> aber das wär ja kein polynom wie in der aufgabe gefordert??
Doch. Frisiere etwas, dann steht da [mm]A^{-1}=-\bruch{1}{9}A-\bruch{2}{9}E[/mm] .
Das ist doch ein Polynom in A. Du hast [mm] A^{-1} [/mm] also Summe von Vielfachen von Potenzen von A geschreiben.
Gruß v. Angela
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