Satz von Green < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:49 So 22.05.2011 | | Autor: | Kato |
| Aufgabe | | Sei [mm] \vec F = (x^2 + y, xy) [/mm] ein Kraftfeld in [mm] \IR^2 [/mm] und [mm] \Gamma : [0,2\pi] \to \IR^2 [/mm] die Funktion [mm] \Gamma (t) = (1+cos\, t,sin\, t)[/mm]. Berechne die Arbeit des Kraftfelds [mm]\vec F[/mm] die Kurve [mm] \Gamma [/mm] entlang. |
Hallo liebe Mathefreunde
zur Lösung der gegebenen Aufgabe habe ich mir folgendes überlegt:
Sei B die durch [mm] \Gamma [/mm] (t) (0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le 2\pi) [/mm] begrenzte Fläche. (Die Einheitskreisscheibe um 1 nach rechts verschoben).
[mm] \integral_{\Gamma}{\vec F d\Gamma} = \integral_{\Gamma}{(x^2+y\,dx + xy\,dy)} = \integral_{B}{(y - 2x)} dx\, dy [/mm] (Satz von Green)
Ist das soweit richtig?
Ich würde jetzt weitermachen, indem ich die Kreisfläche zerlege [mm]( y = \pm\wurzel{1-(x-1)^2} )[/mm]. Also [mm] \integral_{0}^{2}{\integral_{0}}^{\wurzel{1-(x-1)^2}}{y - 2x\; dy} dx} + \left| \integral_{0}^{2}{\integral_{-\wurzel{1-(x-1)^2}}^{0}{y - 2x\;dy} dx} \right| [/mm]
Ich habe das Gefühl, dass das nicht richtig ist und bevor ich jetzt an dieser Aufgabe weitermache, wäre ich sehr dankbar, wenn einer von euch sich diese kurz anschaut.
Liebe Grüße
Kato
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:28 So 22.05.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo Kato!
> Sei [mm]\vec F = (x^2 + y, xy)[/mm] ein Kraftfeld in [mm]\IR^2[/mm] und
> [mm]\Gamma : [0,2\pi] \to \IR^2[/mm] die Funktion [mm]\Gamma (t) = (1+cos\, t,sin\, t)[/mm].
> Berechne die Arbeit des Kraftfelds [mm]\vec F[/mm] die Kurve [mm]\Gamma[/mm]
> entlang.
>
> Hallo liebe Mathefreunde
>
> zur Lösung der gegebenen Aufgabe habe ich mir folgendes
> überlegt:
>
> Sei B die durch [mm]\Gamma (t) (0 \le t \le 2\pi)[/mm] begrenzte Fläche. (Die Einheitskreisscheibe um 1 nach rechts
> verschoben).
>
> [mm]\integral_{\Gamma}{\vec F d\Gamma} = \integral_{\Gamma}{(x^2+y\,dx + xy\,dy)} = \integral_{B}{(y - 2x)} dx\, dy[/mm]
> (Satz von Green)
> Ist das soweit richtig?
Nicht ganz: die Ableitung von [mm] $x^2+y$ [/mm] nach y ist 1, also steht da rechts
[mm] \integral_{B}{(y -1)} dx\, dy[/mm]
Allerdings funktioniert es genauso gut, das Kurvenintegral direkt auszurechnen, also über
[mm] \integral_{0}^{2\pi} F(\Gamma(t))*\Gamma'(t) dt [/mm] .
> Ich würde jetzt weitermachen, indem ich die Kreisfläche
> zerlege [mm]( y = \pm\wurzel{1-(x-1)^2} )[/mm]. Also
> [mm]\integral_{0}^{2}{\integral_{0}}^{\wurzel{1-(x-1)^2}}{y - 2x\; dy} dx} + \left| \integral_{0}^{2}{\integral_{-\wurzel{1-(x-1)^2}}^{0}{y - 2x\;dy} dx} \right|[/mm]
Das geht zwar, ist aber ein bischen mühsam. Einfacher ist es, in Polarkoordinaten
[mm] x= 1+r\cos\phi [/mm], [mm] y=r\sin\phi[/mm]
zu transformieren.
Viele Grüße
Rainer
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