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Forum "Integralrechnung" - Satz von Green
Satz von Green < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Satz von Green: einfaches Integral
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:15 So 30.10.2011
Autor: DoubleHelix

Aufgabe
Berechnen Sie
[mm] \integral_{\partial B}^{}{3x^2dx - 4xydy}, [/mm]
wobei B := {(x, y) : 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 4, 0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 1}.
Hinweis: Verwenden Sie den Satz von Green-Riemann


Hallo,
der Satz von Green lautet: [mm] \integral_{c}^{}{Pdx+Qdy}=\integral\integral_{B}^{}{\bruch{dQ}{dx}-\bruch{dP}{dy} dx dy} [/mm]

ich bin damit zu folgendem Integral gekommen:
[mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{4}{-4y - 0 dx dy} [/mm]  für [mm] P=3x^2 [/mm] und Q=4xy
Das Ergebnis lautet -8.

Meine Frage ist ob dass so stimmt?
mfg Double

        
Bezug
Satz von Green: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:34 So 30.10.2011
Autor: MathePower

Hallo DoubleHelix,

> Berechnen Sie
>  [mm]\integral_{\partial B}^{}{3x^2dx - 4xydy},[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


>  wobei B :=
> {(x, y) : 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 4, 0 [mm]\le[/mm] y [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

1}.

>  Hinweis: Verwenden Sie den Satz von Green-Riemann
>  
> Hallo,
>  der Satz von Green lautet:
> [mm]\integral_{c}^{}{Pdx+Qdy}=\integral\integral_{B}^{}{\bruch{dQ}{dx}-\bruch{dP}{dy} dx dy}[/mm]
>  
> ich bin damit zu folgendem Integral gekommen:
>  [mm]\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{4}{-4y - 0 dx dy}[/mm]  für
> [mm]P=3x^2[/mm] und Q=4xy
>  Das Ergebnis lautet -8.
>
> Meine Frage ist ob dass so stimmt?


Das stimmt so. [ok]


>  mfg Double


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Satz von Green: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:35 So 30.10.2011
Autor: DoubleHelix

Vielen Dank für deine schnelle Hilfe!


Was ist aber wenn der Weg der Kurve eine Elipse ist, also
[mm] \partial [/mm] B = [mm] x^2 [/mm] + [mm] 9*y^2 [/mm] = 9.
Zum Bsp:
Berechnen Sie
[mm] \integral_{\partial B}^{}{y dx - x dy} [/mm]

wobei  [mm] \partial [/mm] B  die Ellipse  [mm] x^2 [/mm] + [mm] 9*y^2 [/mm] = 9 ist.
Hinweis: Verwenden Sie den Satz von Green-Riemann
Ich mmuss dann richtig parametrisieren. Stehe aber etwas auf dem Schlauch und weiss nicht wie ich das anpacken soll.
Mein Ansatz:
[mm] \integral\integral_{\partial B}^{}{1 dxdy} [/mm]

dann die richtigen Wertebereiche für x und y bestimmen jeweils als Grenzen einsetzten und Integral lösen.

bitte um Hilfe.

mfg double

Bezug
                        
Bezug
Satz von Green: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:49 So 30.10.2011
Autor: MathePower

Hallo DoubeHelix,

> Vielen Dank für deine schnelle Hilfe!
>  
>
> Was ist aber wenn der Weg der Kurve eine Elipse ist, also
>  [mm]\partial[/mm] B = [mm]x^2[/mm] + [mm]9*y^2[/mm] = 9.
>  Zum Bsp:
>  Berechnen Sie
>  [mm]\integral_{\partial B}^{}{y dx - x dy}[/mm]
>  
> wobei  [mm]\partial[/mm] B  die Ellipse  [mm]x^2[/mm] + [mm]9*y^2[/mm] = 9 ist.
>  Hinweis: Verwenden Sie den Satz von Green-Riemann
>  Ich mmuss dann richtig parametrisieren. Stehe aber etwas
> auf dem Schlauch und weiss nicht wie ich das anpacken
> soll.


Die Gleichung kannst Du nach einer Variablen auflösen,
dann entsteht dort ein Wurzelausdruck. Das sind dann
die Grenzen für die eine Variable.

Diesen Wurzelausdruck untersuchst Du auf Definitheit ([mm]\ge 0[/mm]).
Das sind dann die Grenzen für die andere Variable.


>  Mein Ansatz:
>  [mm]\integral\integral_{\partial B}^{}{1 dxdy}[/mm]
>  

Hier muss doch stehen:

[mm]\integral\integral_{\partial B}^{}{\red{-2} dxdy}[/mm]


> dann die richtigen Wertebereiche für x und y bestimmen
> jeweils als Grenzen einsetzten und Integral lösen.
>  
> bitte um Hilfe.
>  
> mfg double


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Satz von Green: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:03 So 30.10.2011
Autor: DoubleHelix

Ok ich habe umgeformt auf:

[mm] x^2 [/mm] = 9 - [mm] 9y^2 [/mm]
=> [mm] x=\wurzel{9 - 9y^2} \ge [/mm] 0
=> [mm] \wurzel{9 - 9y^2} \ge [/mm] 0
=> 9 - [mm] 9y^2 \ge [/mm] 0 [mm] y^2 \ge [/mm] 1
=> y=1, x=0
wei komme ich von da aus weiter?

woher kommt das -2 im Doppelintegral, wenn ich p nach y ableite und q nach x bekomme ich 1 und -1 heraus daraus folgt 1 - (-1) =2 oder?

mfg Double

Bezug
                                        
Bezug
Satz von Green: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:20 So 30.10.2011
Autor: MathePower

Hallo DoubleHelix,

> Ok ich habe umgeformt auf:
>  
> [mm]x^2[/mm] = 9 - [mm]9y^2[/mm]
> => [mm]x=\wurzel{9 - 9y^2} \ge[/mm] 0
>  => [mm]\wurzel{9 - 9y^2} \ge[/mm] 0

>  => 9 - [mm]9y^2 \ge[/mm] 0 [mm]y^2 \ge[/mm] 1

>  => y=1, x=0

>  wei komme ich von da aus weiter?
>  


Die Grenzen von x ergeben sich zu: [mm]\pm3\wurzel{1-y^{2}}[/mm]

Aus dem Wissen, daß [mm]1-y^{2}\ge0[/mm] sein muss.
ergeben sich die Grenzen von y.


> woher kommt das -2 im Doppelintegral, wenn ich p nach y
> ableite und q nach x bekomme ich 1 und -1 heraus daraus
> folgt 1 - (-1) =2 oder?
>  


Es ist doch p=y und q=-x.

Damit ist

[mm]\bruch{dq}{dx}-\bruch{dp}{dy}=\left(-1\right)-1=-2[/mm]



> mfg Double


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
Satz von Green: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:49 So 30.10.2011
Autor: DoubleHelix

Oh ja du hast natürlich recht mit dem -2 *ich bin doof* :-D

die Grenzen ergeben sich zu:
y=+/-  1
und
x=+/- 3

das Integral würde somit lauten:
[mm] \integral_{-1}^{1}\integral_{-3}^{3}{-2 dx dy}=-24 [/mm]

stimmt das?



Bezug
                                                        
Bezug
Satz von Green: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:00 So 30.10.2011
Autor: MathePower

Hallo DoubleHelix,

> Oh ja du hast natürlich recht mit dem -2 *ich bin doof*
> :-D
>  
> die Grenzen ergeben sich zu:
>  y=+/-  1
>  und
>  x=+/- 3
>  
> das Integral würde somit lauten:
>  [mm]\integral_{-1}^{1}\integral_{-3}^{3}{-2 dx dy}=-24[/mm]
>  
> stimmt das?
>  


Nein, die Grenzen für x sind doch variabel:

[mm]\integral_{-1}^{1}\integral_{-3\red{\wurzel{1-y^{2}}}}^{3\red{\wurzel{1-y^{2}}}}{-2 dx dy}[/mm]


Gruss
MathePower

Bezug
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