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Hallo!
Wir hatten heute den Satz von Lagrange in der Vorlesung und haben diesen bewiesen, in dem wir eine Äquivalenzklasse auf G definiert haben:..wozu ist die gut? mit fehlt irgendwie der Grund, warum wir das so gemacht haben...
Danke
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hab jetzt schon mal herausgefunden, dass die Linksnebenklassen die Menge G zerteilen, also Äquivalenzklassen sind?
aber warum sind x~y [mm] :\gdw [/mm] x^-1*y?
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> hab jetzt schon mal herausgefunden, dass die
> Linksnebenklassen die Menge G zerteilen, also
> Äquivalenzklassen sind?
>
> aber warum sind x~y [mm]:\gdw[/mm] x^-1*y?
Hallo,
das ist nicht so. Das, was Du da schreibst, ist Quatsch. Da fehlt ja ein wesentlicher Teil!
Ich gehe mal davon aus, daß es sich um folgende Äquivalenzrelation handelt: U Untergruppe von G.
[mm] x\sim [/mm] y <==> [mm] xy^{-1} \in [/mm] U.
Und das ist so, weil man es so definiert hat. Da gibt's nichts weiter zu sinnieren.
Man definiert, zeigt, daß es eine Äquivalenzrelation ist, und dann geht's weiter.
Speziell diese (und nicht eine andere) Äquivalenzrelation nimmt man, weil man sie später gebrauchen kann.
Gruß v. Angela
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> Wir hatten heute den Satz von Lagrange in der Vorlesung
> und haben diesen bewiesen, in dem wir eine Äquivalenzklasse
> auf G definiert haben:..wozu ist die gut? mit fehlt
> irgendwie der Grund, warum wir das so gemacht haben...
Hallo,
weil's damit funktioniert, habt Ihr das so gemacht.
Die Äquivalenzklassen Ug haben folgende Eigenschaft:
Wenn sie verschieden sind, haben sie kein gemeinsames Element.
Wenn man alle verschiedenen Äquivalenzklassen vereinigt, erhält man die Gruppe.
Die Vereinigung enthält also genausoviele Elemente wie die Gruppe.
Man weiß außerdem, daß jede dieser Äquivalenzklaasen genausoviele Elemente wie U enthält, und damit hat man dann das gewünschte Resultat.
Gruß v. Angela
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hmmm...mir fehlt aber einfach der Zusammenhang zu der Lagrange Formel
|G|=|G:H|*|H|
Kannst du mir da vllt. noch einen Tipp geben?
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> hmmm...mir fehlt aber einfach der Zusammenhang zu der
> Lagrange Formel
> |G|=|G:H|*|H|
>
> Kannst du mir da vllt. noch einen Tipp geben?
Hallo,
ich hoffe, Du weißt, daß mit |G:H| die Anzahl der verschiedenen Nebenklassen von H gemeint ist.
Ich hatte zuvor ja gesagt, daß die Vereinigung dieser verschiedenen Nebenklassen die Gruppe G ergibt.
Weiter hatte ich gesagt, daß die Nebenklassen disjunkt sind, und daß die Anzahl die Elemente in den Nebenklassen gleich der Anzahl dr Elemente von H ist.
Ich sag mal so: wenn ich 5 Tassen mit jeweils 173 Erbsen in einer Schüssel zusammenkippe, kann in der gr0ßen Schüssel nix anderes drin sein also 5*173 Erbsen.
Gruß v. Angela
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ja, das verstehe ich schon, aber warum definiert man nun ausgerechnet eine Äquivalenzrelation? weil man die disjunkten nebenklassen hat?
tut mir leid, dass ich so blöd frage...
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> ja, das verstehe ich schon, aber warum definiert man nun
> ausgerechnet eine Äquivalenzrelation? weil man die
> disjunkten nebenklassen hat?
hallo,
man macht das so, weil's so klappt...
Ja, das Interessante ist die Klasseneinteilung.
Jedes Element von liegt in genau einer Klasse, und die Klassen zusammen ergeben G, das ist ja wesentlich für den Beweis.
Gruß v. Angela
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ok, dann akzeptier ich das erstmal so...
Vielen lieben Dank!
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> ok, dann akzeptier ich das erstmal so...
Hallo,
ja, ich denke, das ist im Moment die richtige Einstellung.
Wichtig ist, daß Du den Verlauf des Beweises von A-Z nachvollziehen kannst.
Akzeptieren mußt Du, daß man das so macht, weil es funktioniert. Das ist bei vielen anderen Beweisen auch so.
Du bekommst in der Vorlesung die Resultate langen Nachdenkens innerhalb von Minuten präsentiert - alle Wege in Vorfeld, die in Sackgassen gelaufen sind, siehst Du nicht, ebensowenig, wie Du die vielen Schmierzettelüberlegungen siehst, die dahin geführt haben. Möglicherweise gibt es noch andere Beweise. Kannst ja mal (ver)suchen!
Gruß v. Angela
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