Satz von Lagrange < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:45 Fr 03.07.2009 | | Autor: | Pille456 |
Hi,
Ich habe noch eine Frage zum Gruppenhomorphismus:
Wie kann ich beweisen, dass es keine Gruppenhomorphismus zwischen zwei Gruppen geben kann? Konkret habe ich versucht eine Gruppenhomorphimus zwischen [mm] \IZ_6 \to \IZ_4 [/mm] zu finden. Da das bisher scheiterte habe ich den Verdacht, dass es zwischen den Gruppen keinen Gruppenhomorphismus geben kann. Ich denke es hängt damit zusammen, dass 4 kein Teiler von 6 ist.
Das wiederum würde mich auf den Satz von Lagrange bringen: Nach diesem Satz ist [mm] \IZ_4 [/mm] aufjedenfall keine Untergruppe von [mm] \IZ_6.
[/mm]
Nur wie kann mir das bei Gruppenhomorphismen helfen?
Noch eine Frage bzgl. Notation:
"Sei [mm] P^4_2 [/mm] die Menge der Polynome von Grad [mm] \le [/mm] 4 in [mm] \IZ_2. (P^4_2,+_2) [/mm] sei eine Gruppe."
Heißt doch erstmal nicht anders als folgendes:
Ich habe das Polynom [mm] a_4*x^4+a_3*x^3+a_2*x^2+a_1*x^1+a_0 [/mm] mit [mm] a_0,...,a_4 \in \IZ_2. [/mm] Also z.B. [mm] 1*x^4+0*x^3+0*x2+1*x^1+0
[/mm]
Also gibt es [mm] 2^5 [/mm] = 32 verschiedene Elemente in der Menge [mm] P^4_2.
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Nach dem Satz von Lagrange sind alle Mengen mit 2,4,8,16 Elementen Untergruppen von [mm] (p^4_2,+_2) [/mm] oder nicht?
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> Ich habe noch eine Frage zum Gruppenhomorphismus:
> Wie kann ich beweisen, dass es keine Gruppenhomorphismus
> zwischen zwei Gruppen geben kann? Konkret habe ich versucht
> eine Gruppenhomorphimus zwischen [mm]\IZ_6 \to \IZ_4[/mm] zu finden.
Hallo,
den gibt es gewiß. Z.B. den, der alles aufs neutrale Element abbildet - daß er nicht so aufregend ist, gebe ich ja zu...
> Da das bisher scheiterte habe ich den Verdacht,
> dass es
> zwischen den Gruppen keinen Gruppenhomorphismus geben kann.
> Ich denke es hängt damit zusammen, dass 4 kein Teiler von
> 6 ist.
Ja, in [mm] \IZ_6 [/mm] hast Du ein Element der Ordnung 3, z.B. 2, und dafür findest Du in [mm] \IZ_4 [/mm] außer 0 keinen passenden Partner, denn???
Damit bist Du in der Zuweisung von Funktionswerten für 2 sehr eingeschränkt.
> Noch eine Frage bzgl. Notation:
> "Sei [mm]P^4_2[/mm] die Menge der Polynome von Grad [mm]\le[/mm] 4 in [mm]\IZ_2. (P^4_2,+_2)[/mm]
> sei eine Gruppe."
> Heißt doch erstmal nicht anders als folgendes:
> Ich habe das Polynom [mm]a_4*x^4+a_3*x^3+a_2*x^2+a_1*x^1+a_0[/mm]
> mit [mm]a_0,...,a_4 \in \IZ_2.[/mm] Also z.B.
> [mm]1*x^4+0*x^3+0*x2+1*x^1+0[/mm]
> Also gibt es [mm]2^5[/mm] = 32 verschiedene Elemente in der Menge
> [mm]P^4_2.[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] Nach dem Satz von Lagrange sind alle Mengen
> mit 2,4,8,16 Elementen Untergruppen von [mm](p^4_2,+_2)[/mm] oder
> nicht?
Der Satz von Lagrange sagt, daß als Untergruppen nur Mengen von dieser Mächtigkeit infrage kommen, aber er verspricht einem nicht, daß jede solcher Mengen eine Untergruppe ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:54 Fr 03.07.2009 | | Autor: | Pille456 |
> den gibt es gewiß. Z.B. den, der alles aufs neutrale
> Element abbildet - daß er nicht so aufregend ist, gebe ich
> ja zu...
Du meinst also eine Abbildung: [mm] \pi:\IZ_6\to\IZ_4 [/mm] mit [mm] \pi(n) [/mm] = 0.
Auf diese Art und Weise könnte ich dann doch theoretisch immer einen Gruppennhomorphismus zwischen Gruppen des Types [mm] (\IZ_n,+_n) [/mm] finden, denn deren neutrales Elemente ist ja immer 0 und n mit seinen Vielfachen.
> Ja, in [mm]\IZ_6[/mm] hast Du ein Element der Ordnung 3, z.B. 2, und
> dafür findest Du in [mm]\IZ_4[/mm] keinen passenden Partner,
> denn???
...denn [mm] \IZ_4 [/mm] enthält kein Element der Ordnung 3? Ich kann dir hier jedoch nicht ganz folgen.
> Der Satz von Lagrange sagt, daß als Untergruppen nur
> Mengen von dieser Mächtigkeit infrage kommen, aber er
> verspricht einem nicht, daß jede solcher Mengen eine
> Untergruppe ist.
Danke für den Hinweis! Das Hilft schonmal sehr.
Nun habe ich die Aufgabe (welche Überraschung) alle Untergruppen von [mm] (P^4_2,+_2) [/mm] zu finden. Da kommen ja mal eben [mm] \vektor{32 \\ 2} [/mm] + [mm] \vektor{32 \\ 4} [/mm] + [mm] \vektor{32 \\ 8} [/mm] + [mm] \vektor{32 \\ 16} [/mm] verschiedene Gruppen theoretisch in Frage.
Kann man das vielleicht noch irgendwie eingrenzen? (Außer die Gruppe selbst und die Gruppe, die nur das neutrale Element enthält)
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Hallo,
once more: eben hatten wir Stromausfall, und mein ganzer Text ist verschwunden.
> Du meinst also eine Abbildung: [mm]\pi:\IZ_6\to\IZ_4[/mm] mit
> [mm]\pi(n)[/mm] = 0.
Ich weiß jetzt nicht genau , was Du mit n meinst.
Ich meinte, daß jedes Element auf die 0 (bzw. auf das neutrale Element) angebildet wird.
> Auf diese Art und Weise könnte ich dann doch theoretisch
> immer einen Gruppennhomorphismus zwischen Gruppen des Types
> [mm](\IZ_n,+_n)[/mm] finden, denn deren neutrales Elemente ist ja
> immer 0 und n mit seinen Vielfachen.
???
Es gibt in jeder Gruppe nur genau ein neutrales Element.
> > Ja, in [mm]\IZ_6[/mm] hast Du ein Element der Ordnung 3, z.B. 2, und
> > dafür findest Du in [mm]\IZ_4[/mm] keinen passenden Partner,
> > denn???
> ...denn [mm]\IZ_4[/mm] enthält kein Element der Ordnung 3? Ich
> kann dir hier jedoch nicht ganz folgen.
Wenn Du die 2 nicht auf die Null abbilden willst, hast Du ja nur noch 1,2,3 als potentielle Bilder der 2 zur Verfügung.
Warum funktionieren die nicht? Betrachte dazu 2+2+2.
Ähnlich ist das mit anderen Elementen von [mm] \IZ_6 [/mm] auch.
Aber wie schaut's mit der 3 aus?
> Danke für den Hinweis! Das Hilft schonmal sehr.
> Nun habe ich die Aufgabe (welche Überraschung) alle
> Untergruppen von [mm](P^4_2,+_2)[/mm] zu finden. Da kommen ja mal
> eben [mm]\vektor{32 \\ 2}[/mm] + [mm]\vektor{32 \\ 4}[/mm] + [mm]\vektor{32 \\ 8}[/mm]
> + [mm]\vektor{32 \\ 16}[/mm] verschiedene Gruppen theoretisch in
> Frage.
> Kann man das vielleicht noch irgendwie eingrenzen? (Außer
> die Gruppe selbst und die Gruppe, die nur das neutrale
> Element enthält)
Ja, Du könntest Dich zunächst mal schlau machen daruber, welche Ordnungen der Elemente einer Gruppe der Ordnung n haben können. Das grenzt schonmal ein.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 Fr 03.07.2009 | | Autor: | Pille456 |
Hi!
> Ich weiß jetzt nicht genau , was Du mit n meinst.
> Ich meinte, daß jedes Element auf die 0 (bzw. auf das
> neutrale Element) angebildet wird.
n [mm] \in \IZ_6. [/mm] Also jedes Element von [mm] \IZ_6 [/mm] wird auf die 0 (das neutrale Element von [mm] \IZ_3) [/mm] abgebildet.
> ???
> Es gibt in jeder Gruppe nur genau ein neutrales Element.
Klar - In diesem Fall die 0. In [mm] \IZ_6 [/mm] z.B. gilt aber auch: 0 = 6 = n*6 n [mm] \in \IN_0. [/mm] Das meinte ich eigentlich nur damit.
> Wenn Du die 2 nicht auf die Null abbilden willst, hast Du
> ja nur noch 1,2,3 als potentielle Bilder der 2 zur
> Verfügung.
> Warum funktionieren die nicht? Betrachte dazu 2+2+2.
>
> Ähnlich ist das mit anderen Elementen von [mm]\IZ_6[/mm] auch.
> Aber wie schaut's mit der 3 aus?
Tut mir Leid, da stehe ich gerade total auf dem Schlauch. Wo liegt das Probme zu sagen, dass [mm] \pi(2) [/mm] = 1 oder [mm] \pi(2) [/mm] = 3?
> Ja, Du könntest Dich zunächst mal schlau machen daruber,
> welche Ordnungen der Elemente einer Gruppe der Ordnung n
> haben können. Das grenzt schonmal ein.
Auch das ist mir nicht ganz klar. Irgendwo in dem Satz müsste glaube ich ein 'die' anstelle von 'der', aber bevor ich hier nun lustig rumrate frage ich mal eben nach. Was meinst du hier mit n?
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> > Wenn Du die 2 nicht auf die Null abbilden willst, hast Du
> > ja nur noch 1,2,3 als potentielle Bilder der 2 zur
> > Verfügung.
> > Warum funktionieren die nicht? Betrachte dazu 2+2+2.
> >
> > Ähnlich ist das mit anderen Elementen von [mm]\IZ_6[/mm] auch.
> > Aber wie schaut's mit der 3 aus?
> Tut mir Leid, da stehe ich gerade total auf dem Schlauch.
> Wo liegt das Probme zu sagen, dass [mm]\pi(2)[/mm] = 1 oder [mm]\pi(2)[/mm] =
> 3?
Hallo,
ich hab Dir doch gesagt, daß Du 2+2+2 angucken sollst.
Damit meine ich: schau Dir mal f(0)=f(2+2+2) an, bzw. rechne das aus, und guck, ob's zu "Homomorphismus" paßt.
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> > Ja, Du könntest Dich zunächst mal schlau machen daruber,
> > welche Ordnungen die Elemente einer Gruppe der Ordnung n
> > haben können. Das grenzt schonmal ein.
>
> Auch das ist mir nicht ganz klar. Irgendwo in dem Satz
> müsste glaube ich ein 'die' anstelle von 'der', aber bevor
> ich hier nun lustig rumrate frage ich mal eben nach. Was
> meinst du hier mit n?
Die Gruppenordnung. In Deiner konkreten Aufgabe: die Untergruppenordnung.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:47 Sa 04.07.2009 | | Autor: | Pille456 |
Hi!
Ich habe mich gerade nochmal in Ruhe an die Aufgabe gesetzt (die mit dem Finden der Untergruppen) und folgendes herausgefunden:
Die Elemente in [mm] P^4_2 [/mm] sind erstmal zu sich selbst Invers, also haben alle Elemente die Ordnung 1.
[mm] \Rightarrow [/mm] Für die Untergruppen der Ordnung 2 gilt: M = [mm] \{e,x\} [/mm] x [mm] \in P^4_2 [/mm] beliebig und e das neutrale Element
Für die Untergruppen der Ordnung 4 gilt: M = [mm] \{e,a,b,c\} a\circ [/mm] b = c mit a [mm] \not= [/mm] b und a,b,c [mm] \in P^4_2.
[/mm]
Für die Untergruppen der Ordnung 8 gilt: M= [mm] \{e,a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7,a_8\} [/mm] mit [mm] a_1 \not= a_2 \not= [/mm] ... [mm] \not= a_8, [/mm] aber [mm] a_1 \circ...\circ a_7 [/mm] = [mm] a_8.
[/mm]
Wobei ich mir bei Untergruppen der Ordnung 8 und 16 nicht ganz sicher bin. Die freie Wahl der ersten 6 Elemente(Im Fall der Gruppenordnung 8) bestimmt das 7. Element. Das 8. ist dann das neutrale Element. Nur wie schreibe ich das verständlich auf?
Analoges gilt dann für Untergruppen der Ordnung 16.
Da die Aufgabe nicht verlangt die Untergruppen explizit aufzuschreiben reicht es ja ein solches (vorrausgesetzt es ist richtig) Bildungsgesetz anzugeben. Was haltet ihr davon? ;)
Gruß
Pille
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> Die Elemente in [mm]P^4_2[/mm] sind erstmal zu sich selbst Invers,
> also haben alle Elemente die Ordnung 1.
Hallo,
nein, sie sind selbstinvers und haben daher die Ordnung 2.
> [mm]\Rightarrow[/mm] Für die Untergruppen der Ordnung 2 gilt: M =
> [mm]\{e,x\}[/mm] x [mm]\in P^4_2[/mm] beliebig und e das neutrale Element
Ja. Wieviele davon gbt#s also?
> Analoges gilt dann für Untergruppen der Ordnung 16.
> Da die Aufgabe nicht verlangt die Untergruppen explizit
> aufzuschreiben reicht es ja ein solches (vorrausgesetzt es
> ist richtig) Bildungsgesetz anzugeben. Was haltet ihr
> davon? ;)
Wenig, weil ich das, was Du schreibst, schlecht kapieren kann.
Ich würde die Untergruppen (zumindest eine Auswähl) schon explizit angeben, da Du die Gruppe ja auch genau kennst.
Gruß v. Angela
P.S.: den Homomorphismus, den ich Dir im vorhergehenden Post andeutete, hast Du gefunden?
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Es gibt dann natürlich 31 verschiedene Untergruppen mit 2 Elementen und wie gesagt gibt es eine Untergruppe mit einem Element und eine Gruppe mit 32 Elementen.
Also muss ich mir nur noch anschauen welche Untergruppen es mit 4,8 und 16 Elementen es geben kann.
Für Untergruppen mit 4 Elementen hatte ich oben schon ein Gesetz gefunden, also brauch ich mich nur noch den Untergruppen mit 8 und 16Elementen zu widmen.
Ein Beispiel für eine Untergruppe mit 8 Elementen wäre:
[mm] (\{00000,00001,00010,00011,00100,00101,00110,00111\},+_2) [/mm] Also die ersten 8 Elemente. wobei jede Zahl in 00111 für einen Koeffizienten steht. 00111 bedeutet dann [mm] 0*x^4+0*x^3+1*x^2+1*x^1+1
[/mm]
Zum Homorphismus:
Wenn du diesen meintest, dann ja:
f: [mm] \IZ_6 \to \IZ_4
[/mm]
f(0) = 0; f(1) = 2; f(2) = 3; f(3) = 1; f(4) = 2; f(5) = 0
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Hallo,
> Zum Homorphismus:
> Wenn du diesen meintest, dann ja:
> f: [mm]\IZ_6 \to \IZ_4[/mm]
> f(0) = 0; f(1) = 2; f(2) = 3; f(3) =
> 1; f(4) = 2; f(5) = 0
Das ist kein Homomorhismus:
f(2+2+2)=f(0)=0, und das muß =0 sein,
es ist jedoch f(2)+f(2)+f(2)=3+3+3=1.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Di 07.07.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:09 Sa 04.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ich habe noch eine Frage zum Gruppenhomorphismus:
> Wie kann ich beweisen, dass es keine Gruppenhomorphismus
> zwischen zwei Gruppen geben kann? Konkret habe ich versucht
> eine Gruppenhomorphimus zwischen [mm]\IZ_6 \to \IZ_4[/mm] zu finden.
> Da das bisher scheiterte habe ich den Verdacht, dass es
> zwischen den Gruppen keinen Gruppenhomorphismus geben kann.
Es gibt uebrigens genau zwei Gruppenhomomorphismen [mm] $\IZ_6 [/mm] to [mm] \IZ_4$, [/mm] einmal den trivialen (den Angela erwaehnt hat) und noch einen weiteren, nicht-trivialen.
(Tipp: [mm] $\IZ_6 \cong \IZ_2 \times \IZ_3$ [/mm] und [mm] $\IZ_4$ [/mm] hat eine Untergruppe der Ordnung 2.)
LG Felix
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