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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Satz von Picard-Lindelöf
Satz von Picard-Lindelöf < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Satz von Picard-Lindelöf: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:42 Mo 28.03.2011
Autor: Nadia..

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Aufgabe
Satz von Picard-Lindelöf
Gegeben sei für $\lambda \in R $ das Anfangswertproblem auf $ R \times R^2$
$ y' =  \begin{pmatrix}      0 & 1 \\     \lambda^2 &  0   \end{pmatrix}  *y  $ mit

$y(0) =  \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix} $


Berechnen Sie mit Hilfe des Picard-Lindelöfschen Iterationsverfahrens eine Lösung des Anfangswertproblems.

bevor ich den Grenzwert der Reihe bestimmte, würde ich gerne wissen, ob mein Ansatz richtig ist.

$ f_0= \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}  $

$f_1= f_0+ \int_0^x   \begin{pmatrix}      0 & 1 \\     \lambda^2 &  0   \end{pmatrix}*f_0(t) dt }  $

$f_2= f_1(x)+ \int_0^x   \begin{pmatrix}      0 & 1 \\     \lambda^2 &  0   \end{pmatrix}*f_1(t) dt }  $


usw...


kann ich so vorgehen ?

        
Bezug
Satz von Picard-Lindelöf: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:53 Mo 28.03.2011
Autor: MathePower

Hallo Nadia..,

> Satz von Picard-Lindelöf
> Gegeben sei für [mm]\lambda \in R[/mm] das Anfangswertproblem auf [mm]R \times R^2[/mm]
>  
> [mm]y' = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \lambda^2 & 0 \end{pmatrix} *y [/mm]
> mit
>  
> [mm]y(0) = \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}[/mm]
>  
>
> Berechnen Sie mit Hilfe des Picard-Lindelöfschen
> Iterationsverfahrens eine Lösung des Anfangswertproblems.
>  bevor ich den Grenzwert der Reihe bestimmte, würde ich
> gerne wissen, ob mein Ansatz richtig ist.
>  
> [mm]f_0= \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix} [/mm]
>  
> [mm]f_1= f_0+ \int_0^x \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \lambda^2 & 0 \end{pmatrix}*f_0(t) dt } [/mm]
>  
> [mm]f_2= f_1(x)+ \int_0^x \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \lambda^2 & 0 \end{pmatrix}*f_1(t) dt } [/mm]
>  


Hier muss doch stehen:

[mm]f_2= f_{\blue{0}}+ \int_0^x \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \lambda^2 & 0 \end{pmatrix}*f_1(t) dt } [/mm]

Allgemein steht hier:

[mm]f_{k+1}= f_{\blue{0}}+ \int_0^x \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \lambda^2 & 0 \end{pmatrix}*f_ {k}(t) dt } [/mm]


>
> usw...
>  
>
> kann ich so vorgehen ?


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Satz von Picard-Lindelöf: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:35 Mo 28.03.2011
Autor: Nadia..

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Danke für die Antwort.

$ f_1= f_0+ \int_0^x \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \lambda^2 & 0 \end{pmatrix}\cdot{}f_0(t) dt } = \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}  + \int_0^x \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \lambda^2 & 0 \end{pmatrix}* \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}=   \int_0^x \begin{pmatrix}0 \\ \lambda^2 \end{pmatrix} dt = \begin{pmatrix}1 \\ \lambda^2*x\end{pmatrix}  $


$ f_2= f_0+ \int_0^x \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \lambda^2 & 0 \end{pmatrix}\cdot{}f_1(t) dt } = \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}  + \int_0^x \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \lambda^2 & 0 \end{pmatrix}* \begin{pmatrix}1 \\ \lambda^2*t\end{pmatrix}=   \int_0^x \begin{pmatrix}\lambda^2*t \\ \lambda^2 \end{pmatrix} dt = \begin{pmatrix}1 + \frac{\lambda^2x^2}{2} \\ \lambda^2*x\end{pmatrix}  $


$ f_3= f_0+ \int_0^x \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \lambda^2 & 0 \end{pmatrix}\cdot{}f_3(t) dt } =  \begin{pmatrix}1 + \frac{\lambda^2x^2}{2} +\frac{\lambda^4x^4}{24} \\ \lambda^2x + \frac{\lambda^4x^3}{6} \end{pmatrix}  $


Und erhalte ganz am ende,

$\begin{pmatrix}\sum_{k=0}^n \frac{\lambda^{2k}*x^{2k}}{k!} \\ \sum_{k=1}^n \frac{\lambda^{2k}*x^{2k-1}}{(2k-1!) \end{pmatrix}  $

Richtig so ?


Lg

Nadia






Bezug
                        
Bezug
Satz von Picard-Lindelöf: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:56 Mo 28.03.2011
Autor: MathePower

Hallo Nadia..,

> Danke für die Antwort.
>  
> [mm]f_1= f_0+ \int_0^x \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \lambda^2 & 0 \end{pmatrix}\cdot{}f_0(t) dt } = \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix} + \int_0^x \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \lambda^2 & 0 \end{pmatrix}* \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}= \int_0^x \begin{pmatrix}0 \\ \lambda^2 \end{pmatrix} dt = \begin{pmatrix}1 \\ \lambda^2*x\end{pmatrix} [/mm]
>  
>
> [mm]f_2= f_0+ \int_0^x \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \lambda^2 & 0 \end{pmatrix}\cdot{}f_1(t) dt } = \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix} + \int_0^x \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \lambda^2 & 0 \end{pmatrix}* \begin{pmatrix}1 \\ \lambda^2*t\end{pmatrix}= \int_0^x \begin{pmatrix}\lambda^2*t \\ \lambda^2 \end{pmatrix} dt = \begin{pmatrix}1 + \frac{\lambda^2x^2}{2} \\ \lambda^2*x\end{pmatrix} [/mm]
>  
>
> [mm]f_3= f_0+ \int_0^x \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \lambda^2 & 0 \end{pmatrix}\cdot{}f_3(t) dt } = \begin{pmatrix}1 + \frac{\lambda^2x^2}{2} +\frac{\lambda^4x^4}{24} \\ \lambda^2x + \frac{\lambda^4x^3}{6} \end{pmatrix} [/mm]
>  

Der Summand [mm]\bruch{\lambda^{4}*x^{4}}{24}[/mm] ist in dem Ausdruck

[mm]\begin{pmatrix}1 + \frac{\lambda^2x^2}{2} +\blue{\frac{\lambda^4x^4}{24}} \\ \lambda^2x + \frac{\lambda^4x^3}{6} \end{pmatrix} [/mm]

zuviel.


>
> Und erhalte ganz am ende,
>  
> [mm]\begin{pmatrix}\sum_{k=0}^n \frac{\lambda^{2k}*x^{2k}}{k!} \\ \sum_{k=1}^n \frac{\lambda^{2k}*x^{2k-1}}{(2k-1!) \end{pmatrix} [/mm]


Hier muss doch stehen:

[mm]\begin{pmatrix}\sum_{k=0}^n \frac{\lambda^{2k}*x^{2k}}{\left(\blue{2}k\right)!} \\ \sum_{k=1}^n \frac{\lambda^{2k}*x^{2k-1}}{(2k-1!) \end{pmatrix} [/mm]

>  
> Richtig so ?
>  
>
> Lg
>  
> Nadia
>  
>


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Satz von Picard-Lindelöf: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:10 Mo 28.03.2011
Autor: Nadia..

ja das stimmt,

Vielen Dank!!

Bezug
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