Satz von Picard-Lindelöf < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:38 Mi 30.11.2011 | | Autor: | DerKoso |
| Aufgabe | Gegeben sei das folgende Anfangswertproblem auf dem Rechteck R := [mm] [\bruch{1}{2},\bruch{3}{2}] [/mm] x [-1,1]
y' = [mm] \bruch{y}{x} [/mm] + [mm] \bruch{x}{5} [/mm] ; y(1) = 0
Bestimmen Sie ein Interval, auf dem das Anfangswertproblem eindeutig lösbar ist. Wieviele Iteration müssen Sie maximal
durchführen, um auf diesem Intervall mit der letzten Iterierten unter einer maximalen Fehlerschranke von 0,01 zu
bleiben?
Hinweis: Verwenden Sie die Startfunktion [mm] y_0 [/mm] aus der Anfangsbedingung, d.h [mm] y_0(x) [/mm] = 0. |
hey hab mal wieder fragen^^
ich komm Irgend wie nicht mit der fehler Abschätzung weiter (versteh es irgend wie net^^)
hab diesen Satz im mein Script gefunden:
[mm] max_{t \in I} |u_0 [/mm] (t) - y(t)| [mm] \le (\bruch{(\varepsilon * L)^n }{n!} [/mm] * [mm] max_{t \in I} |u_0 [/mm] (t) - [mm] u_1(t)|
[/mm]
ich weiß leider noch nicht wie ich ihn anwenden soll
meine zweite frage ist ob ich hier den Picard-Lindelöf richtig angewendet habe
(1) Lipschitzstetigkeit
[mm] |f(x,y_1) [/mm] - [mm] f(x,y_2)| [/mm] = | [mm] \bruch{y_1}{x} [/mm] + [mm] \bruch{x}{5} [/mm] - [mm] \bruch{y_2}{x} [/mm] + [mm] \bruch{x}{5} [/mm] | = [mm] |\bruch{y_1 - y_2}{x}|
[/mm]
daraus folgt [mm] |y_1 [/mm] - [mm] y_2| [/mm] * [mm] |\bruch{1}{x}| \Rightarrow max_{(x,y) \in [\bruch{1}{2},\bruch{3}{2}]} [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] L=2
(2)
[mm] [\bruch{1}{2} \le [/mm] x [mm] \le \bruch{3}{2}] [/mm] ; [-1 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 1]
[mm] \Rightarrow [/mm] |x - [mm] x_0| \le [/mm] a ; [mm] |y-y_o| \le [/mm] b
y(1)=0 ; [mm] x_0 [/mm] = 1 , [mm] y_0 [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] a= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] , b = 1
M = max [mm] |\bruch{y}{x} [/mm] + [mm] \bruch{x}{5}| [/mm] = 2+ [mm] \bruch{1}{10} [/mm] = [mm] \bruch{21}{10}
[/mm]
[mm] \varepsilon [/mm] = min {a, [mm] \bruch{b}{M} [/mm] } = min [mm] {\bruch{1}{2} , \bruch{1}{ \bruch{21}{10}} } [/mm] = [mm] \bruch{10}{21}
[/mm]
J = [mm] [x_0 [/mm] - [mm] \varepsilon [/mm] , [mm] x_0 [/mm] + [mm] \varepsilon] [/mm] = [mm] [1-\varepsilon [/mm] , [mm] 1+\varepsilon] [/mm] = [mm] [\bruch{11}{21}, \bruch{31}{21}]
[/mm]
(3) y ausrechnen
[mm] y_0 [/mm] (x) = 0
[mm] y_1(x) [/mm] = [mm] \integral_{1}^{x}{ \bruch{y_0}{t} + \bruch{t}{5} dt} [/mm] = [mm] \bruch{1}{10} [/mm] * [mm] (x^2 [/mm] - 1)
[mm] y_2(x) [/mm] = [mm] \integral_{1}^{x}{ \bruch{y_1}{t} + \bruch{t}{5} dt} [/mm] = [mm] \bruch{1}{10} [/mm] * [mm] (x^2 [/mm] - 1) + [mm] \bruch{1}{20}* (x^2 [/mm] - 2ln(x) - 1)
[mm] y_3(x) [/mm] = [mm] \integral_{1}^{x}{ \bruch{y_2}{t} + \bruch{t}{5} dt} [/mm] =
[mm] \bruch{1}{10} [/mm] * [mm] (x^2 [/mm] - 1) + [mm] \bruch{1}{20}* (x^2 [/mm] - 2ln(x) - 1) + [mm] \bruch{1}{40}* (x^2 [/mm] - 2(ln(x) - 1)ln(x) - 1)
bis hier hin bin ich gekommen weiß jetzt aber nicht mehr weiter^^
hat einer vielleicht ein Tipp.
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:02 Do 01.12.2011 | | Autor: | DerKoso |
> hab diesen Satz im mein Script gefunden:
>
> [mm]max_{t \in I} |u_0[/mm] (t) - y(t)| [mm]\le (\bruch{(\varepsilon * L)^n }{n!} * * e^{\varepsilon * L}[/mm]
> * [mm]max_{t \in I} |u_0[/mm] (t) - [mm]u_1(t)|[/mm]
>
> ich weiß leider noch nicht wie ich ihn anwenden soll
hmm hab mir bisschen Gedanken gemacht
[mm] (\bruch{(\varepsilon * L)^n }{n!} [/mm] * [mm] e^{\varepsilon * L} [/mm] * [mm]max_{t \in I} |u_0[/mm] (t) - [mm]u_1(t)|[/mm] [mm] \le [/mm] 0,01
jezt nur noch nach n umstellen ist mein Ansatz richtig ?
>
> hat einer vielleicht ein Tipp.
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:15 Do 01.12.2011 | | Autor: | fred97 |
>
> > hab diesen Satz im mein Script gefunden:
> >
> > [mm]max_{t \in I} |u_0[/mm] (t) - y(t)| [mm]\le (\bruch{(\varepsilon * L)^n }{n!} * * e^{\varepsilon * L}[/mm]
> > * [mm]max_{t \in I} |u_0[/mm] (t) - [mm]u_1(t)|[/mm]
> >
> > ich weiß leider noch nicht wie ich ihn anwenden soll
>
>
> hmm hab mir bisschen Gedanken gemacht
>
>
> [mm](\bruch{(\varepsilon * L)^n }{n!}[/mm] * [mm]e^{\varepsilon * L}[/mm] *
> [mm]max_{t \in I} |u_0[/mm] (t) - [mm]u_1(t)|[/mm] [mm]\le[/mm] 0,01
>
> jezt nur noch nach n umstellen ist mein Ansatz richtig ?
Ja
FRED
>
>
> >
> > hat einer vielleicht ein Tipp.
> >
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:02 Do 01.12.2011 | | Autor: | DerKoso |
Hey Fred
Danke für deine Antwort
hab nur gerade leider ein Problem^^
und zwar kriege ich das noch nicht so richtig hin
soweit hab ich es jetzt umgestellt
[mm](\bruch{((\varepsilon * L)^n) }{n!}[/mm] = 0,01 * ([mm] e^{\varepsilon * L} *(- \bruch{1}{10} ((\bruch{31}{21})^2 -1)) [/mm][mm] )^{-1}
[/mm]
[mm](\bruch{((\varepsilon * L)^n) }{n!}[/mm] = 0,0327...
aber wie kriege ich jetzt die Fakultät weg?
> > >
> > > hat einer vielleicht ein Tipp.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 12:31 Sa 03.12.2011 | | Autor: | DerKoso |
> Hey Fred
>
> Danke für deine Antwort
>
> hab nur gerade leider ein Problem^^
>
> und zwar kriege ich das noch nicht so richtig hin
>
> soweit hab ich es jetzt umgestellt
>
> [mm](\bruch{((\varepsilon * L)^n) }{n!}[/mm] = 0,01 * ([mm] e^{\varepsilon * L} *(- \bruch{1}{10} ((\bruch{31}{21})^2 -1)) [/mm][mm] )^{-1}[/mm]
>
> [mm](\bruch{((\varepsilon * L)^n) }{n!}[/mm] = 0,0327...
>
> aber wie kriege ich jetzt die Fakultät weg?
>
ich Krieg das noch immer nicht hin^^
muss man die Linke Seite irgend wie Abschätzen wenn ja wie?
komm Irgend wie net weiter
> > > >
> > > > hat einer vielleicht ein Tipp.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 17:22 Sa 03.12.2011 | | Autor: | DerKoso |
hab mir gerade eine andere Idee
darf man einfach mal für paar werte einsetzte wie n[0,1,2,3,4,....,10]
denn wenn man das macht sieht man das der fehler unter 0,01 bleibt
nach der 4ten Iteration
aber damit hab ich ja nichts bewiesen?
> > hab nur gerade leider ein Problem^^
> >
> > und zwar kriege ich das noch nicht so richtig hin
> >
> > soweit hab ich es jetzt umgestellt
> >
> > [mm](\bruch{((\varepsilon * L)^n) }{n!}[/mm] = 0,01 * ([mm] e^{\varepsilon * L} *(- \bruch{1}{10} ((\bruch{31}{21})^2 -1))[/mm][mm] )^{-1}[/mm]
>
> >
> > [mm](\bruch{((\varepsilon * L)^n) }{n!}[/mm] = 0,0327...
> >
> > aber wie kriege ich jetzt die Fakultät weg?
> >
>
>
> ich Krieg das noch immer nicht hin^^
>
> muss man die Linke Seite irgend wie Abschätzen wenn ja
> wie?
>
> komm Irgend wie net weiter
>
>
>
> > > > >
> > > > > hat einer vielleicht ein Tipp.
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Fr 09.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Fr 09.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:21 Mi 07.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:13 Do 01.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sei das folgende Anfangswertproblem auf dem
> Rechteck R := [mm][\bruch{1}{2},\bruch{3}{2}][/mm] x [-1,1]
>
> y' = [mm]\bruch{y}{x}[/mm] + [mm]\bruch{x}{5}[/mm] ; y(1) = 0
>
> Bestimmen Sie ein Interval, auf dem das Anfangswertproblem
> eindeutig lösbar ist. Wieviele Iteration müssen Sie
> maximal
> durchführen, um auf diesem Intervall mit der letzten
> Iterierten unter einer maximalen Fehlerschranke von 0,01
> zu
> bleiben?
> Hinweis: Verwenden Sie die Startfunktion [mm]y_0[/mm] aus der
> Anfangsbedingung, d.h [mm]y_0(x)[/mm] = 0.
>
>
> hey hab mal wieder fragen^^
>
> ich komm Irgend wie nicht mit der fehler Abschätzung
> weiter (versteh es irgend wie net^^)
>
> hab diesen Satz im mein Script gefunden:
>
> [mm]max_{t \in I} |u_0[/mm] (t) - y(t)| [mm]\le (\bruch{(\varepsilon * L)^n }{n!}[/mm]
> * [mm]max_{t \in I} |u_0[/mm] (t) - [mm]u_1(t)|[/mm]
>
> ich weiß leider noch nicht wie ich ihn anwenden soll
>
>
> meine zweite frage ist ob ich hier den Picard-Lindelöf
> richtig angewendet habe
>
> (1) Lipschitzstetigkeit
>
> [mm]|f(x,y_1)[/mm] - [mm]f(x,y_2)|[/mm] = | [mm]\bruch{y_1}{x}[/mm] + [mm]\bruch{x}{5}[/mm] -
> [mm]\bruch{y_2}{x}[/mm] + [mm]\bruch{x}{5}[/mm] | = [mm]|\bruch{y_1 - y_2}{x}|[/mm]
>
> daraus folgt [mm]|y_1[/mm] - [mm]y_2|[/mm] * [mm]|\bruch{1}{x}| \Rightarrow max_{(x,y) \in [\bruch{1}{2},\bruch{3}{2}]}[/mm]
>
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] L=2
>
> (2)
> [mm][\bruch{1}{2} \le[/mm] x [mm]\le \bruch{3}{2}][/mm] ; [-1 [mm]\le[/mm] y [mm]\le[/mm] 1]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] |x - [mm]x_0| \le[/mm] a ; [mm]|y-y_o| \le[/mm] b
>
> y(1)=0 ; [mm]x_0[/mm] = 1 , [mm]y_0[/mm] = 0
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] a= [mm]\bruch{1}{2}[/mm] , b = 1
>
> M = max [mm]|\bruch{y}{x}[/mm] + [mm]\bruch{x}{5}|[/mm] = 2+ [mm]\bruch{1}{10}[/mm] =
> [mm]\bruch{21}{10}[/mm]
>
>
>
> [mm]\varepsilon[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= min {a, [mm]\bruch{b}{M}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} = min [mm]{\bruch{1}{2} , \bruch{1}{ \bruch{21}{10}} }[/mm]
> = [mm]\bruch{10}{21}[/mm]
>
> J = [mm][x_0[/mm] - [mm]\varepsilon[/mm] , [mm]x_0[/mm] + [mm]\varepsilon][/mm] =
> [mm][1-\varepsilon[/mm] , [mm]1+\varepsilon][/mm] = [mm][\bruch{11}{21}, \bruch{31}{21}][/mm]
>
> (3) y ausrechnen
>
>
> [mm]y_0[/mm] (x) = 0
>
> [mm]y_1(x)[/mm] = [mm]\integral_{1}^{x}{ \bruch{y_0}{t} + \bruch{t}{5} dt}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{10}[/mm] * [mm](x^2[/mm] - 1)
>
> [mm]y_2(x)[/mm] = [mm]\integral_{1}^{x}{ \bruch{y_1}{t} + \bruch{t}{5} dt}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{10}[/mm] * [mm](x^2[/mm] - 1) + [mm]\bruch{1}{20}* (x^2[/mm] - 2ln(x)
> - 1)
>
> [mm]y_3(x)[/mm] = [mm]\integral_{1}^{x}{ \bruch{y_2}{t} + \bruch{t}{5} dt}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{1}{10}[/mm] * [mm](x^2[/mm] - 1) + [mm]\bruch{1}{20}* (x^2[/mm] - 2ln(x) -
> 1) + [mm]\bruch{1}{40}* (x^2[/mm] - 2(ln(x) - 1)ln(x) - 1)
>
>
> bis hier hin bin ich gekommen weiß jetzt aber nicht mehr
> weiter^^
Alles korrekt
FRED
>
> hat einer vielleicht ein Tipp.
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:42 Do 01.12.2011 | | Autor: | DerKoso |
hey Fred97
Danke für deine Antwort
MFG
DerKoso
|
|
|
|
