Satz von Picard < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:15 Do 17.09.2009 | | Autor: | uecki |
Satz von Picard: Jedes Anfangswertproblem y'(x)= f(x,y), [mm] y(a)=y_{a} [/mm] hat unter Voraussetzung der Lipschitz-Bedingung in einer kleinen Umgebung von a eine eindeutige Lösung. Die Größe dieser Umgebung (also die Größe von a) hängt dabei stark von der rechten Seite f(x,y) ab.
Lipschitzbedingung: Eine Funktion f: [mm] \IR \to \IR [/mm] heißt Lipschitz-stetig, wenn eine Konstante L existiert mit
[mm] \forall x_{1},x_{2} \in \IR [/mm] : [mm] |f(x_{1})-f(x_{2})| \le L*|x_{1}-x_{2}|
[/mm]
Hallo  ,
also, diese beiden Sätze brauche ich, da ich den Satz über die Lösung der inhomogenen linearen DGL 1. Ordnung mit dem Satz von Picard vergleichen soll.
Der Satz über die Lösung der inhomogenen DGL sagt ja lediglich aus, dass a(x) und s(x) stetig auf dem betrachteten Intervall sein sollen und das Anfangswertproblem eine eindeutige Lösung hat, da die Konstante C über die Anfgangsbedingung eindeutig bestimmt werden kann.
So, das verstehe ich auch.
Aber den Satz von Picard noch nicht so ganz. Was genau ist a denn? Bzw. was soll das mit der Umgebung, ist das auch ein Intervall? Wenn ja, dann wäre ja kaum ein Unterschied zu dem Satz der Lösung der inhomogenen DGL bis auf die Lipschitzbedingung.
Und wie das gemeint, dass die Umgebung von der rechten Seite abhängt?
Warum muss auch gleichzeitig die Lipschitz-Bedingung gelten?
Hoffe mir kann jemand helfen!
Danke schon mal.
LG
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:28 Do 17.09.2009 | | Autor: | fred97 |
Meine Güte ! Den Satz von Picard hast Du aber mächtig versaut !
Korrekt lautet er so:
Sei D [mm] \subseteq \IR^2 [/mm] offen und f: D [mm] \to \IR [/mm] genüge einer Lipschitzbedingung bezüglich y, d.h.: es gibt ein L [mm] \ge [/mm] 0 mit
$|f(x,y)-f(x,z)| [mm] \le [/mm] L|y-z|$ für alle (x,y) ,(x,z) [mm] \in [/mm] D.
Ist (a,b) [mm] \in [/mm] D, so ist das Anfangswertproblem
$y' = f(x,y)$
$y(a) = b$
lokal eindeitig lösbar, d.h: es gibt ein Intervall I mit a [mm] \in [/mm] I und auf I hat das AWP genau eine Lösung.
FRED
P.S. stör Dich nicht daran, dass ich b statt [mm] y_a [/mm] geschrieben habe, denn das ist so egal wie wenn in China ein Sack Reis umfällt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 Do 17.09.2009 | | Autor: | uecki |
Nicht ich habe den so formuliert! Danke das du es richtig gestellt hast.
Nun seh ich aber nicht wirklich den Unterschied zum Satz über die Lösung der inhomogenen linearen Differentialgleichung. Natürlich nur, dass zusätzlich die Lipschitz-stetigkeit beim Satz von Picard gilt.
Ist das dann der Einzige Unterschied oder verstehe ich das was nicht?
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:06 Fr 18.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> Nicht ich habe den so formuliert!
Wer war es denn ?
FRED
> Danke das du es richtig
> gestellt hast.
> Nun seh ich aber nicht wirklich den Unterschied zum Satz
> über die Lösung der inhomogenen linearen
> Differentialgleichung. Natürlich nur, dass zusätzlich die
> Lipschitz-stetigkeit beim Satz von Picard gilt.
> Ist das dann der Einzige Unterschied oder verstehe ich das
> was nicht?
> LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:10 Fr 18.09.2009 | | Autor: | uecki |
http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Picard-Lindel%C3%B6f
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:32 Fr 18.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> Nicht ich habe den so formuliert! Danke das du es richtig
> gestellt hast.
> Nun seh ich aber nicht wirklich den Unterschied zum Satz
> über die Lösung der inhomogenen linearen
> Differentialgleichung.
Meinst Du diese Gleichung:
(*) $y' = a(x)y +s(x)$ ?
Wenn ja, so kann ich Dir nur sagen, dass dies ein Spezialfall von
(**) $y' = f(x,y)$
ist, mit $f(x,y) = a(x)y+s(x)$
Wegen
$|f(x,y)-f(x,z)| = |a(x)|*|y-z|$
genügt dieses f natürlich einer lokalen Lipschitzbedingung bezüglich y.
Mit (*) hast also eine ganz speziellen und sehr einfachen Fall der Gl. (**).
FRED
> Natürlich nur, dass zusätzlich die
> Lipschitz-stetigkeit beim Satz von Picard gilt.
> Ist das dann der Einzige Unterschied oder verstehe ich das
> was nicht?
> LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:35 Fr 18.09.2009 | | Autor: | uecki |
Also ist a(x) sozusagen in dem Spezialfall die Lipschitzkonstante? Wir betrachten nämlich eigentlich nur inhomogene DGL´s der Form y'=a(x)*y + s(x)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:58 Fr 18.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> Also ist a(x) sozusagen in dem Spezialfall die
> Lipschitzkonstante?
Nein, so darfst Du das nicht auffassen !
Nimm mal an I sei ein kompaktes intervall und die Funktionen a un s seien auf I stetig. Nach einem (Dir hoffentlich bekannten) Satz der Analysis ist a auf I beschränkt, etwa
$|a(x)| [mm] \le [/mm] L$ für jedes x [mm] \in [/mm] I.
Für $ f(x,y) = a(x)y+s(x) $ gilt dann:
$ |f(x,y)-f(x,z)| = [mm] |a(x)|\cdot{}|y-z| \le [/mm] L|y-z|$ für jedes x [mm] \in [/mm] I
Damit hat das AWP ( mit [mm] x_0 \in [/mm] I und [mm] y_0 \in \IR)
[/mm]
$y'=a(x)*y + s(x)$ , [mm] $y(x_0) [/mm] = [mm] y_0$
[/mm]
auf I genau eine Lösung.
FRED
> Wir betrachten nämlich eigentlich nur
> inhomogene DGL´s der Form y'=a(x)*y + s(x)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:14 Fr 18.09.2009 | | Autor: | uecki |
Was sagt denn dann eigentlich genau die Lipschitzkonstante aus?
Und was ist denn der Unterschied zwischen stetig und Lipschitz-stetig? Das verstehe ich auch noch nicht richtig...LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:24 Fr 18.09.2009 | | Autor: | fred97 |
Schau Dir mal (in Deinen Unterlagen oder Büchern) den Existenzsatz von Peano und den Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard an und vergleiche diese beiden Sätze.
kurz: die Lipschitzbed. bezügl. y garantiert die Eindeutigkeit der Lösung
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:10 Fr 18.09.2009 | | Autor: | uecki |
> Meine Güte ! Den Satz von Picard hast Du aber mächtig
> versaut !
>
> Korrekt lautet er so:
>
> Sei D [mm]\subseteq \IR^2[/mm] offen und f: D [mm]\to \IR[/mm] genüge einer
Hallo noch mal,
also ich bin gerade etwas irritiert. Ich habe in meinem Skript hier stehen, dass die Menge kompakt sein muss?!?
> Lipschitzbedingung bezüglich y, d.h.: es gibt ein L [mm]\ge[/mm] 0
> mit
>
> [mm]|f(x,y)-f(x,z)| \le L|y-z|[/mm] für alle (x,y) ,(x,z) [mm]\in[/mm] D.
>
> Ist (a,b) [mm]\in[/mm] D, so ist das Anfangswertproblem
>
> [mm]y' = f(x,y)[/mm]
> [mm]y(a) = b[/mm]
>
> lokal eindeitig lösbar, d.h: es gibt ein Intervall I mit a
> [mm]\in[/mm] I und auf I hat das AWP genau eine Lösung.
>
>
> FRED
>
>
>
> P.S. stör Dich nicht daran, dass ich b statt [mm]y_a[/mm]
> geschrieben habe, denn das ist so egal wie wenn in China
> ein Sack Reis umfällt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 So 20.09.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
![[]](http://www.google.de/imgres?imgurl=http://2.bp.blogspot.com/_DC-d8WTt94w/SJig9RfqbcI/AAAAAAAAAE4/wuQs9s4_gCA/s400/cnnfallenrice.jpg&imgrefurl=http://wagii.blogspot.com/2008/08/china-sack-reis-umgekippt-situation.html&h=306&w=400&sz=29&tbnid=ZpidU0CeaTzTaM:&tbnh=95&tbnw=124&prev=/images%3Fq%3DSack%2BReis%2Bumgekippt&hl=de&usg=__Vo_YUvzDRz6FvC2AGBzerG5sj7o=&ei=dYiySp3HEILm-Qbez_3ICQ&sa=X&oi=image_result&resnum=4&ct=image){kind=small}
Böser Sack Reis