Satz von Rolle < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:09 So 08.07.2012 | | Autor: | Anazeug |
| Aufgabe | | Für jedes c [mm] \in \IR [/mm] hat die durch f(x) = [mm] x^3 [/mm] - [mm] 3x^2 [/mm] + c definierte Funktion im Intervall [0,1] höchstens eine Nullstelle. |
Hey, da ich bald meine Klausur schreibe, löse ich zur Übung einige Aufgaben. Leider fehlen mir bei der Aufgabe noch einige Ansätze.
Ich sollte den Satz von Rolle nutzen (komm aber nicht weiter..)
und ich würde in etwa so anfangen:
Annahme: f besitzt 2 Nullstellen ... und irgendwie versuchen durch Widerspruchsbeweis zu zeigen ... nur fehlen mir konkrete Lösungen ...
Bin für jede Hilfe dankbar!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:20 So 08.07.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi nochmal!
Ok, angenommen, f hat 2 Nullstellen. Weil f auch überall differenzierbar ist (speziell also auch auf (0,1)) folgt was nach dem Satz von Rolle?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:23 So 08.07.2012 | | Autor: | Anazeug |
> Hi nochmal!
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> Ok, angenommen, f hat 2 Nullstellen. Weil f auch überall
> differenzierbar ist (speziell also auch auf (0,1)) folgt
> was nach dem Satz von Rolle?
dann würde nach dem Satz von Rolle folgen: f(0) = f(1) = 0 und das stimmt nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:30 So 08.07.2012 | | Autor: | Teufel |
Nein, also der Satz von Rolle besagt folgendes: Gilt $f(a)=f(b)$ ($a [mm] \not= [/mm] b$) und $f$ ist differenzierbar auf $(a,b)$ (und stetig in $a$ und $b$), dann gilt irgendwo $f'(c)=0$ für ein $c [mm] \in [/mm] (a,b)$. Anschaulich gesagt: Erreicht eine Funktion an 2 verschiedenen x-Werten den gleichen Funktionswert, dann muss die Funktion irgendwo in der Mitte mal umgedreht haben , d.h. eine waagerechte Tangente haben.
Nun zu deinem Fall: Du machst die Annahme, dass [mm] $f(x_1)=f(x_2)=0$ [/mm] für [mm] $x_1 \not= x_2 \in [/mm] [a,b]$. Diese Annahme willst du zum Widerspruch führen. Ok, also angenommen, es gibt solche 2 [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2. [/mm] Dann sagt der Satz von Rolle (weil f alle oben genannten Eigenschaften erfüllt), dass f'(c)=0 sein muss für ein $c [mm] \in (x_1, x_2)$. [/mm] Kann das denn sein?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:35 So 08.07.2012 | | Autor: | Anazeug |
> Nein, also der Satz von Rolle besagt folgendes: Gilt
> [mm]f(a)=f(b)[/mm] ([mm]a \not= b[/mm]) und [mm]f[/mm] ist differenzierbar auf [mm](a,b)[/mm]
> (und stetig in [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm]), dann gilt irgendwo [mm]f'(c)=0[/mm] für
> ein [mm]c \in (a,b)[/mm]. Anschaulich gesagt: Erreicht eine Funktion
> an 2 verschiedenen x-Werten den gleichen Funktionswert,
> dann muss die Funktion irgendwo in der Mitte mal umgedreht
> haben , d.h. eine waagerechte Tangente haben.
>
> Nun zu deinem Fall: Du machst die Annahme, dass
> [mm]f(x_1)=f(x_2)=0[/mm] für [mm]x_1 \not= x_2 \in [a,b][/mm]. Diese Annahme
> willst du zum Widerspruch führen. Ok, also angenommen, es
> gibt solche 2 [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2.[/mm] Dann sagt der Satz von Rolle
> (weil f alle oben genannten Eigenschaften erfüllt), dass
> f'(c)=0 sein muss für ein [mm]c \in (x_1, x_2)[/mm]. Kann das denn
> sein?
Naja, wir betrachten ja jetzt ein offenes Intervall [mm] (x_1, x_2), [/mm] somit sind [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] nicht miteingeschloßen, somit existiert solch ein c nicht und hier wäre der Widerspruch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:41 So 08.07.2012 | | Autor: | Teufel |
Der Widerspruch ist da, ja, aber ich glaube du weißt noch nicht genau warum!
Nochmal zusammengefasst: Du willst zeigen, dass die Funktion höchste eine Nullstelle auf [0,1] besitzt. Dazu machst du die Annahme, dass es noch mehr Nullstellen gibt (also mindestens eine 2.). Das willst du zum Widerspruch führen.
Seien [mm] x_1, x_2 [/mm] 2 verschiedene Nullstellen auf [0,1]. Nun kommt Herr Rolle daher und sagt, dass, wenn wirklich 2 verschiedene Nullstellen existieren, f' zwischen diesen beiden Nullstellen 0 sein muss irgendwo (genau, [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] nicht mit eingeschlossen).
Hier entsteht nun aber ein Widerspruch, denn rechne mal f' aus und schau, wo f' Nullstellen hat!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:51 So 08.07.2012 | | Autor: | Anazeug |
> Der Widerspruch ist da, ja, aber ich glaube du weißt noch
> nicht genau warum!
>
> Nochmal zusammengefasst: Du willst zeigen, dass die
> Funktion höchste eine Nullstelle auf [0,1] besitzt. Dazu
> machst du die Annahme, dass es noch mehr Nullstellen gibt
> (also mindestens eine 2.). Das willst du zum Widerspruch
> führen.
>
> Seien [mm]x_1, x_2[/mm] 2 verschiedene Nullstellen auf [0,1]. Nun
> kommt Herr Rolle daher und sagt, dass, wenn wirklich 2
> verschiedene Nullstellen existieren, f' zwischen diesen
> beiden Nullstellen 0 sein muss irgendwo (genau, [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm]
> nicht mit eingeschlossen).
>
> Hier entsteht nun aber ein Widerspruch, denn rechne mal f'
> aus und schau, wo f' Nullstellen hat!
Ah! Und in dem Fall wäre [mm] n_{01} [/mm] = 0 und [mm] n_{02} [/mm] = 2 und somit ist die zweite Nullstelle [mm] \not= [/mm] 0
und selbst wenn [mm] n_{02} [/mm] = 0 wäre, wäre (0,0) = [mm] \emptyset [/mm]
Hab ich das jetzt richtig verstanden? :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:58 So 08.07.2012 | | Autor: | Teufel |
Naja, fast. :)
Ich lös das mal auf. Du hast richtig ausgerechnet, dass f' Nullstellen bei 0 und 2 hat. Mehr gibt es nicht (weil ein Polynom vom Grad 2 höchstens 2 Nullstellen besitzt).
Wenn du die Annahme machst, dass f 2 Nullstellen [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] hat, dann müsste f' eine Nullstelle in [mm] (x_1, x_2) [/mm] haben. Wegen $0 [mm] \le x_1
Also war die Annahme falsch, dass f 2 Nullstellen auf [0,1] hat, das heißt f hat höchstens eine Nullstelle auf [0,1] (egal, wie das c aussieht).
Wenn an der Erklärung noch irgendetwas unklar ist, dann frag lieber nochmal! Es ist wichtig, dass du die Logik dahinter verstehst, damit du bald solche Aufgaben einfacher erledigen kannst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:00 Mo 09.07.2012 | | Autor: | Anazeug |
Alles klar, vielen Dank für deine tolle Hilfe, warst echt super, hab so einiges dazu gelernt, Danke!
Fürn Teufel biste ganz nett (;
Bis zum nächsten Mal!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:31 Mo 09.07.2012 | | Autor: | Teufel |
Kein Problem. Man liest sich!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:06 Mo 09.07.2012 | | Autor: | fred97 |
Es ist [mm] $f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)<0$ [/mm] für x [mm] \in [/mm] (0,1].
Damit ist f auf [0,1] streng fallend.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:26 Mo 09.07.2012 | | Autor: | Anazeug |
> Es ist [mm]f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)<0[/mm] für x [mm]\in[/mm] (0,1].
>
> Damit ist f auf [0,1] streng fallend.
>
> FRED
Was sagt mir das jetzt aus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:33 Mo 09.07.2012 | | Autor: | M.Rex |
> > Es ist [mm]f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)<0[/mm] für x [mm]\in[/mm] (0,1].
> >
> > Damit ist f auf [0,1] streng fallend.
> >
> > FRED
>
> Was sagt mir das jetzt aus?
Beachte, dass f(0)=C und f(1)=c-2. Und, da f'(x) im betrachteten Intervall kleiner als Null ist, ist die Funktion dort streng monoton fallend.
Setze das ganze jetzt passend zusammen.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:46 Mo 09.07.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Marius,
>
> > > Es ist [mm]f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)<0[/mm] für x [mm]\in[/mm] (0,1].
> > >
> > > Damit ist f auf [0,1] streng fallend.
> > >
> > > FRED
> >
> > Was sagt mir das jetzt aus?
>
> Beachte, dass f(0)=C und f(1)=c-2.
das ist nicht besonders beachtenswert - man kann es beachtenswert machen, indem man die Aufgabe erweitert:
Geben Sie möglichst viele $c [mm] \in \IR$ [/mm] so an, dass [mm] $f\,$ [/mm] auf [mm] $[0,1]\,$ [/mm] KEINE Nullstelle hat. Hat [mm] $f\,$ [/mm] für die verbleibenden [mm] $c\,$ [/mm] dann genau eine?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:41 Mo 09.07.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Es ist [mm]f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)<0[/mm] für x [mm]\in[/mm] (0,1].
> >
> > Damit ist f auf [0,1] streng fallend.
> >
> > FRED
>
> Was sagt mir das jetzt aus?
streng (wachsende oder fallende) monotone Funktionen sind injektiv. Fred hat begründet, dass [mm] $f_{|[0,1]}$ [/mm] (die Einschränkung von [mm] $f\,$ [/mm] auf [mm] $[0,1]\,$) [/mm] injektiv ist.
Jetzt denke mal nach: Wieviele Nullstellen können injektive Funktionen maximal haben?
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:18 Mo 09.07.2012 | | Autor: | Anazeug |
> Hallo,
>
> > > Es ist [mm]f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)<0[/mm] für x [mm]\in[/mm] (0,1].
> > >
> > > Damit ist f auf [0,1] streng fallend.
> > >
> > > FRED
> >
> > Was sagt mir das jetzt aus?
>
> streng (wachsende oder fallende) monotone Funktionen sind
> injektiv. Fred hat begründet, dass [mm]f_{|[0,1]}[/mm] (die
> Einschränkung von [mm]f\,[/mm] auf [mm][0,1]\,[/mm]) injektiv ist.
>
> Jetzt denke mal nach: Wieviele Nullstellen können
> injektive Funktionen maximal haben?
>
> Gruß,
> Marcel
Achso, natürlich eine, danke für die etwas anschaulichere Erklärung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:34 Mo 09.07.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > > Es ist [mm]f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)<0[/mm] für x [mm]\in[/mm] (0,1].
> > > >
> > > > Damit ist f auf [0,1] streng fallend.
> > > >
> > > > FRED
> > >
> > > Was sagt mir das jetzt aus?
> >
> > streng (wachsende oder fallende) monotone Funktionen sind
> > injektiv. Fred hat begründet, dass [mm]f_{|[0,1]}[/mm] (die
> > Einschränkung von [mm]f\,[/mm] auf [mm][0,1]\,[/mm]) injektiv ist.
> >
> > Jetzt denke mal nach: Wieviele Nullstellen können
> > injektive Funktionen maximal haben?
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
> Achso, natürlich eine, danke für die etwas anschaulichere
> Erklärung.
aber Vorsicht: Höchstens eine (das hatte ich vorhin auch erwähnt mit dem Wort "maximal" - vielleicht ist's Dir klar, und Du wolltest es nicht wiederholen, aber ich bin da lieber pingelig und erwähne es nochmal explizit!).
Die Funktion kann ja auch keine haben. (Wenn Du M.Rex Beitrag liest, solltest Du erkennen, dass die Funktion etwa für [mm] $c=-1\,$ [/mm] KEINE Nullstelle hat!)
Gruß,
Marcel
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