Satz von Rolle/Mittelwertsatz < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:46 Fr 20.01.2017 | | Autor: | X3nion |
Hallo zusammen! 
Ich habe Fragen zum Beweis vom Satz von Rolle sowie zu den Corollaren davon (unter anderem Mittelwertsatz)
Der Satz von Rolle lautet in einer Literatur wie folgt: Sei a < b und f:[a,b] [mm] \mapsto \IR [/mm] eine stetige Funktion mit f(a) = f(b). Die Funktion sei in ]a,b[ differenzierbar. Dann existiert ein [mm] \xi \in [/mm] ]a,b[ mit [mm] f'(\xi) [/mm] = 0.
Beweis:
Falls f konstant ist, ist der Satz klar. Ist f nicht konstant, so gibt es ein [mm] x_{0} \in [/mm] ]a,b[ mit [mm] f(x_0) [/mm] > f(a) oder [mm] f(x_0) [/mm] < f(a). Dann wird das absolute Maximum (bzw. Minimum) der Funktion f:[a,b] [mm] \mapsto \IR [/mm] in einem Punkt [mm] \xi \in [/mm] ]a,b[ angenommen. Somit ist [mm] f'(\xi) [/mm] = 0.
Corollar 1 (Mittelwertsatz der Differentialrechnung):
Sei a < b und f:[a,b] [mm] \mapsto \IR [/mm] eine stetige Funktion, welche in ]a,b[ differenzierbar ist. Dann existiert ein [mm] \xi \in [/mm] ]a,b[, sodass
[mm] \frac{f(b) - f(a)}{b - a} [/mm] = [mm] f'(\xi).
[/mm]
Corollar 2:
Sei f:[a,b] [mm] \mapsto \IR [/mm] eine stetige, in ]a,b[ differenziarbare Funktion. Für die Ableitung gelte
m [mm] \le f'(\xi) \le [/mm] M für alle [mm] \xi \in [/mm] ]a,b[
mit gewissen Konstanten m,M [mm] \in \IR. [/mm] Dann gilt für alle [mm] x_{1}, x_{2} \in [/mm] [a,b] mit [mm] x_{1} \le x_{2} [/mm] die Abschätzung
[mm] m(x_{2} [/mm] - [mm] x_{1}) \le f(x_{2}) [/mm] - [mm] f(x_{1}) \le M(x_{2} [/mm] - [mm] x_{1}).
[/mm]
Dies ist eine unmittelbare Folgerung aus dem Mittelwertsatz.
Corollar 3:
Sei f:[a,b] [mm] \mapsto \IR [/mm] stetig und in ]a,b[ differenzierbar mit f'(x) = 0 für alle x [mm] \in [/mm] ]a,b[. Dann ist f konstant.
Dies ist der Fall m = M = 0 von Corollar 2.
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Nun zu meinen Fragen:
1) Zuerst einmal habe ich direkt zum Beweis vom Satz von Rolle Fragen:
- Wieso wird f in ]a,b[ differenzierbar gefordert, und nicht in [a,b] ?
- Ist der Satz trivial wenn f konstant ist, weil dann auf jeden Fall ein [mm] \xi \in [/mm] ]a,b[ existiert mit [mm] f'(\xi) [/mm] = 0 (es ist ja [mm] f'(\xi) [/mm] = 0, da f konstant) ?
- Welche Bedeutung im Beweis hat die Stelle "es gibt ein [mm] x_{0} \in [/mm] ]a,b[ mit [mm] f(x_0) [/mm] > f(a) bzw. [mm] f(x_0) [/mm] < f(a) ?
2) Dann habe ich eine Frage zu Corollar 2, und zwar wieso dieses Corollar eine unmittelbare Folgerung aus dem Mittelwertsatz ist.
Ich versuche es mal, soweit ich es verstanden habe:
Also zuerst einmal gilt ja für [mm] x_{1} [/mm] = [mm] x_{2} [/mm] die Gleichung, denn dann folgt
0 [mm] \le [/mm] 0 [mm] \le [/mm] 0, was ja eine wahre Aussage ist.
Ist [mm] x_{1} [/mm] = a, [mm] x_{2} [/mm] = b, so existiert wegen dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung ein [mm] \xi \in [/mm] ]a,b[, sodass [mm] \frac{f(b) - f(a)}{b - a} [/mm] = [mm] f'(\xi) [/mm] bzw.
[mm] \frac{f(x_{2}) - f(x_{1})}{x_{2} - x_{1}} [/mm] = [mm] f'(\xi) [/mm] und da nach Voraussetzung m [mm] \le f'(\xi) \le [/mm] M für alle [mm] \xi \in [/mm] ]a,b[ gilt, folgt aus
[mm] \frac{f(x_{2}) - f(x_{1})}{x_{2} - x_{1}} [/mm] = [mm] f'(\xi),
[/mm]
dass [mm] f'(\xi) [/mm] = [mm] \frac{f(x_{2}) - f(x_{1})}{x_{2} - x_{1}} \ge [/mm] m <=> [mm] m(x_{2} [/mm] - [mm] x_{1}) \le f(x_{2}) [/mm] - [mm] f(x_{1})
[/mm]
bzw. dass
[mm] f'(\xi) [/mm] = [mm] \frac{f(x_{2}) - f(x_{1})}{x_{2} - x_{1}} \le [/mm] M <=> [mm] f(x_{2}) [/mm] - [mm] f(x_{1}) \le M(x_{2} [/mm] - [mm] x_{1})
[/mm]
und somit die Abschätzung.
Ist es nun so, dass alle möglichen [mm] x_{1} [/mm] < [mm] x_{2} [/mm] als neue Grenzen innerhalb des Intervalls [a,b] gesetzt werden und der Mittelwertsatz dann mit diesen [mm] x_{2}, x_{1} [/mm] unendlich oft wiederholt wird, sodass man sagen kann, dass schlussendlich für alle [mm] x_{1}, x_{2} \in [/mm] [a,b] mit [mm] x_{1} [/mm] < [mm] x_{2} [/mm] gemäß der unendlichen Anwendung des Mittelwertsatzes mit allen [mm] x_{1}, x_{2} [/mm] die Abschätzung folgt?
3) Folgt hier wegen m = M = 0, dass [mm] f(x_{2}) \ge f(x_{1}) [/mm] und [mm] f(x_{2}) \le f(x_{1}) [/mm] für alle [mm] x_{2}, x_{1} \in [/mm] [a,b], und somit [mm] f(x_{2}) [/mm] = [mm] f(x_{1}), [/mm] was mit der Konstanz der Funktion f übereinstimmt?
Für eure Antworten wäre ich dankbar!
Viele Grüße,
X3nion
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Hiho,
> - Wieso wird f in ]a,b[ differenzierbar gefordert, und nicht in [a,b] ?
weil es ausreicht.
Wieso soll man eine stärkere Annahme treffen, wenn es auch mit weniger starken Annahmen geht?
Man versucht halt den Satz so allgemein wie möglich zu beweisen.
Beispielsweise kannst du so den Satz von Rolle auf die Funktion $f(x) = [mm] \sqrt{-x(x-1)}$ [/mm] im Intervall $[0,1]$ anwenden, was du mit deiner Version nicht könntest.
> - Ist der Satz trivial wenn f konstant ist, weil dann auf
> jeden Fall ein [mm]\xi \in[/mm] ]a,b[ existiert mit [mm]f'(\xi)[/mm] = 0 (es ist ja [mm]f'(\xi)[/mm] = 0, da f konstant) ?
Ja
> - Welche Bedeutung im Beweis hat die Stelle "es gibt ein
> [mm]x_{0} \in[/mm] ]a,b[ mit [mm]f(x_0)[/mm] > f(a) bzw. [mm]f(x_0)[/mm] < f(a) ?
Na anschaulich geht es um folgendes: Wir haben den Fall f konstant ja schon behandelt. Also nehmen wir an, f sei nicht konstant, nun gibt es zwei Fälle (die sich nicht unbedingt ausschließen müssen).
1. Fall: $f$ steigt irgendwann, d.h. es gibt einen Funktionswert [mm] $f(x_0)$ [/mm] der größer ist als $f(a)$. Da wir wissen, dass f(b) = f(a) gilt, also f am Ende wieder bei f(a) landet, muss die Funktion auch irgendwann wieder fallen.
Und dann suchen wir genau den Punkt, an dem f das Verhalten von "steigend" zu "fallend" ändert, denn wir wissen, dass dort die Ableitung 0 ist.
2. Fall: $f$ fällt irgendwann, dann suchen wir eben den Punkt mit der selben Argumentation, an dem f das Verhalten von "fallend" zu "steigend" ändert
> 2) Dann habe ich eine Frage zu Corollar 2, und zwar wieso
> dieses Corollar eine unmittelbare Folgerung aus dem
> Mittelwertsatz ist.
Deine Herleitung ist ok, nur (noch) sehr Umständlich aufgeschrieben.
> Ist es nun so, dass alle möglichen [mm]x_{1}[/mm] < [mm]x_{2}[/mm] als neue Grenzen innerhalb des Intervalls [a,b] gesetzt werden und der Mittelwertsatz dann mit diesen [mm]x_{2}, x_{1}[/mm] unendlich oft wiederholt wird, sodass man sagen kann, dass schlussendlich für alle [mm]x_{1}, x_{2} \in[/mm] [a,b] mit [mm]x_{1}[/mm] < [mm]x_{2}[/mm] gemäß der unendlichen Anwendung des Mittelwertsatzes mit allen [mm]x_{1}, x_{2}[/mm] die Abschätzung folgt?
Ja, aber das wäre nur so, wenn man es für konkrete [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] jedes Mal zeigen müsste. Das tut man aber gar nicht!
Sondern der Ansatz ist hier: Wir nehmen beliebige [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] aus dem Intervall und zeigen, dass es für diese beiden dann gilt.
Da [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] beliebig waren, muss der Beweis damit für alle gelten.
D.h. man zeigt es nur einmal, begründet aber, warum das keine Rolle spielt.
Und darum noch mal in Kurz: Wir nehmen jetzt so beliebige [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] aus $[a,b]$, für diese existiert ein [mm] $\xi \in [/mm] ]a,b[$ so dass:
$ [mm] \frac{f(b) - f(a)}{b - a} [/mm] = [mm] f'(\xi) [/mm] $
Für [mm] $\xi$ [/mm] gilt nun weiterhin:
$m [mm] \le f'(\xi) \le [/mm] M$, einfaches Einsetzen liefert also:
$m [mm] \le \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \le [/mm] M$
Multiplizieren mit $(b-a)$ liefert:
$m(b-a) [mm] \le [/mm] f(b) - f(a) [mm] \le [/mm] M(b-a)$
> 3) Folgt hier wegen m = M = 0, dass [mm]f(x_{2}) \ge f(x_{1})[/mm]
> und [mm]f(x_{2}) \le f(x_{1})[/mm] für alle [mm]x_{2}, x_{1} \in[/mm] [a,b],
> und somit [mm]f(x_{2})[/mm] = [mm]f(x_{1}),[/mm] was mit der Konstanz der
> Funktion f übereinstimmt?
Ja, oder wenn man es gleich einsetzt folgt eben $0 [mm] \le f(x_1) [/mm] - [mm] f(x_2) \le [/mm] 0$ d.h. es folgt [mm] $f(x_1) [/mm] - [mm] f(x_2) [/mm] = 0$ was gleichbedeutend ist mit [mm] $f(x_1) [/mm] = [mm] f(x_2)$
[/mm]
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:46 Mi 25.01.2017 | | Autor: | X3nion |
Hi Gono,
ich danke dir vorerst für deine ausführliche Antwort, die Idee mit den beliebig gewählten [mm] x_{1}, x_{2} [/mm] habe ich nun an sich verstanden!
Aber es muss trotzdem [mm] x_{1} [/mm] < [mm] x_{2} [/mm] gelten oder?
Und noch eine kurze Frage zu deinem Punkt hier:
> Beispielsweise kannst du so den Satz von Rolle auf die Funktion $ f(x) =
> [mm] \sqrt{-x(x-1)} [/mm] $ im Intervall [0,1] anwenden, was du mit deiner Version
> nicht könntest.
Meinst du "mit meiner Version", dass f in [a,b] differenzierbar gefordert wird?
Und wieso könnte man dann nicht den Satz von Rolle nicht anwenden?
Viele Grüße,
X3nion
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f(x) = [mm]\sqrt{-x(x-1)}[/mm] ist nur im Intervall [0,1] definiert.
f(0)=f(1)=0
[mm] f(-0,1)=\sqrt{0,1(-1,1)} [/mm] ist nicht reell, ebenso nicht
[mm] f(1,1)=\sqrt{-1,1(0,1)}, [/mm] da die Werte unter der Wurzel negativ werden.
Die Funktion ist stetig im Intervall [0|1], f(0)=f(1).
Aber sie ist am Rand nicht differenzierbar!
Für jedes x aus ]0|1[ ist sie differenzierbar, deshalb gilt der Satz von Rolle.
Aber für x=0 ist f nicht differenzierbar, weil es links von x=0 keinen Funktionswert gibt und deswegen der Differenzenquotient keinen linksseitigen Grenzwert hat. Bei x=1 fehlt der rechtsseitige Grenzwert. Wenn du also verlangst, dass die Funktion für den Satz von Rolle auf ganz [0|1] differenzierbar sein muss, fällt diese Funktion nicht darunter, und dementsprechend dürftest du den Satz nicht anwenden.
Tatsächlich gilt der Satz aber auch für diese Funktion.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:46 Do 26.01.2017 | | Autor: | fred97 |
> f(x) = [mm]\sqrt{-x(x-1)}[/mm] ist nur im Intervall [0,1] definiert.
>
> f(0)=f(1)=0
> [mm]f(-0,1)=\sqrt{0,1(-1,1)}[/mm] ist nicht reell, ebenso nicht
> [mm]f(1,1)=\sqrt{-1,1(0,1)},[/mm] da die Werte unter der Wurzel
> negativ werden.
>
> Die Funktion ist stetig im Intervall [0|1], f(0)=f(1).
>
> Aber sie ist am Rand nicht differenzierbar!
>
> Für jedes x aus ]0|1[ ist sie differenzierbar, deshalb
> gilt der Satz von Rolle.
>
> Aber für x=0 ist f nicht differenzierbar, weil es links
> von x=0 keinen Funktionswert gibt und deswegen der
> Differenzenquotient keinen linksseitigen Grenzwert hat.
Mit dieser Begründung bin ich überhaupt nicht einverstanden !
Sei $f:[a,b] [mm] \to \IR$ [/mm] eine Funktion. Wäre das, was Du oben schreibst richtig, so wäre eine solche Funktion in x=a nie differenzierbar ! Mit Verlaub, aber das ist Unsinn.
f ist in x=a differenzierbar [mm] \gdw \lim_{x \to a+0}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} [/mm] existiert in [mm] \IR.
[/mm]
Beispiele
1.: sei
[mm] f(x)=\begin{cases} x^{3/2}sin(1/x), & \mbox{für }x \in (0,1] \\ 0, & \mbox{für }x=0. \end{cases}
[/mm]
Hier ist [mm] \lim_{x \to 0+0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=0. [/mm] Damit ist f in x=0 differenzierbar und f'(0)=0.
2.: sei
$f(x) = [mm] \sqrt{-x(x-1)} [/mm] $ für x [mm] \in [/mm] [0,1].
Hier existiert [mm] \lim_{x \to 0+0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} [/mm] nicht. Das ist der Grund , warum f in x=0 nicht differenzierbar ist.
> Bei
> x=1 fehlt der rechtsseitige Grenzwert.
S.o.
> Wenn du also
> verlangst, dass die Funktion für den Satz von Rolle auf
> ganz [0|1] differenzierbar sein muss, fällt diese Funktion
> nicht darunter, und dementsprechend dürftest du den Satz
> nicht anwenden.
>
> Tatsächlich gilt der Satz aber auch für diese Funktion.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:57 Do 26.01.2017 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Mit dieser Begründung bin ich überhaupt nicht einverstanden !
ich auch nicht, aus selbem Grund
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:13 Do 26.01.2017 | | Autor: | X3nion |
Hallo zusammen,
schönen Dank erstmal für eure Antworten und Beiträge!
Da habe ich ja mal wieder etwas losgestoßen ohje.. ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
> > f(x) = [mm]\sqrt{-x(x-1)}[/mm] ist nur im Intervall [0,1] definiert.
> >
> > f(0)=f(1)=0
> > [mm]f(-0,1)=\sqrt{0,1(-1,1)}[/mm] ist nicht reell, ebenso nicht
> > [mm]f(1,1)=\sqrt{-1,1(0,1)},[/mm] da die Werte unter der Wurzel
> > negativ werden.
> >
> > Die Funktion ist stetig im Intervall [0|1], f(0)=f(1).
> >
> > Aber sie ist am Rand nicht differenzierbar!
> >
> > Für jedes x aus ]0|1[ ist sie differenzierbar, deshalb
> > gilt der Satz von Rolle.
> >
> > Aber für x=0 ist f nicht differenzierbar, weil es links
> > von x=0 keinen Funktionswert gibt und deswegen der
> > Differenzenquotient keinen linksseitigen Grenzwert hat.
>
> Mit dieser Begründung bin ich überhaupt nicht
> einverstanden !
>
> Sei [mm]f:[a,b] \to \IR[/mm] eine Funktion. Wäre das, was Du oben
> schreibst richtig, so wäre eine solche Funktion in x=a nie
> differenzierbar ! Mit Verlaub, aber das ist Unsinn.
>
> f ist in x=a differenzierbar [mm]\gdw \lim_{x \to a+0}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}[/mm]
> existiert in [mm]\IR.[/mm]
Hm dass links- und rechtsseitigen Grenzwert existieren müssen, damit eine Funktion im Punkte x differenzierbar sein sollen, kannte ich auch nicht als Bedingung.
Im Forster steht es so drin: Sei V [mm] \subset \IR [/mm] und f: V [mm] \mapsto \IR [/mm] eine Funktion. f heißt in einem Punkt x [mm] \in [/mm] V differenzierbar, falls x Häufungspunkt von V ist und der Grenzwert
f'(x) := [mm] \limes_{\xi \mapsto x} \frac{f(\xi) - f(x)}{\xi - x} [/mm] existiert.
Bemerkung:
Die Bedingung "x ist Häufungspunkt von V" ist nötig um sicherzustellen, dass mindestens eine Folge [mm] \xi_{n} \in [/mm] V \ [mm] \{x\} [/mm] existiert mit [mm] lim_{n\rightarrow\infty} \xi_{n} [/mm] = x. Falls V ein Intervall ist, das aus mehr als einem Punkt besteht, ist diese Bedingung für jeden Punkt x [mm] \in [/mm] V automatisch erfüllt.
---
Die Bedingung, dass mindestens eine Folge [mm] \xi_{n} \in [/mm] V \ [mm] \{x\} [/mm] mit [mm] lim_{n\rightarrow\infty} \xi_{n} [/mm] = x sagt ja eigentlich schon aus, dass der Grenzwert nicht links- und gleichzeitig rechtsseitig existieren muss, es reicht eben eine Folge auf der x-Achse zu finden (nicht jedoch die Konstante Funktion [mm] \xi_{n} [/mm] = x), die gegen x konvergiert, sodass man damit den Differenzenquotienten bilden kann.
Was sein muss ist aber, dass wenn links- und rechtsseitiger Grenzwert existieren, dass diese gleich sein müssen oder?
Und noch kurz zu dir Fred:
Die Bedingung [mm] \lim_{x \to a+0}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}
[/mm]
habe ich bisher noch nicht gesehen. Was bedeutet die Verdeutlichung "x [mm] \to [/mm] a+0" ?
> Beispiele
>
> 1.: sei
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} x^{3/2}sin(1/x), & \mbox{für }x \in (0,1] \\ 0, & \mbox{für }x=0. \end{cases}[/mm]
>
> Hier ist [mm]\lim_{x \to 0+0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=0.[/mm] Damit
> ist f in x=0 differenzierbar und f'(0)=0.
Hier kurz eine Frage: wieso ist hier [mm] \lim_{x \to 0+0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=0 [/mm] ?
Mir ist klar, dass [mm] \lim_{x \to 0+0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} [/mm] = [mm] \lim_{x \to 0+0}\frac{f(x)-0}{x-0} [/mm] = [mm] \lim_{x \to 0+0}\frac{f(x)}{x}, [/mm] aber wieso folgt nun aus dem Quotienten, dass [mm] \lim_{x \to 0+0}\frac{f(x)}{x} [/mm] = 0?
>
> 2.: sei
>
> [mm]f(x) = \sqrt{-x(x-1)}[/mm] für x [mm]\in[/mm] [0,1].
>
> Hier existiert [mm]\lim_{x \to 0+0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}[/mm]
> nicht. Das ist der Grund , warum f in x=0 nicht
> differenzierbar ist.
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
> > Bei
> > x=1 fehlt der rechtsseitige Grenzwert.
>
>
> S.o.
>
>
>
> > Wenn du also
> > verlangst, dass die Funktion für den Satz von Rolle auf
> > ganz [0|1] differenzierbar sein muss, fällt diese Funktion
> > nicht darunter, und dementsprechend dürftest du den Satz
> > nicht anwenden.
> >
> > Tatsächlich gilt der Satz aber auch für diese Funktion.
>
Viele Grüße,
X3nion
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Hiho,
> schönen Dank erstmal für eure Antworten und Beiträge!
> Da habe ich ja mal wieder etwas losgestoßen ohje..
na eigentlich nicht du, sondern HJKweseleit durch einen mißverständlichen Post
Aber jetzt räumen wir mal mit den Unsicherheiten etwas auf und schlagen die Grundlagen nach (das ist deine Aufgabe!).
> Hm dass links- und rechtsseitigen Grenzwert existieren
> müssen, damit eine Funktion im Punkte x differenzierbar
> sein sollen, kannte ich auch nicht als Bedingung.
Aufpassen! Darum ging es ja in der Diskussion. Das stimmt so nicht immer!
Aber hier ging es konkret um die Aussage in deiner Definition:
> und der Grenzwert
>
> f'(x) := [mm]\limes_{\xi \mapsto x} \frac{f(\xi) - f(x)}{\xi - x}[/mm]
> existiert.
Und nun kommt deine Aufgabe zum Nachschlagen, damit du nicht alles blind glaubst.
Was bedeutet allgemein, dass der Grenzwert [mm] $\limes_{\xi \mapsto x} f(\x_i)$ [/mm] existiert?
Darum geht die gesamte Diskussion gerade.
Und ich sage es dir und du darfst nachschlagen, dass es stimmt: [mm] $\limes_{\xi \mapsto x} f(\xi)$ [/mm] existiert, wenn für jede Folge [mm] $(\xi_k)_{k\in N}$ [/mm] mit Elementen aus V mit der Eigenschaft [mm] $\lim_{k\to \infty} \xi_k [/mm] = x$ gilt, dass [mm] $\lim_{k\to \infty} f(\xi_k)$ [/mm] existiert und gleich ist für alle diese Folgen.
> Bemerkung:
>
> Die Bedingung "x ist Häufungspunkt von V" ist nötig um
> sicherzustellen, dass mindestens eine Folge [mm]\xi_{n} \in[/mm] V \
> [mm]\{x\}[/mm] existiert mit [mm]lim_{n\rightarrow\infty} \xi_{n}[/mm] = x.
> Falls V ein Intervall ist, das aus mehr als einem Punkt
> besteht, ist diese Bedingung für jeden Punkt x [mm]\in[/mm] V
> automatisch erfüllt.
Das stimmt erst mal.
>
> Die Bedingung, dass mindestens eine Folge [mm]\xi_{n} \in[/mm] V \
> [mm]\{x\}[/mm] mit [mm]lim_{n\rightarrow\infty} \xi_{n}[/mm] = x sagt ja
> eigentlich schon aus, dass der Grenzwert nicht links- und
> gleichzeitig rechtsseitig existieren muss, es reicht eben
> eine Folge auf der x-Achse zu finden (nicht jedoch die
> Konstante Funktion [mm]\xi_{n}[/mm] = x), die gegen x konvergiert,
> sodass man damit den Differenzenquotienten bilden kann.
Nein! Das reicht eben nicht aus. Es muss nur eine Folge geben, damit obige Definition überhaupt Sinn macht. In der Definition des Funktionengrenzwerts [mm] $\lim_{\xi \to x} f(\xi)$ [/mm] wird aber vorausgesetzt, dass der Grenzwert für alle Folgen [mm] $\xi \to [/mm] x$ (wieder die Kurzschreibweise klarmachen hier!) existiert und gleich ist.
> Und noch kurz zu dir Fred:
>
> Die Bedingung [mm]\lim_{x \to a+0}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}[/mm]
>
> habe ich bisher noch nicht gesehen. Was bedeutet die
> Verdeutlichung "x [mm]\to[/mm] a+0" ?
Das besagt, dass man nur Folgen betrachtet, die "von oben" gegen a konvergieren, für die also gilt [mm] $x_k \ge [/mm] 0$, denn wir wiederholen: $x [mm] \to [/mm] a$ ist nur eine Kurzschreibweise für alle Folgen [mm] $(x_k)_{k\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $x_k \to [/mm] a$
Und wenn du bis hier hin alles verstanden hast, erklär ich dir, was Freds Äquivalenzaussage meinte und wieso HJKweseleit falsch lag.
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:22 Fr 27.01.2017 | | Autor: | fred97 |
> > Hier ist [mm]\lim_{x \to 0+0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=0.[/mm] Damit
> > ist f in x=0 differenzierbar und f'(0)=0.
>
> Hier kurz eine Frage: wieso ist hier [mm]\lim_{x \to 0+0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=0[/mm]
> ?
>
> Mir ist klar, dass [mm]\lim_{x \to 0+0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}[/mm] =
> [mm]\lim_{x \to 0+0}\frac{f(x)-0}{x-0}[/mm] = [mm]\lim_{x \to 0+0}\frac{f(x)}{x},[/mm]
> aber wieso folgt nun aus dem Quotienten, dass [mm]\lim_{x \to 0+0}\frac{f(x)}{x}[/mm]
> = 0?
Für x>0 ist [mm] $\frac{f(x)}{x}=\wurzel{x}* \sin(1/x)$, [/mm] also
$ [mm] |\frac{f(x)}{x}|=\wurzel{x}*| \sin(1/x)| \le \wurzel{x}$.
[/mm]
Da [mm] \wurzel{x} \to [/mm] 0 für x [mm] \to [/mm] 0, liefert diese Abschätzung
$ [mm] |\frac{f(x)}{x}| \to [/mm] 0$ für x [mm] \to [/mm] 0,
also
$ [mm] \frac{f(x)}{x} \to [/mm] 0$ für x [mm] \to [/mm] 0.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:37 Do 26.01.2017 | | Autor: | Omega91 |
Hallo,
> f(x) = [mm]\sqrt{-x(x-1)}[/mm] ist nur im Intervall [0,1] definiert.
>
> f(0)=f(1)=0
> [mm]f(-0,1)=\sqrt{0,1(-1,1)}[/mm] ist nicht reell, ebenso nicht
> [mm]f(1,1)=\sqrt{-1,1(0,1)},[/mm] da die Werte unter der Wurzel
> negativ werden.
noch eine Bemerkung : was meinst du denn mit beispiesweise :
[mm]f(-0,1)=\sqrt{0,1(-1,1)}[/mm]
wie ist denn das zu lesen ? -- also mir ist die Notation total unklar...
>
> Die Funktion ist stetig im Intervall [0|1], f(0)=f(1).
>
> Aber sie ist am Rand nicht differenzierbar!
>
> Für jedes x aus ]0|1[ ist sie differenzierbar, deshalb
> gilt der Satz von Rolle.
>
> Aber für x=0 ist f nicht differenzierbar, weil es links
> von x=0 keinen Funktionswert gibt und deswegen der
> Differenzenquotient keinen linksseitigen Grenzwert hat. Bei
> x=1 fehlt der rechtsseitige Grenzwert. Wenn du also
> verlangst, dass die Funktion für den Satz von Rolle auf
> ganz [0|1] differenzierbar sein muss, fällt diese Funktion
> nicht darunter, und dementsprechend dürftest du den Satz
> nicht anwenden.
Ich verstehe nicht, was der Differenzenquotient hier zu suchen hat ... -- übrigens würde deine Definition bedeuten, dass so eine Funktion am linken Rand NIE differenzierbar sein könnte.... -- aber eventuell meinst du es auch anders und ich interpretiere es nicht korrekt.
>
> Tatsächlich gilt der Satz aber auch für diese Funktion.
Beste Grüße
Omega
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:13 Do 26.01.2017 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> [mm]f(-0,1)=\sqrt{0,1(-1,1)}[/mm]
> wie ist denn das zu lesen ? -- also mir ist die Notation total unklar...
in der Schule nicht aufgepasst?
Grammatikalisch ist das sauber aufgeschrieben, ich schreib es mal ohne Dezimalzahlen:
[mm] $f\left(-\frac{1}{10}\right) [/mm] = [mm] \sqrt{\frac{1}{10}\left(-\frac{11}{10}\right)}$
[/mm]
> Ich verstehe nicht, was der Differenzenquotient hier zu suchen hat ...
den wird man unweigerlich benötigen, wenn man die Differenzierbarkeit überprüfen will…
> -- übrigens würde deine Definition
> bedeuten, dass so eine Funktion am linken Rand NIE
> differenzierbar sein könnte.... -- aber eventuell meinst
> du es auch anders und ich interpretiere es nicht korrekt.
Dass das etwas unglücklich war, wurde ja nun schon öfter gesagt.
Dass der gesamte Post von HJKweseleit etwas unglücklich war, wurde ja nun schon dargelegt… dein Post hat trotzdem irgendeinen Unterton, den man in anderen Foren als "Geflame" verstehen könnte und das hat der Antwortgeber auch nicht verdient…
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:01 Do 26.01.2017 | | Autor: | Omega91 |
> Hiho,
>
> > [mm]f(-0,1)=\sqrt{0,1(-1,1)}[/mm]
> > wie ist denn das zu lesen ? -- also mir ist die
> Notation total unklar...
> in der Schule nicht aufgepasst?
> Grammatikalisch ist das sauber aufgeschrieben, ich schreib
> es mal ohne Dezimalzahlen:
>
> [mm]f\left(-\frac{1}{10}\right) = \sqrt{\frac{1}{10}\left(-\frac{11}{10}\right)}[/mm]
AHHHSO - mein Gott bin ich doof.
>
> > Ich verstehe nicht, was der Differenzenquotient hier zu
> suchen hat ...
> den wird man unweigerlich benötigen, wenn man die
> Differenzierbarkeit überprüfen will…
>
> > -- übrigens würde deine Definition
> > bedeuten, dass so eine Funktion am linken Rand NIE
> > differenzierbar sein könnte.... -- aber eventuell meinst
> > du es auch anders und ich interpretiere es nicht korrekt.
> Dass das etwas unglücklich war, wurde ja nun schon öfter
> gesagt.
>
> Dass der gesamte Post von HJKweseleit etwas unglücklich
> war, wurde ja nun schon dargelegt… dein Post hat trotzdem
> irgendeinen Unterton, den man in anderen Foren als
> "Geflame" verstehen könnte und das hat der Antwortgeber
> auch nicht verdient…
So ist das aber wirklich nicht gemeint ... Wir sind ja nicht unter dummköpfen und wollen uns gegenseitig veräppeln !! Eventuell ist die anschauliche Idee der Aussage ganz okay - ich habe nur drüber nachgedacht , ob ich das einfach falsch deute
>
> Gruß,
> Gono
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