Satz von Stokes < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:15 Di 15.02.2011 | | Autor: | Kueken |
Hi!
Hab da mal wieder eine Frage..
Und zwar hab ich gerade fleißig Oberflächenintegrale berechnet. Hat auch soweit ganz gut geklappt, aber jetzt hab ich hier eine Aufgabe in der ich den Fluss eines Vektorfeldes durch die Oberfläche einer Kugel berechnen soll. Wie macht man sowas, wäre dazu die Frage. Ich hab zwar eine Musterlösung, aber da ich keinen Plan hab, versteh ich die auch nicht. (Ich hoffe man kann das so allgemein erklären, ansonsten stell ich die Aufgabe noch rein).
Und dann wüsste ich noch gerne was der Satz von Stokes aussagt und wofür man ihn benutzt. Hab mir zwar Videos zu dem Thema angesehen, aber jetzt bin noch verwirrter als vorher.
Liebe Grüße und Danke schonmal
Kerstin
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> Hi!
> Hab da mal wieder eine Frage..
> Und zwar hab ich gerade fleißig Oberflächenintegrale
> berechnet. Hat auch soweit ganz gut geklappt, aber jetzt
> hab ich hier eine Aufgabe in der ich den Fluss eines
> Vektorfeldes durch die Oberfläche einer Kugel berechnen
> soll. Wie macht man sowas, wäre dazu die Frage. Ich hab
> zwar eine Musterlösung, aber da ich keinen Plan hab,
> versteh ich die auch nicht. (Ich hoffe man kann das so
> allgemein erklären, ansonsten stell ich die Aufgabe noch
> rein).
> Und dann wüsste ich noch gerne was der Satz von Stokes
> aussagt und wofür man ihn benutzt. Hab mir zwar Videos zu
> dem Thema angesehen, aber jetzt bin noch verwirrter als
> vorher.
>
> Liebe Grüße und Danke schonmal
> Kerstin
Hi Kerstin,
eine konkrete Aufgabe wäre schon nützlich, denn je nach
Art der Aufgabe sind vielleicht unterschiedliche Herangehens-
weisen sinnvoll !
Oder sag uns z.B., was du an der Musterlösung nicht verstehst.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:49 Di 15.02.2011 | | Autor: | Kueken |
| Aufgabe | Gegeben sei das Kraftfeld [mm] \vec{F}(\vec{r}) [/mm] = [mm] f_{0} (y\vec{e}_{x} [/mm] - [mm] x\vec{e}_{y}). [/mm] Berechnen Sie die entlang eines in der xy- Ebene gelegenen Kreises mit Radius R um die z-Achse geleistete Arbeit geschlossenes [mm] \integral_{c}{d\vec{r}* \vec{F}( \vec{r})} [/mm]
a) durch direkte Berchnung des Linienintegrals
b) mit Hilfe des Stokes'schen Satzes durch Integration über die Kreisscheibe in der xy - Ebene.
Gegeben sei das Vektorfeld [mm] \vec{F}(\vec{r}) [/mm] = [mm] xy^{2}\vec{e}_{x} [/mm] + [mm] yz^{2}\vec{e}_{y} [/mm] + [mm] zx^{2}\vec{e}_{z}. [/mm] Berechnen Sie den Fluss [mm] \integral_{S}{\vec{F}(\vec{r})* d\vec{\sigma}} [/mm] dieses Vektorfeldes durch die Oberfläche S einer um den Ursprung zentrierten Kugel mit Radius R. Verwenden Sie dazu Kugelkoordinaten und das oben bestimmte Flächenelement. Hinweis: [mm] \integral_{0}^{2\pi}{d\phi cos^{2} \phi sin^{2} \phi}= \bruch{\pi}{4} [/mm] |
Sodele. Was für eine Schreibarbeit =)
Ok, das Problem ist wahrscheinlich, dass ich den Zusammenhang zwischen all den verschiedenen Möglichkeiten nicht wirklich verstanden habe.
Heißt ich kann ein Linienintegral berechnen mit Parametrisierung usw. Arbeitsintegral hab ich auch schon gemacht. Flächenintegrale ebenfalls berechnet. Aber so langsam komm ich voll durcheinander was ich wo machen muss. Bei den beiden Aufgaben hier oben, hängt es dann so richtig. Bei der ersten komm ich mit dem Satz von Stokes nicht klar (den hab ich nicht kapiert) Linienintegral über geschlossenen Weg müsste ja mit dem Arbeitsintegral ganz gut hinhauen. Wobei ich mir hier wieder unsicher bin wegen des Kreises. Ich denke es wäre schlau Zylinderkoordinaten bzw. Polarkoordinaten zu wählen, aber mein Feld ist ja in kartesischen angegeben. Wenn ich da die Einheitsvektoren umschreiben, wird das ja ein Riesen-Ausdruck.
Bei der zweiten Aufgabe hängt es einmal an dem Fluss. In meinem Skript habe ich gelesen, dass es verschiedene Flächenintegrale gibt. Aber ich steig da nicht mehr durch. Auch hier habe ich erstmal versucht das Feld in Kugelkoordinaten umzuschreiben. Vor lauter sinusen und cosinuse in sämtlichen Potenzen aber den Überblick verloren. Die Musterlösung sagt, dass man mit [mm] \vec{e}_{r} [/mm] multiplizieren muss, aber warum? und wieso hilft mir das weiter? Da die Musterlösung aber immer ziemlich komisch bei uns sind, will ich mich an denen gar nicht orientieren. Wir gingen in der Vergangenheit deshalb bis zum Ergebnis immer getrennte Wege =). Also wenns anders möglich ist, das ganze zu lösen, dann wüsst ich das gern *g*.
Ok, ich hoffe jetzt sind meine Probleme ein bisschen deutlicher geworden. An der Stelle wohl ziemlich viele Probleme auf einmal.
Danke schonmal fürs Lesen und für Hilfestellungen!
Liebe Grüße
Kerstin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:38 Di 15.02.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Da du die Musterlösung vor dir hast weiss ich nicht ob es nun Sinn macht vorzurechnen...?
Grundsätzlich solltest du dir besser nicht versuchen Integrale in Arten einzuteilen und dann je nach Aufgabenstellung versuchen eine bestimmte Aufgabenart nach Schema F mit Integralart X zu lösen, sondern besser verstehen was du da genau mit dem Integral aufsummierst und wie die infinitesimalen Flächenelemente aussehen.
Bei beiden Aufgaben ist es besser in Polar- bzw. Kugelkoordinaten zu integrieren. Trotzdem ist es am einfachsten, wenn du das Skalarprodukt zwischen Vektorfeld [mm] \overrightarrow{F} [/mm] und Flächen- bzw. Linienelement zuerst in Kartesischen Koordinaten berechnest. Und erst dann(!) in Polar oder Kugelkoordinaten transformierst. So musst du nämlich keine Einheitsvektoren transformieren, sondern nur ein skalares Flächenelement transformieren.
Zum Satz von Stockes:
Schau dir mal hier unter "Zugrunde liegendes topologisches Prinzip" an weshalb der Satz von Stockes Sinn macht. ![[]](/images/popup.gif) Satz von Stockes
Ich weiss nicht wie man das in Worten besser erklären könnte...
Zum Fluss:
Der Fluss gibt an wieviel dieses Vektorfeldes durch eine Fläche fliesst. Ist ein Vektorpfeil z.B. paralelle zur Fläche ausgerichtet, so dringt dieser nicht durch die Fläche, das Skalarprodukt zwischen Vektorpfeil und Fläche an diesem Ort ist also Null.
Gruss
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> Zum Satz von Stockes:
> Schau dir mal hier unter "Zugrunde liegendes topologisches
> Prinzip" an weshalb der Satz von Stockes Sinn macht.
> Satz von Stockes
da gibt's kein "ck" !
"Stockes" erinnert mich an eine Sorte von "smashed potatoes" 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:21 Di 15.02.2011 | | Autor: | Kueken |
na dann wird doch der Satz so richtig lecker =) Zum genüßlich reinbeißen quasi... hihi lustiges Bild
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Hallo Kerstin !
I.)
> Gegeben sei das Kraftfeld [mm]\vec{F}(\vec{r})\ =\ f_{0} (y\vec{e}_{x}-x\vec{e}_{y}).[/mm]
das [mm] f_0 [/mm] soll wohl ein vorgegebener konstanter Faktor
sein, oder ?
> Berechnen Sie die entlang eines in der xy-
> Ebene gelegenen Kreises mit Radius R um die z-Achse
> geleistete Arbeit geschlossenes [mm]\integral_{c}{d\vec{r}* \vec{F}( \vec{r})}[/mm]
> a) durch direkte Berchnung des Linienintegrals
Für diese Teilaufgabe würde ich einen ganz anschaulichen
Weg wählen. Situation aufzeichnen; man sieht leicht,
dass der Kraftvektor tangential an den Kreis c liegt
und dass sein Betrag gleich [mm] f_0*r [/mm] ist. Für die bei einem
Umlauf geleistete Arbeit gilt dann die simple Gleichung
$Arbeit\ =\ Kraft\ *\ Weg$ . Man muss dann noch auf das Vorzeichen
aufpassen.
> b) mit Hilfe des Stokes'schen Satzes durch Integration
> über die Kreisscheibe in der xy - Ebene.
Der Satz von Stokes
[mm] $\int_\Sigma \langle \operatorname{rot}\, [/mm] F, [mm] \mathbf\nu \rangle \,\mathrm{d} [/mm] S = [mm] \oint_{\partial \Sigma} \langle [/mm] F, [mm] \mathbf\tau\rangle \,\mathrm{d} [/mm] s$
sagt in diesem Fall, dass man anstatt des Linienintegrals
das Integral des Skalarprodukts aus [mm] \overrightarrow{rot}(\overrightarrow{F}) [/mm] und dem
Normalenvektor über die von c berandete Kreisscheibe
berechnen kann. Da sowohl Rotationsvektor und Norma-
lenvektor in z-Richtung zeigen, erhält man auch so eine
ganz einfache Rechnung.
Das Beispiel ist wirklich als elementares Einstiegsbeispiel
geschaffen.
LG Al
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II.)
> Gegeben sei das Vektorfeld
[mm]\vec{F}(\vec{r})\ =\ xy^{2}\vec{e}_{x}\ +\ yz^{2}\vec{e}_{y}\ +\ zx^{2}\vec{e}_{z}.[/mm]
> Berechnen Sie den Fluss [mm]\integral_{S}{\vec{F}(\vec{r})* d\vec{\sigma}}[/mm]
> dieses Vektorfeldes durch die Oberfläche S einer um den
> Ursprung zentrierten Kugel mit Radius R. Verwenden Sie dazu
> Kugelkoordinaten und das oben bestimmte Flächenelement.
> Hinweis: [mm]\integral_{0}^{2\pi}{d\phi\ cos^{2} \phi\ sin^{2} \phi}\ =\ \bruch{\pi}{4}[/mm]
> Bei der zweiten Aufgabe hängt es einmal an dem Fluss. In
> meinem Skript habe ich gelesen, dass es verschiedene
> Flächenintegrale gibt. Aber ich steig da nicht mehr durch.
> Auch hier habe ich erstmal versucht das Feld in
> Kugelkoordinaten umzuschreiben. Vor lauter sinusen und
> cosinuse in sämtlichen Potenzen aber den Überblick
> verloren. Die Musterlösung sagt, dass man mit [mm]\vec{e}_{r}[/mm]
> multiplizieren muss, aber warum? und wieso hilft mir das
> weiter?
Betrachten wir ein winziges Stücklein der Kugeloberfläche S
mit einem (infinitesimalen) Flächeninhalt [mm] d\sigma [/mm] , so ist
der Fluss des Vektorfeldes durch dieses Flächenstücklein
gleich der an der betreffenden Stelle senkrecht zu S ge-
richteten Komponente des Feldes, multipliziert mit dem
Flächeninhalt [mm] d\sigma. [/mm] Rechnerisch wird daraus der Term
[mm] $\vec{F}(\vec{r})*\underbrace{\vec{n}_S(\vec{r})*d\sigma}_{d\vec{\sigma}}$
[/mm]
wobei [mm] \vec{n}_S(\vec{r}) [/mm] ein (hier radial gerichteter) Normalen-
einheitsvektor der Kugelfläche S an der Stelle [mm] \vec{r} [/mm] ist. Dieser
ist natürlich nichts anderes als der zum Ortsvektor [mm] \vec{r}
[/mm]
gehörige Einheitsvektor, also
[mm] $\vec{n}_S\ [/mm] =\ [mm] \frac{1}{R}*\vec{r}\ [/mm] =\ [mm] \frac{1}{R}*\pmat{x\\y\\z}$
[/mm]
Damit kommt man auf:
[mm] $\integral_{S}{\vec{F}(\vec{r})* d\vec{\sigma}}\ [/mm] =\ [mm] \frac{1}{R}*\integral_{S}{\vec{F}(\vec{r})*\vec{r}\,d\sigma}$
[/mm]
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:09 Di 15.02.2011 | | Autor: | Kueken |
Vielen Dank euch beiden! Ok, ich werds jetzt erstmal nochmal versuchen mit euren Hilfen. Hab noch nicht ganz alles verstanden, mag aber auch an 14 Stunden Powerlearning liegen :) Deshalb kleines Päuschen, dann wird alles nochmal durchgekaut *g*
LG
Kerstin und nochmals herzlichen Dank! Wenns das Forum und die vielen fleißigen Helferlein nicht gäbe, würd ich wohl ziemlich dumm aus der Wäsche schauen =)... und einige andere wohl mit mir ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:38 Do 17.02.2011 | | Autor: | Kueken |
Wollte nur schnell mal ne Rückmeldung geben: Habs begriffen =)
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> Wollte nur schnell mal ne Rückmeldung geben: Habs
> begriffen =)
Sehr schön ! Das freut mich.
Zur zweiten Aufgabe habe ich noch eine Anmerkung:
ich bin mir fast sicher, dass ihr zu dieser Aufgabe noch
einen anderen, sehr eleganten Lösungsweg kennen
lernen werdet.
Sagen dir die Begriffe "Divergenz" und/oder "Gaußscher
Integralsatz" schon etwas ? Falls nicht, könnte das euer
nächstes kleines Thema sein ...
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:06 So 13.03.2011 | | Autor: | Kueken |
Ja, die beiden Sachen hatten wir kurz danach. Und ich muss sagen, dass war gar nicht so schwer :)
Danke dir für deine viiiiieeeelen Hilfestellungen!!
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> Ja, die beiden Sachen hatten wir kurz danach. Und ich muss
> sagen, das war gar nicht so schwer :)
> Danke dir für deine viiiiieeeelen Hilfestellungen!!
with pleasure !
Al-Chw.
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