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| Aufgabe | Sei [mm] \nu(m) [/mm] eine Funktion, die alle Elemente mit Ordnung 2 in der primen Restklassegruppe zu m zählt. Beweisen Sie: für teilerfremde a,b [mm] \in \IN [/mm] gilt [mm] \nu(ab) [/mm] = [mm] \nu(a)*\nu(b)
[/mm]
Als Hinweis ist gegeben, dass das Produkt über alle Elemente mit Ordnung 2 einer Gruppe gleich dem Produkt über alle Elemente der Gruppe ist (weil sich die Elemente mit "echten" Inversen gegenseitig zu 1 neutralisieren)
Anschließend soll noch [mm] \nu(m) [/mm] für m ungerade bestimmt werden. Und dann eben der Satz von Wilson (n ist prim [mm] \gdw [/mm] (n-1)! [mm] \equiv [/mm] -1 mod n) bewiesen werden. |
Ich hab irgendwie keine Ahnung, wie ich die Verteilung der selbstinversen Gruppenelemente eingrenzen kann. Die Aufgabe erinnert mich an die Eulersche Phi-Funktion, die man ja für teilerfremde a,b ebenfalls multiplikativ auseinanderziehen kann. Die Ordnungen der primen Restklassegruppen kann ich also multiplikativ schon auseinanderziehen - aber wie drücke ich die Selbstinversen in Abhängigkeit dazu aus?
Hat jemand ne Idee?
(PS: Ich weiß, is relativ viel Text statt Formeln, weil ich die Notation von Restklassegruppen etc. hier irgendwie nicht hinbekomme - Tschuldigung)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:12 Mo 07.11.2011 | | Autor: | felixf |
> Sei [mm]\nu(m)[/mm] eine Funktion, die alle Elemente mit Ordnung 2
> in der primen Restklassegruppe zu m zählt.
Meinst du von Ordnung hoechstens 2? Oder echt von Ordnung 2? In dem Fall ist die Aussage naemlich falsch, und zwar fuer jede Wahl von teilerfremden $a, b$.
> Beweisen Sie:
> für teilerfremde a,b [mm]\in \IN[/mm] gilt [mm]\nu(ab)[/mm] = [mm]\nu(a)*\nu(b)[/mm]
Den Hinweis hier:
> Als Hinweis ist gegeben, dass das Produkt über alle
> Elemente mit Ordnung 2 einer Gruppe gleich dem Produkt
> über alle Elemente der Gruppe ist (weil sich die Elemente
> mit "echten" Inversen gegenseitig zu 1 neutralisieren)
braucht man eher fuer das hier:
> Anschließend soll noch [mm]\nu(m)[/mm] für m ungerade bestimmt
> werden. Und dann eben der Satz von Wilson (n ist prim [mm]\gdw[/mm]
> (n-1)! [mm]\equiv[/mm] -1 mod n) bewiesen werden.
Fuer den Teil [mm] $\nu(a [/mm] b) = [mm] \nu(a) \nu(b)$ [/mm] braucht man den Hinweis nicht.
> Ich hab irgendwie keine Ahnung, wie ich die Verteilung der
> selbstinversen Gruppenelemente eingrenzen kann. Die Aufgabe
> erinnert mich an die Eulersche Phi-Funktion, die man ja
> für teilerfremde a,b ebenfalls multiplikativ
> auseinanderziehen kann. Die Ordnungen der primen
> Restklassegruppen kann ich also multiplikativ schon
> auseinanderziehen - aber wie drücke ich die Selbstinversen
> in Abhängigkeit dazu aus?
> Hat jemand ne Idee?
Nimm mal den chinesischen Restsatz 
Wenn du zwei Gruppen $G$ und $H$ hast, dann hat ein Element $(g, h)$ in $G [mm] \times [/mm] H$ die Ordnung [mm] $kgV(ord_G(g), ord_H(h))$.
[/mm]
(Damit kannst du auch sehen, dass die Aussage fuer [mm] $\nu(n) [/mm] = [mm] |\{ x \in (\IZ/n\IZ)^\ast \mid ord_{(\IZ/n\IZ)^\ast}(x) = 2 \}|$ [/mm] falsch ist, sie aber fuer [mm] $\nu(n) [/mm] = [mm] |\{ x \in (\IZ/n\IZ)^\ast \mid ord_{(\IZ/n\IZ)^\ast}(x) \le 2 \}|$ [/mm] stimmt.)
> (PS: Ich weiß, is relativ viel Text statt Formeln, weil
> ich die Notation von Restklassegruppen etc. hier irgendwie
> nicht hinbekomme - Tschuldigung)
Vermutlich ist's eins von diesen beiden: [mm] $\IZ/n\IZ$, $\IZ_n$. [/mm] Wenn du die Formeln kopierst oder die Maus draufhaelst findest du heraus, wie man das hier schreibt.
LG Felix
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