Satz von der Gebietstreue < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:19 Fr 03.12.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo MR!
In meinem Buch "Funktionentheorie I" von Freitag, Busam steht folgende Bemerkung (blau unterlegt), die mich schon längere Zeit stutzig macht.
Dort steht also
Eine weitere bemerkenswerte Abbildungseigenschaft analytischer Funktionen, die man von der reellen Theorie her nicht erwarten würde, besagt
Satz von der Gebietstreue. Ist f eine nichtkonstante analytische Funktion auf dem Gebiet [mm] $D\subset \IC$, [/mm] dann ist der Wertevorrat f(D) von f offen und bogenweise zusammenhängend, also wieder ein Gebiet.
Beachte. Der Wertevorrat des reellen Sinus ist hingegen [-1,1].
Meine Frage ist nun: Was will mir der Autor damit sagen? Einfach nur, dass das reelle Analogon nicht gilt, dass also Gebiete [mm] $D\subset\IR$ [/mm] von reell-analytischen Funktionen (darunter verstehe ich als in jedem Punkt einer offenen Menge differenzierbar) nicht wieder auf Gebiete abgebildet werden?
Was meint Ihr?
Viele Grüße,
Marc
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:47 Sa 04.12.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Marc!
> Einfach nur, dass das reelle Analogon nicht gilt, dass also
> Gebiete [mm]D\subset\IR[/mm] von reell-analytischen Funktionen
> (darunter verstehe ich als in jedem Punkt einer offenen
> Menge differenzierbar) nicht wieder auf Gebiete abgebildet
> werden?
Ja, genau das will er sagen. Du kannst reell-analytische Funktionen ja auch genau als die auf einer Teilmenge von [mm] $\IR$ [/mm] eingeschränkten holomorphen Funktionen auffassen oder umgekehrt: die reell-analytischen Funktionen sind genau diejenigen Funktionen, für die es eine holomorphe Fortsetzung auf ein Gebiet in [mm] $\IC$ [/mm] gibt.
Nun sind nach dem Satz von der Gebietstreue holomorphe Funktionen offen (die Erhaltung des Zusammenhangs ist ja eh klar wegen der Stetigkeit). Aber: Sie respektieren nicht die Teilraumtopologie auf [mm] $\IR$: [/mm] diese wird teilweise gnadenlos zerschossen: aus offenen Mengen werden, wie beim Sinus, plötzlich abgeschlossene: bei holomorphen Funktionen wäre so etwas unvorstellbar.
Bei holomorphen und bijektiven Funktionen ist die Umkehrfunktion wegen der Offenheit unmittelbar als stetig erkannt (sogar ebenfalls holomorph).
War jetzt bestimmt nichts Neues für dich, aber ich muss ja irgendwie meine Antwort rechtfertigen. 
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:08 Sa 04.12.2004 | | Autor: | Marc |
Lieber Stefan!
> > Einfach nur, dass das reelle Analogon nicht gilt, dass
> also
> > Gebiete [mm]D\subset\IR[/mm] von reell-analytischen Funktionen
> > (darunter verstehe ich als in jedem Punkt einer offenen
>
> > Menge differenzierbar) nicht wieder auf Gebiete
> abgebildet
> > werden?
>
> Ja, genau das will er sagen. Du kannst reell-analytische
> Funktionen ja auch genau als die auf einer Teilmenge von
> [mm]\IR[/mm] eingeschränkten holomorphen Funktionen auffassen oder
> umgekehrt: die reell-analytischen Funktionen sind genau
> diejenigen Funktionen, für die es eine holomorphe
> Fortsetzung auf ein Gebiet in [mm]\IC[/mm] gibt.
Ja, ich denke das war der Zusammenhang, auf den Freitag/Busam hinaus wollten.
> Nun sind nach dem Satz von der Gebietstreue holomorphe
> Funktionen offen (die Erhaltung des Zusammenhangs ist ja eh
> klar wegen der Stetigkeit). Aber: Sie respektieren nicht
> die Teilraumtopologie auf [mm]\IR[/mm]: diese wird teilweise
> gnadenlos zerschossen: aus offenen Mengen werden, wie beim
> Sinus, plötzlich abgeschlossene: bei holomorphen Funktionen
> wäre so etwas unvorstellbar.
>
> Bei holomorphen und bijektiven Funktionen ist die
> Umkehrfunktion wegen der Offenheit unmittelbar als stetig
> erkannt (sogar ebenfalls holomorph).
>
> War jetzt bestimmt nichts Neues für dich, aber ich muss ja
Das Wissen ist leider aber noch nicht so abrufbar für mich, hab' also noch was zu lernen 
> irgendwie meine Antwort rechtfertigen.
Die Antwort hast du dir auch verdient, denn es hat mir weitergeholfen
Danke,
Marc
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