Satz zu TdV für isolierte NST < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:26 Mo 25.01.2010 | | Autor: | MarRaph |
| Aufgabe | Seien f: [mm] I_x \to \IR [/mm] und g: [mm] I_y \to \IR [/mm] gegeben und steig, [mm] \eta [/mm] ein innerer Punkt von [mm] I_y [/mm] und [mm] g(\eta) [/mm] = 0; sei ferner [mm] g(\eta) \not= [/mm] 0 in einem Intervall [mm] (\eta, \eta [/mm] + [mm] \alpha) [/mm] bzw. [mm] (\eta [/mm] - [mm] \alpha, \eta) [/mm] mit [mm] \alpha [/mm] > 0.
Wenn das uneigentliche Integral [mm] \integral_{\eta}^{\eta + \alpha}{\bruch{1}{g(z)} dz} [/mm] bzw. [mm] \integral_{\eta - \alpha}^{\eta}{\bruch{1}{g(z)} dz} [/mm] divergent ist, gibt es keine Lösungen der Dgl. y'(x) = g(y) [mm] \* [/mm] f(x), die von oben bzw. unten in die konstante Funktion y(x) [mm] \equiv \eta [/mm] einmünden.
Die Vorbemerkungen des Satzes sind erfüllt, wenn g(y) an der Stelle [mm] \eta [/mm] eine isolierte Nullstelle hat und dort lokal Lipschitz-stetig ist, d.h. falls [mm] \exists [/mm] L [mm] \in \IR^{+} [/mm] : [mm] |g(\eta) [/mm] - g(y)| = |g(y)| [mm] \le L|\eta [/mm] - y| für [mm] \forall [/mm] y in einer Umgebung von [mm] \eta [/mm] .
Dann ist [mm] \bruch{1}{|g(z)|} \ge \bruch{1}{L |z - \eta|} [/mm] und falls g(y) > 0 in [mm] (\eta, \eta [/mm] + [mm] \alpha) [/mm] gilt, so folgt:
[mm] \integral_{\eta}^{\eta + \alpha}{\bruch{1}{|g(z)|} dz} \ge \integral_{\eta}^{\eta + \alpha}{\bruch{1}{|z - \eta |} dz}
[/mm]
und
[mm] \bruch{1}{L} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{|g(u)|} du} [/mm] |
Hallo,
ich bereite mich gerade auf meine Abschlussklausur vor und verstehe nicht, wie mein Prof im oben dargestellten Zusammenhang auf die Aussage zur Lipschitz-Konstanten mit dem rot hervorgehobenen Gleichheitszeichen kommt.
Ich wäre euch für eine Erklärung dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:55 Mo 08.02.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Seien f: [mm]I_x \to \IR[/mm] und g: [mm]I_y \to \IR[/mm] gegeben und steig,
> [mm]\eta[/mm] ein innerer Punkt von [mm]I_y[/mm] und [mm]g(\eta)[/mm] = 0; sei ferner
> [mm]g(\eta) \not=[/mm] 0 in einem Intervall [mm](\eta, \eta[/mm] + [mm]\alpha)[/mm]
> bzw. [mm](\eta[/mm] - [mm]\alpha, \eta)[/mm] mit [mm]\alpha[/mm] > 0.
> Wenn das uneigentliche Integral [mm]\integral_{\eta}^{\eta + \alpha}{\bruch{1}{g(z)} dz}[/mm]
> bzw. [mm]\integral_{\eta - \alpha}^{\eta}{\bruch{1}{g(z)} dz}[/mm]
> divergent ist, gibt es keine Lösungen der Dgl. y'(x) =
> g(y) [mm]\*[/mm] f(x), die von oben bzw. unten in die konstante
> Funktion y(x) [mm]\equiv \eta[/mm] einmünden.
>
> Die Vorbemerkungen des Satzes sind erfüllt, wenn g(y) an
> der Stelle [mm]\eta[/mm] eine isolierte Nullstelle hat und dort
> lokal Lipschitz-stetig ist, d.h. falls [mm]\exists[/mm] L [mm]\in \IR^{+}[/mm]
> : [mm]|g(\eta)[/mm] - g(y)| = |g(y)| [mm]\le L|\eta[/mm] - y| für [mm]\forall[/mm] y
> in einer Umgebung von [mm]\eta[/mm] .
> Dann ist [mm]\bruch{1}{|g(z)|} \ge \bruch{1}{L |z - \eta|}[/mm] und
> falls g(y) > 0 in [mm](\eta, \eta[/mm] + [mm]\alpha)[/mm] gilt, so folgt:
> [mm]\integral_{\eta}^{\eta + \alpha}{\bruch{1}{|g(z)|} dz} \ge \integral_{\eta}^{\eta + \alpha}{\bruch{1}{|z - \eta |} dz}[/mm]
Das muss doch [mm]\integral_{\eta}^{\eta + \alpha}{\bruch{1}{|g(z)|} dz} \ge \frac{1}{L} \integral_{\eta}^{\eta + \alpha}{\bruch{1}{|z - \eta |} dz}[/mm] lauten!
> und
> [mm]\bruch{1}{L}[/mm] = [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{|g(u)|} du}[/mm]
Dieser Ausdruck macht ueberhaupt keinen Sinn. Erstmal ist $g$ ueberhaupt nicht umbedingt auf $[0, [mm] \infty)$ [/mm] definiert, weswegen das Integral schonmal gar keinen Sinn macht. Kann es sein, dass du (oder/und der Prof) dich an dieser Stelle verschrieben hast?
Ich haette hier eher sowas wie "analog [mm] $\int_{\eta - \alpha}^\eta \frac{1}{|g(z)|} [/mm] dz [mm] \ge \frac{1}{L} \int_{\eta - \alpha}^\eta \frac{1}{|z - \eta|} [/mm] dz$" erwartet, oder etwas im Sinne von [mm] "$\int_\eta^{\eta + \alpha} \frac{1}{|z - \eta|} [/mm] dz = [mm] \int_0^\alpha \frac{1}{z} [/mm] dz = [mm] \infty$".
[/mm]
LG Felix
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