ScharGerade schneidet Kugel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:02 Di 28.03.2006 | | Autor: | Phoney |
| Aufgabe | Die Kugel K hat den Mittelpunkt M(1|1|2) und berührt die Ebene E. Zeigen Sie, dass die Kugel K von jeder Geraden der Schar [mm] g_a [/mm] in zwei Punkten geschnitten wird.
[mm] g_a:\vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{1\\0\\3} [/mm] + t [mm] \vektor{a\\a^2\\2}
[/mm]
E: [mm] 2x_1+x_2-4x_3=7 [/mm] |
Hallo.
Zunächst einmal berechne ich den Radius, indem ich den Abstand vom Mittelpunkt zur Ebene berechne
Mit dieser speziellen Form der Hesseschen Normalenform für die Koordinatengleichung
d=| [mm] \bruch{2*1+1*1-4*1 -7}{\wurzel{4+1+16}} [/mm] = 2,62
Ein schön ungerader Wert, der alles verdächtig macht.
Gut, dann haben wir unsere Kreisgleichung
[mm] (x_1-1)^2+(x_2-1)^2+(x_3-2)^2=2,62^2
[/mm]
Und wie würde ich nun weiter machen? Ich würde einfach jede einzelne Komponente der Geraden einsetzen
Für [mm] x_1 [/mm] also 1+ta
für [mm] x_2 [/mm] also [mm] 0+ta^2
[/mm]
...
[mm] (1+ta-1)^2+(ta^2-1)^2+(3+2t-2)^2=2,62^2
[/mm]
Lässt sich jetzt aber nicht so schön auflösen, wegen dem [mm] (ta^2)^2
[/mm]
Was mache ich nun?
Gruß
Phoney
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:12 Di 28.03.2006 | | Autor: | maetty |
Hallo!
Ein Gerade kann eine Kugel entweder passieren, berühren (genau ein gemeinsamer Punkt) oder schneiden (genau zwei gemeinsame Punkte)
Eine Gerade schneidet eine Kugel genau dann, wenn gilt:
[mm]r
,wobei A der Abstand vom Mittelpunkt zur Geraden ist.
Ich würde daher einfach A berechnen und schauen ob der Wert kleiner als r ist.
mätty
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:22 Di 28.03.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo.
Eine gute Idee!
Leider kenne ich nur die Methode
[mm] [g:\vec{x} [/mm] - [mm] \vec{0M} [/mm] ]*Richtungsvektor der Geraden =0
daraus ergibt sich dann
[mm] [\vektor{1\\0\\3} [/mm] + t [mm] \vektor{a\\a^2\\2} [/mm] - [mm] \vektor{1\\1\\2}] [/mm] * [mm] \vektor{a\\a^2\\2} [/mm] =0
[mm] [\vektor{0\\-1\\1} [/mm] + t [mm] \vektor{a\\a^2\\2} [/mm] ] * [mm] \vektor{a\\a^2\\2}=0 [/mm]
[mm] (0+ta)*a+(-1+ta^2)*a^2+(1+2t)*2 [/mm] = 0
[mm] ta^2 -a^2 +ta^4 [/mm] +2+4t = 0
Wie soll ich das nun lösen? Ich habe ja pech und es kürzen sich leider keine As weg.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:01 Mi 29.03.2006 | | Autor: | riwe |
meiner meinung warst du schon auf dem richtigen weg.
die kugelgleichung lautet [mm] (\vec{x}-\vektor{1\\1\\2})^{2}=\frac{144}{21}.
[/mm]
jetzt geraden und kugel schneiden, das ergibt
[mm] (\vec{0\\-1\\1}+t\vec{a\\a^{2}\\2})^{2}=\frac{144}{21} [/mm] und aufgelöst die quadratische gleichung für t (schnittpunktparameter)
[mm] t^{2}(a^{2}+a^{4}+4)+t(4-2a^{2})-\frac{144}{21}=0. [/mm] die diskriminante (ausdruck unter der wurzel) dieser gleichung lautet
[mm] D=(4-2a^{2})^{2}+4(a^{2}+a^{4}+4)\cdot \frac{144}{21}[/mm].
da [mm] D > 0 \text{ } \forall {a} \Rightarrow [/mm]es existieren immer 2 schnittpunkte.
werner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:32 Mi 29.03.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Phoney,
Ich habe im Moment leider nicht die Zeit, die Aufgabe durchzurechnen, aber mir ist ein Flüchtigkeitsfehler bei der Abstandsberechnung aufgefallen.
> Die Kugel K hat den Mittelpunkt M(1|1|2) und berührt die
> Ebene E. Zeigen Sie, dass die Kugel K von jeder Geraden der
> Schar [mm]g_a[/mm] in zwei Punkten geschnitten wird.
> [mm]g_a:\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{1\\0\\3}[/mm] + t [mm]\vektor{a\\a^2\\2}[/mm]
> E: [mm]2x_1+x_2-4x_3=7[/mm]
> Hallo.
>
> Zunächst einmal berechne ich den Radius, indem ich den
> Abstand vom Mittelpunkt zur Ebene berechne
>
> Mit dieser speziellen Form der Hesseschen Normalenform für
> die Koordinatengleichung
>
> d=| [mm]\bruch{2*1+1*1-4*1 -7}{\wurzel{4+1+16}}[/mm] = 2,62
Hier muss es heißen
d=| [mm]\bruch{2*1+1*1-4*2 -7}{\wurzel{4+1+16}}[/mm]
Außerdem würde ich nicht mit dem Näherungswert rechnen. Beim Quadrieren entfällt die Wurzel ja wieder.
Gruß
Sigrid
>
> Ein schön ungerader Wert, der alles verdächtig macht.
>
> Gut, dann haben wir unsere Kreisgleichung
>
> [mm](x_1-1)^2+(x_2-1)^2+(x_3-2)^2=2,62^2[/mm]
>
> Und wie würde ich nun weiter machen? Ich würde einfach jede
> einzelne Komponente der Geraden einsetzen
>
> Für [mm]x_1[/mm] also 1+ta
> für [mm]x_2[/mm] also [mm]0+ta^2[/mm]
>
> ...
>
> [mm](1+ta-1)^2+(ta^2-1)^2+(3+2t-2)^2=2,62^2[/mm]
>
> Lässt sich jetzt aber nicht so schön auflösen, wegen dem
> [mm](ta^2)^2[/mm]
>
> Was mache ich nun?
>
> Gruß
> Phoney
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