Scheitelpunkt bestimmen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Also ich hab die Aufgabe gestellt bekommen den Scheitelpunkt dieser Parabel zu bestimmen:
f(x) = -2x² + 4x + 6
Nun muss ich ja die Scheitelform von dem ganzen rausbekommen. Wie soll ich das machen?
Muss ich eine binomische Formel bilden? Wenn ja wie mach ich das?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:14 Di 16.11.2004 | | Autor: | Fugre |
> Also ich hab die Aufgabe gestellt bekommen den
> Scheitelpunkt dieser Parabel zu bestimmen:
>
> f(x) = -2x² + 4x + 6
>
> Nun muss ich ja die Scheitelform von dem ganzen
> rausbekommen. Wie soll ich das machen?
> Muss ich eine binomische Formel bilden? Wenn ja wie mach
> ich das?
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Hi Kai,
dann gucken wir uns mal die Aufgabe an. Du sollst diese Gleichung [mm] $f(x)=-2x^2+4x+6$ [/mm] in die
Scheitelpunktsform bringen. Wie sieht denn die Scheitelpunktsform aus? Sie lautet wie folgt $ [mm] f(x)=a(x+b)^2+d [/mm] $
Die Idee mit der binomischen Formel ist schon sehr gut, jetzt müssen wir diese Idee auch anwenden. Hierbei ist
es hilfreich, wenn wir immer im Kopf haben wie die Endform aussehen soll.
(1) [mm] $f(x)=-2x^2+4x+6$ [/mm] jetzt suchen wir uns erst einmal ein das $a$ aus der allgemeinen Form und sehen, dass es
hier $-2$ ist
(2) [mm] $f(x)=-2(x^2-2x-3)$ [/mm] nun suchen wir in der Klammer nach einer binomischen Formel. Wir kennen schon den ersten Teil des Ausdrucks,
dieser lautet nämlich [mm] $x^2-2x+?^2=(x-?)^2 [/mm] $ . So ermitteln wir nun die Zahl $1$ und addieren und subtrahieren sie nun zu unserem Ausdruck
(3) [mm] $f(x)=-2(x^2-2x+1-3-1)$ [/mm] Nun fassen wir etwas zusammen
(4) [mm] $f(x)=-2((x^2-2x+1)-4)$ [/mm] Jetzt erkennen wir das 2. Binom in der Klammer und klammern $-4$ aus
(5) [mm] $f(x)=-2(x-1)^2+8$
[/mm]
Gut nun haben wir die Scheitelpunktsform. Die Frage ist, was hilft uns das?
Naja die Frage ist leicht zu beantworten, aus dieser Form kann man ohne große Mühe
die Koordinaten des Scheitelpunktes ablesen. Du schaust für welches x der Ausdruck in der Klammer 0 wird. Dies ist
dann die x-Koordinate des Scheitelpunktes und die y-Koordinate ist gleich dem Funktionswert an diesem Punkt, also dem
Summanden hinter der Klammer (hier 8)
Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte. Sollte etwas unklar bleiben, so frage bitte nach.
Liebe Grüße
Fugre
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:29 Di 16.11.2004 | | Autor: | chmul |
Hallo Kai, hallo Fugre,
in der Antwort von Fugre hat sich meines Wissens ein kleiner Fehler eingeschlichen. Die Scheitelform einer Parabel lautet nämlich:
[mm] f(x)=a(x-d)^2+e [/mm]
und somit ist der Scheitel S(d/e)
MfG
chris
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:43 Di 16.11.2004 | | Autor: | ribu |
> > Also ich hab die Aufgabe gestellt bekommen den
> > Scheitelpunkt dieser Parabel zu bestimmen:
> >
> > f(x) = -2x² + 4x + 6
> >
> > Nun muss ich ja die Scheitelform von dem ganzen
> > rausbekommen. Wie soll ich das machen?
> > Muss ich eine binomische Formel bilden? Wenn ja wie
> mach
> > ich das?
> >
> >
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
> >
>
> Hi Kai,
>
> dann gucken wir uns mal die Aufgabe an. Du sollst diese
> Gleichung [mm]f(x)=-2x^2+4x+6[/mm] in die
> Scheitelpunktsform bringen. Wie sieht denn die
> Scheitelpunktsform aus? Sie lautet wie folgt
> [mm]f(x)=a(x+b)^2-d[/mm] die scheitelpunktsform ist leider falsch!!! es heißt [mm] f(x)=a(x[green]-[/green]b)^{2} [green]+[/green]d[/mm]
>
> Die Idee mit der binomischen Formel ist schon sehr gut,
> jetzt müssen wir diese Idee auch anwenden. Hierbei ist
> es hilfreich, wenn wir immer im Kopf haben wie die Endform
> aussehen soll.
>
> (1) [mm]f(x)=-2x^2+4x+6[/mm] jetzt suchen wir uns erst einmal ein
> das [mm]a[/mm] aus der allgemeinen Form und sehen, dass es
> hier [mm]-2[/mm] ist
> (2) [mm]f(x)=-2(x^2-2x-3)[/mm] nun suchen wir in der Klammer nach
> einer binomischen Formel. Wir kennen schon den ersten Teil
> des Ausdrucks,
> dieser lautet nämlich [mm]x^2-2x+?^2=(x-?)^2[/mm] . So ermitteln
> wir nun die Zahl [mm]1[/mm] und addieren und subtrahieren sie nun zu
> unserem Ausdruck
> (3) [mm]f(x)=-2(x^2-2x+1-3-1)[/mm] Nun fassen wir etwas zusammen
> (4) [mm]f(x)=-2((x^2-2x+1)-4)[/mm] Jetzt erkennen wir das 2. Binom
> in der Klammer und klammern [mm]-4[/mm] aus
> (5) [mm]f(x)=-2(x-1)^2+8[/mm] deswegen ist hier der scheitelpunkt S(1/8)!! du musst die gegenzahl vom 2. summanden in der klammer als x-wert und die zahl hinter der klammer als y-wert deines scheitelpunktes nehmen!!
>
> Gut nun haben wir die Scheitelpunktsform. Die Frage ist,
> was hilft uns das?
> Naja die Frage ist leicht zu beantworten, aus dieser Form
> kann man ohne große Mühe
> die Koordinaten des Scheitelpunktes ablesen. Du schaust
> für welches x der Ausdruck in der Klammer 0 wird. Dies
> ist
> dann die x-Koordinate des Scheitelpunktes und die
> y-Koordinate ist gleich dem Funktionswert an diesem Punkt,
> also dem
> Summanden hinter der Klammer (hier 8)
>
> Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte. Sollte etwas unklar
> bleiben, so frage bitte nach.
>
> Liebe Grüße
> Fugre
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:38 Di 16.11.2004 | | Autor: | maetty |
Lieber fugre, lieber matheresol,
deine Antwort ist bis auf folgendes korrekt:
Du willst eine Zahl ermitteln, die hieraus x²-2x+?²=(x-?)² eine wahre Aussage macht. Dein "Vorschlag" ist 4, was aber leider nicht korrekt ist. Es ist die 1.
Mein Kontrollergebniss: f(x) = -2*(x-1)²+8 => S(1/8)
Haut rein,
-mätty
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:42 Do 18.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo zusammen,
warum diskutiert ihr darüber, ob die Scheitelpunktsform einer Parabel lautet:
1.) [mm] $f(x)=a(x+b)^2-d$
[/mm]
oder
2.) [mm] $f(x)=a(x+b)^2+\hat{d}$
[/mm]
Beide Darstellungen sind zulässig. Es gilt für [mm] $\hat{d}=-d$:
[/mm]
1.) [mm] $\gdw$ [/mm] 2.)
Das ist doch egal, welche Darstellung man benutzt (ich könnte auch eine andere Scheitelpunktsform hinschreiben, etwa:
$f(x)=-a(x-b)+d$).
(Ich bin auch schon auf beide Darstellungen (und viele weitere) gestoßen
(z.B. [mm] $f(x)=a(x-b)^2+d$ [/mm] (analoges findet man ![[]](/images/popup.gif) hier); das ist für mich die schönste, denn hier sieht der Scheitelpunkt so aus: [mm] $S(\,b\,;d\,)$), [/mm] und wüßte nicht, warum man sich da festlegen sollte...)
Im Falle 1.) hat der Scheitelpunkt die Form:
[mm] $S(\,-b\,;-d\,)$ [/mm]
und im Falle 2.) hat der Scheitelpunkt die Form:
[mm] $S(\,-b;\,\hat{d}\,)$
[/mm]
Fugre hat nachgerechnet:
[mm] $f(x)=-2(x-1)^2+8$
[/mm]
Nach 1.) erhält man dann $b=-1, d=-8$ und damit
[mm] $S(\,1;\,8\,)$
[/mm]
Nach 2.) erhält man dann $b=-1$, [mm] $\hat{d}=8$ [/mm] und damit auch
[mm] $S(\,1\,;8\,)$.
[/mm]
Also: Wo ist denn das Problem?
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:02 Do 18.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ich habe gerade mehr oder weniger zufällig ein Lernblatt im Internet gefunden, was dir vielleicht generell helfen könnte. Leider hatte ich noch keine Zeit, es Korrektur zu lesen, sondern ich habe es nur flüchtig gelesen. Hier mal der Link dazu:
mitglied.lycos.de/avdheyden/Material/Kartei9a.doc
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:42 Mi 24.11.2004 | | Autor: | difftop |
y=-2x²+4x+6 //-2 ausklammern
=-2(x²-2x-3) // quadr. Ergänzung add. & subtr.
=-2(x²-2x+1-4) // 2. bin Formel in (...)
=-2([x-1]²-4)
Der Graph entsteht also aus der Normalparabel durch
Verschiebung um 2 rechts, Verschiebung um 4 nach unten,
Spiegelung an der x-Achse und axialer Streckung (y-Achse) mit dem Faktor 2.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:51 Mi 24.11.2004 | | Autor: | difftop |
y=-2x²+4x+6 // -2 ausklammern
=-2(x²-2x-3) // quadr. Ergänzung in (...) add. & subtr
=-2(x²-2x+1-4) // 2. bin. Formel
=-2([x-1]²-4)
Der Graph entsteht aus der Normalparabel durch
Verschiebung um 1 nach rechts, Verschiebung um4 nach unten,
Spiegelung an der x-Achse nebst axialer Streckung an y um den Faktor 2.
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