Scheitelpunkt bestimmen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Man hat ein 10m langes Seil zur Verfügung und kann sich damit ein Grundstück einzäunen (WICHTIG , der eingezäunte Bereich muss ein Rechteck sein ). Am Grundstück fließt ein Fluss eintlang , dass auch als "Absperrung" dient . ( Da man ja schon den Fluss hat , muss man das Seil jetzt nur noch in 3 Teile teilen ) . Wie teilt man das Seil am geschicktesten ein , damit das Grundstück am größten ist ? Ich habe eine Wertetabelle erstellt und bei x=2,5m und y=5m kam die höchste Stelle raus 12,5m². Doch wie schreibe ich jetzt die Gleichung auf ? Wie geht diese Aufgabe ohne Wertetabelle ? |
Höchste Stelle ohne Wertetabelle finden . Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:44 Do 11.08.2011 | | Autor: | glie |
> Man hat ein 10m langes Seil zur Verfügung und kann sich
> damit ein Grundstück einzäunen (WICHTIG , der
> eingezäunte Bereich muss ein Rechteck sein ). Am
> Grundstück fließt ein Fluss eintlang , dass auch als
> "Absperrung" dient . ( Da man ja schon den Fluss hat , muss
> man das Seil jetzt nur noch in 3 Teile teilen ) . Wie teilt
> man das Seil am geschicktesten ein , damit das Grundstück
> am größten ist ? Ich habe eine Wertetabelle erstellt und
> bei x=2,5m und y=5m kam die höchste Stelle raus 12,5m².
> Doch wie schreibe ich jetzt die Gleichung auf ? Wie geht
> diese Aufgabe ohne Wertetabelle ?
Hallo und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
deine Lösung ist richtig und grundsätzlich finde ich es sehr lobenswert, wenn man auch einfach einmal herumprobiert, das kann extrem helfen.
Versuchen wir das Ganze in einen Term zu packen. Also nenne wir die Länge deines Rechtecks x und die Breite y.
Dann erhalten wir als Term für den Flächeninhalt A:
$A(x;y)=x [mm] \cdot [/mm] y$
Das ist jetzt ein Term mit zwei Variablen. Gut wäre, wenn wir nur noch eine Variable hätten.
Der entscheidende Schritt ist jetzt, den Zusammenhang zwischen x und y zu finden. Das ist hier nicht so schwer, denn es gilt die Gleichung:
$2 [mm] \cdot [/mm] x +y=10$
oder umgestellt:
[mm] $y=10-2\cdot [/mm] x$
Damit erhältst du dann
$A(x)=x [mm] \cdot [/mm] (10-2x)$
Kommst du jetzt weiter?
Gruß glie
> Höchste Stelle ohne Wertetabelle finden . Ich habe diese
> Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
|
| |
|
Vielen Dank für deine schnelle Antwort !
Frage 1 : Woher kommt das erste x bei : A=x(10-2x) und wo bleibt das y ?
Frage 2 : Bekomme ich jetzt die Lösung raus , indem ich für x einfach beliebige Zahlen einsetze ? Oder wie könnte ich bei der Wahl der Zahlen geschickter sein ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:11 Do 11.08.2011 | | Autor: | abakus |
> Vielen Dank für deine schnelle Antwort !
> Frage 1 : Woher kommt das erste x bei : A=x(10-2x) und wo
> bleibt das y ?
> Frage 2 : Bekomme ich jetzt die Lösung raus , indem ich
> für x einfach beliebige Zahlen einsetze ? Oder wie könnte
> ich bei der Wahl der Zahlen geschickter sein ?
>
Hallo,
der Flächeninhalt eines Rechteckes mit den Seitenlängen x und y ist x*y, und der Umfang ist x+y+x+y.
Da eine der 4 Seiten vom Fluss begrenzt wird (nehmen wir das y für diese Seite am Fluss) braucht man das Seil nur noch für EINE Länge y und für die zwei vom Fluss senkrecht wegführenden Strecken x. Es gilt also
x+y+x=10 (das Seil war 10 m lang ). Wenn man das nach y umstellt, erhält man y=10-2x.
Das erste x kommt also daher, dass man die Länge einer vom Fluss wegführenden Strecke damit bezeichnet hat.
Das von dir vermisste y ist der Ausdruck (10-2x).
Zur zweiten Frage:
Die Gleichung A=x*(10-2x) lässt sich umformen zu [mm] A=-2x^2+10x.
[/mm]
Das ist die Gleichung einer quadratischen Funktion. Diese Funktion besitzt Nullstellen (die man in der ursprünglichen Darstellungsform A=x*(10-2x) viel einfacher findet).
Der höchste bzw. tiefste Punkt einer quadratischen Parabel liegt immer "genau in der Mitte" zwischen den Nullstellen. Du musst also nich unbedingt probieren.
Gruß Abakus
|
|
|
|
