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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:09 Do 22.11.2012 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | Es sei V ein K-Vektoraum und [mm] v_1,...,v_n [/mm] eine Folge von Vektoren in V.
Auf die Folge eine Scherung anwenden, heißt für ein $i$ den Vektor [mm] v_i [/mm] durch
[mm] v_i+\lambda v_j, \lambda \in K,j\neq [/mm] i zu ersetzen.
Angenommen die Folge [mm] w_1,...,w_n [/mm] ist aus [mm] v_1,...,v_n [/mm] durch eine Folge von Scherungen entstanden.
Man zeige, dass die linearen Hüllen von [mm] v_1,...,v_n [/mm] und [mm] w_1,...,w_n [/mm] identisch sind. |
Hallo,
meine erste Frage ist eigentlich jetzt, wie sieht genau [mm] w_k [/mm] aus.
Ich hätte das aus der Aufgabenformulierung so interpretiert, dass
[mm] w_k=v_k+\lambda_j v_j [/mm] für ein [mm] \lambda_j \in [/mm] K und [mm] j\neq [/mm] k.
Kommilitonen haben das dann aber so interpretiert, dass
[mm] w_1=v_1+\lambda_jv_j, w_2=v_2+\mu_jw_1 [/mm] usw.
also [mm] w_k=v_k+\xi_jw_{k-1}. [/mm]
Was ist richtig?
Dass die linearen Hüllen gleich sind, würde ich dann per Induktion zeigen, das ist ziemlich einfach. Oder gibt es noch einen direkteren Weg?
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Deine Kommilitonen sind näher dran. Du sollst einfach die Operation
(*) "ein [mm]v_i[/mm] durch [mm]v_i + \lambda v_j[/mm] (mit einem [mm]j \neq i[/mm]) ersetzen"
mehrmals anwenden. Nimm den Fall [mm]n=3[/mm] in einem reellen Vektorraum. Dann haben wir die Startfolge
[mm]v_1,v_2,v_3[/mm]
Jetzt ersetzen wir etwa [mm]v_2[/mm] durch [mm]v'_2 = v_2 + 3 v_1[/mm] und bekommen
[mm]v_1,v'_2,v_3[/mm]
Jetzt wenden wir (*) erneut an, z.B. so, daß wir [mm]v_3[/mm] durch [mm]v'_3 = v_3 - 5 v_1[/mm] ersetzen. Dann haben wir
[mm]v_1,v'_2,v'_3[/mm]
Und noch einmal (*), z.B. so, daß [mm]v'_3[/mm] durch [mm]v''_3 = v'_3 + 7v'_2[/mm] ersetzt wird:
[mm]v_1,v'_2,v''_3[/mm]
Und weil wir gerade nichts Besseres zu tun haben, ersetzen wir [mm]v_1[/mm] durch [mm]v'_1 = v_1 - \frac{2}{3} v''_3[/mm]. Die neue Folge ist
[mm]v'_1,v'_2,v''_3[/mm]
Und jetzt reicht es. Oder auch nicht. Du darfst das auch noch 135 weitere Male machen. Nur halt endlich oft. Immer auf das, was man gerade erreicht hat, eine weitere Scherung anwenden. Und wenn du dann keine Lust mehr hast, hörst du auf und bekommst die endgültige Folge. Und die heißt dann
[mm]w_1,w_2,w_3[/mm]
Sie ist aus [mm]v_1,v_2,v_3[/mm] sukzessive ("nach und nach") durch Scherungen entstanden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 Do 22.11.2012 | | Autor: | Unk |
> Deine Kommilitonen sind näher dran. Du sollst einfach die
> Operation
>
> (*) "ein [mm]v_i[/mm] durch [mm]v_i + \lambda v_j[/mm] (mit einem [mm]j \neq i[/mm])
> ersetzen"
>
> mehrmals anwenden. Nimm den Fall [mm]n=3[/mm] in einem reellen
> Vektorraum. Dann haben wir die Startfolge
>
> [mm]v_1,v_2,v_3[/mm]
>
> Jetzt ersetzen wir etwa [mm]v_2[/mm] durch [mm]v'_2 = v_2 + 3 v_1[/mm] und
> bekommen
>
> [mm]v_1,v'_2,v_3[/mm]
>
> Jetzt wenden wir (*) erneut an, z.B. so, daß wir [mm]v_3[/mm] durch
> [mm]v'_3 = v_3 - 5 v_1[/mm] ersetzen. Dann haben wir
>
> [mm]v_1,v'_2,v'_3[/mm]
>
> Und noch einmal (*), z.B. so, daß [mm]v'_3[/mm] durch [mm]v''_3 = v'_3 + 7v'_2[/mm]
> ersetzt wird:
>
> [mm]v_1,v'_2,v''_3[/mm]
>
> Und weil wir gerade nichts Besseres zu tun haben, ersetzen
> wir [mm]v_1[/mm] durch [mm]v'_1 = v_1 - \frac{2}{3} v''_3[/mm]. Die neue
> Folge ist
>
> [mm]v'_1,v'_2,v''_3[/mm]
>
> Und jetzt reicht es. Oder auch nicht. Du darfst das auch
> noch 135 weitere Male machen. Nur halt endlich oft. Immer
> auf das, was man gerade erreicht hat, eine weitere Scherung
> anwenden. Und wenn du dann keine Lust mehr hast, hörst du
> auf und bekommst die endgültige Folge. Und die heißt
> dann
>
> [mm]w_1,w_2,w_3[/mm]
>
> Sie ist aus [mm]v_1,v_2,v_3[/mm] sukzessive ("nach und nach") durch
> Scherungen entstanden.
Ok. Dann ist aber eigentlich erstmal beides falsch. Bleibt die Frage, wie man dann die Gleichheit der linearen Hüllen beweist. Offensichtlich ist ja jedes [mm] w_k [/mm] dann eine Linearkombination von Elementen von [mm] v_i. [/mm] Die andere Inklusion macht mir Schwierigkeiten. Ist [mm] x=\sum_{i=0}^n \lambda_iv_i [/mm] wie bekomme ich dann die [mm] w_i [/mm] ins Spiel?
Mit Induktion nach der Anzahl der Vektoren geht das dann ja nicht.
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Du mußt das doch nur für eine einzige Scherung nachweisen. Wenn bei einer Scherung die lineare Hülle erhalten bleibt, dann auch bei zweien, dreien, vieren, ..., siebenhundertdreiundsechzig Scherungen (triviale Induktion).
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:26 So 25.11.2012 | | Autor: | Unk |
Ich muss noch einmal nachfragen.
Kann man den Satz "Angenommen die Folge $ [mm] w_1,...,w_n [/mm] $ ist aus $ [mm] v_1,...,v_n [/mm] $ durch eine Folge von Scherungen entstanden" nicht auch so interpretieren, dass jedes [mm] $w_i$ [/mm] gerade eben die Form [mm] $v_i+\lambda v_j$ [/mm] hat? Muss "eine Folge von Scherungen" wirklich bedeuten, dass man endlich viele Scherungen nacheinander ausgeführt hat, wobei diese endlich vielen von n verschieden sein können?
Ich finde man kann es auch so lesen, dass man sozusagen n Scherungen gleichzeitig auf [mm] $v_1,...,v_n$ [/mm] anwendet.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Di 27.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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