Scherung Lebesgue-Maß < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a)
Das Lebesgue-Maß ist invariant unter Scherungen: Seien [mm] 1\le i\not=j \le [/mm] n und [mm] E^{\alpha}_{i j}=I_n+\alpha*e_i*e^{T}_j [/mm] eine Elementarmatrix. Dann gilt für beliebige Lebesgue-messbaren Mengen A und
[mm] E^{\alpha}_{i j}*A:= [/mm] { [mm] E^{\alpha}_{i j}*x [/mm] : x [mm] \in [/mm] A }, dass [mm] \lambda_n(E^{\alpha}_{i j}*A)=\lambda_n(A) [/mm] |
Hallo,
wie oben geschrieben, soll ich zeigen, dass das Lebesgue-Maß invariant ist unter Scherungen.
In einem Hinweis, der uns gegeben wurde heißt es:
" Weisen Sie diese Eigenschaft zuerst für Quader nach, indem der gescherte Quader zerlegt und ein Teil verschoben wird. Dies kann auf den zweidimensionalen Fall reduziert werden. Danach geeignet auf allgemeine messbare Mengen schließen."
Also diese Elementarmatrix sieht meines erachtens nach folgendermaßen aus:
Auf der Diagonalen sind nur Einsen und der i,j-te Eintrag ist ein [mm] \alpha.
[/mm]
Wenn Q der Würfel ist, den wir Scheren wollen, so sieht der gescherte Würfel folgendermaßen aus:
{ [mm] (x_1,...,x_i+\alpha*x_j,..., x_n [/mm] : [mm] x=(x_1,...,x_n) \in [/mm] Q } dabei soll also in der i-ten komponente [mm] \alpha*x_j [/mm] hinzuaddiert werden.
Soweit sogut. Nur weis ich nicht, wie ich zeigen kann dass beide Teilmengen dasselbe Lebesgue Maß haben, d.h. [mm] \lambda_n(E^{\alpha}_{i j}*A)=\lambda_n(A).
[/mm]
Hat vielleicht jemand einen Tipp?
Ich komme leider nicht weiter bei dieser Aufgabe.
Warum kann dies auf den zweidimensionalen Fall reduziert werden?
Etwa weil nur die j-te Komponente auf die i-te addiert wird? Wie fasse ich das Mathematisch?
Vielen Dank im Vorraus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:50 Do 06.05.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> a)
> Das Lebesgue-Maß ist invariant unter Scherungen: Seien
> [mm]1\le i\not=j \le n[/mm] und [mm]E^{\alpha}_{i j}=I_n+\alpha*e_i*e^{T}_j[/mm]
> eine Elementarmatrix. Dann gilt für beliebige
> Lebesgue-messbaren Mengen A und
> [mm]E^{\alpha}_{i j}*A:= \{E^{\alpha}_{i j}*x : x \in A \}[/mm],
> dass [mm]\lambda_n(E^{\alpha}_{i j}*A)=\lambda_n(A)[/mm]
> Hallo,
>
>
> wie oben geschrieben, soll ich zeigen, dass das
> Lebesgue-Maß invariant ist unter Scherungen.
>
> In einem Hinweis, der uns gegeben wurde heißt es:
> " Weisen Sie diese Eigenschaft zuerst für Quader nach,
> indem der gescherte Quader zerlegt und ein Teil verschoben
> wird. Dies kann auf den zweidimensionalen Fall reduziert
> werden. Danach geeignet auf allgemeine messbare Mengen
> schließen."
>
> Also diese Elementarmatrix sieht meines erachtens nach
> folgendermaßen aus:
>
> Auf der Diagonalen sind nur Einsen und der i,j-te Eintrag
> ist ein [mm]\alpha.[/mm]
>
> Wenn Q der Würfel ist, den wir Scheren wollen, so sieht
> der gescherte Würfel folgendermaßen aus:
> [mm]\{(x_1,...,x_i+\alpha*x_j,..., x_n : x=(x_1,...,x_n) \in Q \} [/mm]
> dabei soll also in der i-ten komponente [mm]\alpha*x_j[/mm]
> hinzuaddiert werden.
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>
> Soweit sogut. Nur weis ich nicht, wie ich zeigen kann dass
> beide Teilmengen dasselbe Lebesgue Maß haben, d.h.
> [mm]\lambda_n(E^{\alpha}_{i j}*A)=\lambda_n(A).[/mm]
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> Hat vielleicht jemand einen Tipp?
> Ich komme leider nicht weiter bei dieser Aufgabe.
> Warum kann dies auf den zweidimensionalen Fall reduziert
> werden?
> Etwa weil nur die j-te Komponente auf die i-te addiert
> wird? Wie fasse ich das Mathematisch?
Fang mit dem zweidimensionalen Fall an, das ist der einfachste. Ein zweidimensionaler Quader ist ein Rechteck. Ein geschertes Rechteck ist ein Parallelogramm. Warum hat es den gleichen Flächeninhalt? Weil du an einer Seite ein Dreieck abschneiden und an die andere Seite anlegen kannst, und so das ursprüngliche Rechteck erhälst.
Nun verallgemeinere dies auf Quader in mehr als zwei Dimensionen!
Viele Grüße
Rainer
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