(Schiefe) Pyramide < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:16 Mi 02.02.2005 | | Autor: | ziska |
okay, ich schon wieder. saß die letzten tage an folgender aufgabe und bekomm nur wenige lösungen raus!
aufgabe: eine schiefe pyramide werde durch die vektoren a,b,c und d aufgespannt. Die grundfläche ABCD sei ein parallelogramm mit dem diagonalenschnittpunkt F. die Punkte [mm] M_a [/mm] und [mm] M_b [/mm] seien Mittelpunkte der Strecken OA und OB.
a) Ermittle Gleichungen der geraden [mm] g_1 (M_a, [/mm] C) und [mm] g_2 (M_b, [/mm] D) in parameterform.
meine lösung: derselbe vorgang wie oben:
[mm] g_1: \vec{x}= \vec{x_Ma} [/mm] + t* [ [mm] \vec{x_C} [/mm] - [mm] \vec{x_Ma}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2} \vec{a} [/mm] + t*[ [mm] \vec{c} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}\vec{a}]
[/mm]
[mm] g_2: \vec{x}= \vec{x_Mb} [/mm] + u* [ [mm] \vec{x_D} [/mm] - [mm] \vec{x_Mb}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2} \vec{b} [/mm] +u*[ [mm] \vec{a} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}\vec{b}]
[/mm]
stimmt das so oder hab ich schon wieder nen fehler eingebaut?
danach fangen bei mir die Probleme an:
b) Zeige, dass sich die Geraden [mm] g_1 [/mm] und [mm] g_2 [/mm] in einem Punkt S schneiden und dass dür den Vektor s zu [mm] \overrightarrow{OS} [/mm] gilt:
[mm] \vec{s}= \bruch{1}{3} [\vec{a} [/mm] + [mm] \vec{c}]
[/mm]
eigentlich is dat ja net so schwer, aber ich komm da net hinter. hab versucht, den vektor s anders zu erzeugen, aber dann hatte ich auch die vektoren b und d drin. außerdem hatte ich folgendes problem:
[mm] \vec{s}= \overrightarrow{OS}
[/mm]
= [mm] \overrightarrow{OM_a} [/mm] + [mm] \overrightarrow{M_aS}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{OM_a}= \bruch{1}{2} \vec{a}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{M_aS} [/mm] = u* [mm] \overrightarrow{M_aC}
[/mm]
= - [mm] \bruch{1}{2} \vec{a}+ \vec{c}
[/mm]
mich stört das "u" in der gleichung, da ich ja nicht weiß, in welchem verhältnis s die strecke teilt! wie lös ich das problem?
c)In welchen Verhältnissen teils S die Strecken M_aC und M_bD?
hier hab ich dreimal neu angefangen, komm bei dem auflösen des entstehenden gleichungssystems immer auf einen widerspruch. entweder hab ich dreimal keine geschlossene vektorkette gebildet oder die geraden schneiden sich nicht, wobei ersteres wahrscheinlicher ist.
ich schreib eine Möglichkeit mal auf:
[mm] \overrightarrow{OM_a}+ \overrightarrow{M_aS}+ \overrightarrow{SM_b}+ \overrightarrow{M_bO} [/mm] = [mm] \overrightarrow{0}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{OM_a}= \bruch{1}{2} \vec{a}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{M_aS} [/mm] = u* [mm] \overrightarrow{M_aC} [/mm] = u( - [mm] \bruch{1}{2} \vec{a}+ \vec{c})
[/mm]
[mm] \overrightarrow{SM_b}= r*\overrightarrow{DM_b} [/mm] = [mm] r(-\vec{d}+\bruch{1}{2}\vec{b})
[/mm]
[mm] \overrightarrow{M_bO}= [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}\vec{b})
[/mm]
alles oben eingesetzt und die lin.unabhängigen vektoren ausgeklammert, hab ich folgendes raus:
[mm] \vec{a}*( \bruch{1}{2}- \bruch{1}{2}u) [/mm] + [mm] \vec{b}*(bruch{1}{2}r- \bruch{1}{2})+ \vec{c}u [/mm] - [mm] \vec{d}r [/mm] = [mm] \overrightarrow{0}
[/mm]
In dem Gleichungssystem:
1. [mm] \bruch{1}{2}- \bruch{1}{2}u [/mm] =0 [mm] \gdw [/mm] u=1
2. bruch{1}{2}r- [mm] \bruch{1}{2} [/mm] =0 [mm] \gdw [/mm] r=1
3. u=0
4. r=0
ensteht ein widerspruch. findet ihr den fehler?
ich saß echt stundenlang an den aufgaben, finde die fehler aber net! hoffentlich könnt ihr mir nochmals helfen.
LG,
ziska
|
|
| |
|
Hallo ziska,
> okay, ich schon wieder. saß die letzten tage an folgender
> aufgabe und bekomm nur wenige lösungen raus!
>
> aufgabe: eine schiefe pyramide werde durch die vektoren
> a,b,c und d aufgespannt. Die grundfläche ABCD sei ein
> parallelogramm mit dem diagonalenschnittpunkt F. die Punkte
> [mm]M_a[/mm] und [mm]M_b[/mm] seien Mittelpunkte der Strecken OA und OB.
>
> a) Ermittle Gleichungen der geraden [mm]g_1 (M_a,[/mm] C) und [mm]g_2 (M_b,[/mm]
> D) in parameterform.
>
> meine lösung: derselbe vorgang wie oben:
> [mm]g_1: \vec{x}= \vec{x_Ma} + t* [ \vec{x_C} - \vec{x_Ma}][/mm]
> = [mm]\bruch{1}{2} \vec{a} + t*[ \vec{c} - \bruch{1}{2}\vec{a}] [/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]g_2: \vec{x}= \vec{x_{Mb}} + u* [ \vec{x_D} - \vec{x_{Mb}}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{2} \vec{b} +u*[ \vec{a} - \bruch{1}{2}\vec{b}] [/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
= [mm]\bruch{1}{2} \vec{b}+u*[ \vec{d} - \bruch{1}{2}\vec{b}] [/mm]
mit [mm] $\vec{d} [/mm] = [mm] \vec{a} [/mm] + [mm] \vec{c}-\vec{b}$
[/mm]
Der Ortsvektor zu D ist nicht [mm] $\vec{a}$ [/mm] !!!
Jetzt müsstest du allein weiterkommen, oder?
>
> stimmt das so oder hab ich schon wieder nen fehler
> eingebaut?
>
> danach fangen bei mir die Probleme an:
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:09 Mi 02.02.2005 | | Autor: | ziska |
ja, das stimmt. hab mich auch vertippt, hatte die ganzen formelgraphiken net nochmals durchgelesen. sorry, aber ich hatte das so!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:48 Mi 02.02.2005 | | Autor: | Paulus |
Liebe Franziska
>
> aufgabe: eine schiefe pyramide werde durch die vektoren
> a,b,c und d aufgespannt. Die grundfläche ABCD sei ein
> parallelogramm mit dem diagonalenschnittpunkt F. die Punkte
> [mm]M_a[/mm] und [mm]M_b[/mm] seien Mittelpunkte der Strecken OA und OB.
>
> a) Ermittle Gleichungen der geraden [mm]g_1 (M_a,[/mm] C) und [mm]g_2 (M_b,[/mm]
> D) in parameterform.
>
> meine lösung: derselbe vorgang wie oben:
> [mm]g_1: \vec{x}= \vec{x_Ma}[/mm] + t* [ [mm]\vec{x_C}[/mm] -
> [mm]\vec{x_Ma}
[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{2} \vec{a}[/mm] + t*[ [mm]\vec{c}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{2}\vec{a}]
[/mm]
>
> [mm]g_2: \vec{x}= \vec{x_Mb}[/mm] + u* [ [mm]\vec{x_D}[/mm] - [mm]\vec{x_Mb}
[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{2} \vec{b}[/mm] +u*[ [mm]\vec{a}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{2}\vec{b}]
[/mm]
>
> stimmt das so oder hab ich schon wieder nen fehler
> eingebaut?
>
ja, das hat ja bereits Informix beantwortet.
> b) Zeige, dass sich die Geraden [mm]g_1[/mm] und [mm]g_2[/mm] in einem Punkt
Hier würde ich einfach die Resultate der Aufgabe a) weiterverwenden.
Es gilt ja:
[mm] g_1:$\vec{x}=\bruch{1}{2}\vec{a}+t*(\vec{c}-\bruch{1}{2}\vec{a})$
[/mm]
[mm] g_2:$\vec{x}=\bruch{1}{2}\vec{b}+u*(\vec{d}-\bruch{1}{2}\vec{b})$
[/mm]
Wenn sich die zwei Geraden im Punkt S schneiden sollen, dann muss S über die erste Gerade und über die zweite Gerade erreichbar sien.
Es muss sich also ein $t_$ und ein $u_$ finden lassen, eo dass gilt:
[mm] $\vec{s}=\bruch{1}{2}\vec{a}+t*(\vec{c}-\bruch{1}{2}\vec{a})=\bruch{1}{2}\vec{a}-\bruch{t}{2}\vec{a}+t\vec{c}$
[/mm]
[mm] $\vec{s}=\bruch{1}{2}\vec{b}+t*(\vec{d}-\bruch{1}{2}\vec{b})=\bruch{1}{2}\vec{b}-\bruch{u}{2}\vec{b}+u\vec{d}$
[/mm]
Hier sollte man noch in die Waagschale werfen, dass ABCD ein Parallelogramm ist. Es gilt somit: [mm] $\vec{a}-\vec{d}=\vec{b}-\vec{c}$
[/mm]
Oder:
[mm] $\vec{d}=\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}$
[/mm]
Damit werden die zwei Gleichungen zu
[mm] $\vec{s}=\bruch{1}{2}\vec{a}-\bruch{t}{2}\vec{a}+t\vec{c}$
[/mm]
[mm] $\vec{s}=u\vec{a}+\bruch{1}{2}\vec{b}-\bruch{u}{2}\vec{b}-u\vec{b}+u\vec{c}$
[/mm]
Subtrahieren der Gleichungen liefert:
[mm] $\bruch{1}{2}\vec{a}-\bruch{t}{2}\vec{a}+t\vec{c}-u\vec{a}-\bruch{1}{2}\vec{b}+\bruch{u}{2}\vec{b}+u\vec{b}-u\vec{c}=\vec{0}$
[/mm]
Etwas umgeordnet:
[mm] $(\bruch{1}{2}-\bruch{t}{2}-u)\vec{a}+(\bruch{3u}{2}-\bruch{1}{2})\vec{b}+(t-u)\vec{c}=\vec{0}$
[/mm]
Weil die Vektoren [mm] $\vec{a}$, $\vec{b}$ [/mm] und [mm] $\vec{c}$ [/mm] linear unabhängig sind, können die einzelnen Komponenten Null gesetzt werden. Es entsteht also das Gleichungssystem:
[mm] $\bruch{1}{2}-\bruch{t}{2}-u=0$
[/mm]
[mm] $\bruch{3u}{2}-\bruch{1}{2}=0$
[/mm]
$t-u=0_$
Wenn sich disese System nach $u_$ und $t_$ auflösen lässt, dann schneiden sich die Geraden. 
>
> c)In welchen Verhältnissen teils S die Strecken M_aC und
> M_bD?
Das sollte mit dem Resultat aus b) sofort klar werden.
Mit lieben Grüssen
Paul
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:13 Mi 02.02.2005 | | Autor: | ziska |
setz mich gleich nochmal dran, haben heut in mathe die nr 15 (s. anderer diskussionsstrang!) besprochen. hab also jetzt die ansätze, wies funktioniert und müsste eigentlich auch damit zurechtkommen! weiß net, wat mit mir bei dieser aufgabe los war...
trotzdem danke!!!
und dat wg. teilaufgabe a): hatte mich vertippt! sorry.
bis dann mal,
LG;
ziska
|
|
|
|
