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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:33 Mi 29.01.2014 | | Autor: | Morph007 |
| Aufgabe | Ein Flugzeug fliegt mit der Geschwindigkeit [mm]v_1[/mm] in der Höhe h über eine Flugabwehrstellung. Mit welchem Vorhaltewinkel [mm]\alpha[/mm] und Mündungsgeschwindigkeit [mm]v_0[/mm] muss das Geschütz feuern um das Flugzeug zu treffen?
gegeben: [mm]h,v_1[/mm]
gesucht: [mm]v_0,\alpha[/mm] |
Überlegt habe ich mir, dass ein Treffer vorliegt, wenn der zurückgelegte Weg in waagerechter Richtung von Projektil und Flugzeug gleich sind und der zurückgelegte senkrechte Weg des Projektils gleich der Flughöhe h ist.
Mathematisch ausgedrückt:
[1] [mm] v_1 * t = v_0 * cos(\alpha) * t [/mm]
und
[2] [mm] h = v_0 * sin(\alpha) * t - \bruch{g}{2} * t^2 [/mm]
Wenn ich nun [1] nach [mm]v_0[/mm] umstelle, und in [2] einsetze erhalte ich:
[mm] h = tan(\alpha) * v_1 * t - \bruch{g}{2} + t^2 [/mm]
Wenn ich nun nach [mm]\alpha[/mm] auflöse erhalte ich
[mm] \alpha = arctan(\bruch{g*t^2 +2h}{2*v_1 * t}) [/mm]
Und entsprechend für [mm] v_0 = v_1 * \wurzel{[\bruch{g*t^2 +2h}{2*v_1 * t}]^2 +1} [/mm]
2 Fragen dazu:
1. Stimmen meine Ergebnisse ?
2. Wenn ja, dann habe ich aber ja ein Lösung in Abhängigkeit von [mm] g , v_1, h [/mm] und [mm]t[/mm].
Die Zeit t kenne ich aber ja nicht bzw. sie ist nicht gegeben. Kann man das dann so überhaupt berechnen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:49 Mi 29.01.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Ein Flugzeug fliegt mit der Geschwindigkeit [mm]v_1[/mm] in der
> Höhe h über eine Flugabwehrstellung. Mit welchem
> Vorhaltewinkel [mm]\alpha[/mm] und Mündungsgeschwindigkeit [mm]v_0[/mm] muss
> das Geschütz feuern um das Flugzeug zu treffen?
>
> gegeben: [mm]h,v_1[/mm]
> gesucht: [mm]v_0,\alpha[/mm]
> Überlegt habe ich mir, dass ein Treffer vorliegt, wenn
> der zurückgelegte Weg in waagerechter Richtung von
> Projektil und Flugzeug gleich sind und der zurückgelegte
> senkrechte Weg des Projektils gleich der Flughöhe h ist.
Das ist korrekt.
>
> Mathematisch ausgedrückt:
>
> [1] [mm]v_1 * t = v_0 * cos(\alpha) * t[/mm]
Das ist korrekt, ich gehe mal davon aus, dass das Flugzeu sich zum Zeitpunkt t=0 direkt über der Flugabwehrstellung steht, und in "Abschussrichtung" fliegt.
Bedenke aber, dass du die Zeit hier noch herauskürzen kannst.
>
> und
>
> [2] [mm]h = v_0 * sin(\alpha) * t - \bruch{g}{2} * t^2[/mm]
Auch das ist korrekt.
>
> Wenn ich nun [1] nach [mm]v_0[/mm] umstelle,
dann solltest du [mm] v_{0}=\frac{v_{1}}{\cos(\alpha)} [/mm] bekommen.
> und in [2] einsetze
> erhalte ich:
>
> [mm]h = tan(\alpha) * v_1 * t - \bruch{g}{2} + t^2[/mm]
Ich vermute, da ist nur ein Tippfehler, es heisst [mm] -\frac{g}{2}\red{\cdot}t^{2}
[/mm]
>
> Wenn ich nun nach [mm]\alpha[/mm] auflöse erhalte ich
>
> [mm]\alpha = arctan(\bruch{g*t^2 +2h}{2*v_1 * t})[/mm]
Hier stört mich der Faktor 2.
[mm] $h=\tan(\alpha)\cdot v_{1}\cdot t-\frac{1}{2}\cdot g\cdot t^{2}$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow h+\frac{1}{2}\cdot g\cdot t^{2}=\tan(\alpha)\cdot v_{1}\cdot [/mm] t$
[mm] $\Leftrightarrow\frac{h+\frac{1}{2}\cdot g\cdot t^{2}}{v_{1}\cdot t}=\tan(\alpha)$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow\alpha=\tan^{-1}\left(\frac{h+\frac{1}{2}\cdot g\cdot t^{2}}{v_{1}\cdot t}\right)$
[/mm]
Du hast noch mit zwei erweitert, alles ok.
>
> Und entsprechend für [mm]v_0 = v_1 * \wurzel{[\bruch{g*t^2 +2h}{2*v_1 * t}]^2 +1}[/mm]
Hier müsstest du mal deine Rechnung zeigen, du bekommst:
[mm] v_{0}=\frac{v_{1}}{\cos\left(\tan^{-1}\left(\frac{h+\frac{1}{2}\cdot g\cdot t^{2}}{v_{1}\cdot t}\right)}\right)
[/mm]
>
> 2 Fragen dazu:
>
> 1. Stimmen meine Ergebnisse ?
>
> 2. Wenn ja, dann habe ich aber ja ein Lösung in
> Abhängigkeit von [mm]g , v_1, h[/mm] und [mm]t[/mm].
Die Zeit bis zum Treffer ist für den Schützen doch irrelevant, wichtig ist, dass er trifft.
> Die Zeit t kenne ich aber ja nicht bzw. sie ist nicht
> gegeben. Kann man das dann so überhaupt berechnen?
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:55 Mi 29.01.2014 | | Autor: | Morph007 |
Auf die Gleichung für [mm] v_0 [/mm] bin ich gekommen, weil gilt, dass
[mm] cos(arctan(x)) = \bruch{1}{\wurzel{x^2 +1}} [/mm]
Oder kann ich das in dem Fall so nicht rechnen?
PS: Deine Gleichung wird dazu leider nicht korrekt angezeigt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:04 Mi 29.01.2014 | | Autor: | M.Rex |
> Auf die Gleichung für [mm]v_0[/mm] bin ich gekommen, weil gilt,
> dass
>
> [mm]cos(arctan(x)) = \bruch{1}{\wurzel{x^2 +1}}[/mm]
Stimmt, das hatte ich übersehen.
>
> Oder kann ich das in dem Fall so nicht rechnen?
> PS: Deine Gleichung wird dazu leider nicht korrekt
> angezeigt.
Das ändere ich sofort, sorry.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:06 Mi 29.01.2014 | | Autor: | Morph007 |
Alles klar, dann war meine Rechnung ja richtig.
Vielen Dank
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