Schiefsym. Matrix diag. < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:31 Fr 12.06.2009 | | Autor: | Lucy234 |
| Aufgabe | Ausgehend von den Tatsachen, dass eine schiefsymmetrische Matrix nur imaginäre Eigenwerte
hat und sich mit Hilfe einer unitären Matrix diagonalisieren lässt, zeigen Sie, dass es zu jeder
schiefsymmetrischen (n × n)-Matrix B eine Zahl r und eine invertierbare Matrix M gibt, so dass
[mm]M^{t}BM= \pmat{a&0&0&0\\0&a&0&0\\0&0&a&0\\0&0&0&0_{n-2r}} [/mm],
wobei [mm] a= \pmat {0&1\\-1&0}[/mm] ist. |
Hallo zusammen,
Die Matrix [mm] M^{t}BM [/mm] ist eigentlich nicht auf 4x4 beschränkt.Ich wusste nur nicht, wie ich die hier sonst eingeben kann. Man weiß also nicht, wie oft die Matrix a auf der Diagonalen vorkommt..
Ich habe auch leider keinen wirklichen Lösungsansatz. Die Matrix a erinnert ja irgendwie an die reelle Jordannormalform, ich weiß aber nicht ob mich das hier weiterbringt?! Hat vielleicht jemand einen Tipp für mich?
lg Lucy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:43 So 14.06.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Lucy
> Ausgehend von den Tatsachen, dass eine schiefsymmetrische
> Matrix nur imaginäre Eigenwerte
> hat und sich mit Hilfe einer unitären Matrix
> diagonalisieren lässt, zeigen Sie, dass es zu jeder
> schiefsymmetrischen (n × n)-Matrix B eine Zahl r und eine
> invertierbare Matrix M gibt, so dass
> [mm]M^{t}BM= \pmat{a&0&0&0\\0&a&0&0\\0&0&a&0\\0&0&0&0_{n-2r}} [/mm],
> wobei [mm]a= \pmat {0&1\\-1&0}[/mm] ist.
Soll die Matrix $B$ nur reelle Eintraege haben? Ansonsten ist die Aussage definitiv falsch.
(Und gibt es sonst noch Voraussetzungen, die fehlen?)
> Ich habe auch leider keinen wirklichen Lösungsansatz. Die
> Matrix a erinnert ja irgendwie an die reelle
> Jordannormalform, ich weiß aber nicht ob mich das hier
> weiterbringt?!
Nun, das bringt dich sehr wohl weiter. Betrachte doch mal die reelle JNF dieser Matrix. Da sie durch komplexwertige Matrizen diagonalisiert werden kann, muss die relle JNF in Blockdiagonalform sein.
Die $2 [mm] \times [/mm] 2$-Bloecke sind entweder 0 oder haben zwei rein imaginäre, komplex zueinander konjugierte Eigenwerte. Sei $T$ so ein Block; dann gibt es invertierbare Matrizen $S [mm] \in GL_2(\IC)$ [/mm] mit [mm] $S^{-1} [/mm] T S = [mm] \pmat{ i t & 0 \\ 0 & -i t }$ [/mm] wobei $t [mm] \in \IR$ [/mm] ist. Nimm an $t [mm] \neq [/mm] 0$ (ansonsten $T = 0$). Betrachte nun $A := [mm] \pmat{ \frac{1}{\sqrt{t}} & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{t}} } \in GL_2(\IR)$; [/mm] dann ist [mm] $A^{-1} S^{-1} [/mm] T S A = [mm] \pmat{ i & 0 \\ 0 & i }$ [/mm] und [mm] $A^{-1} S^{-1} [/mm] T S A = [mm] S^{-1} (A^{-1} [/mm] T A) S$. Damit hat [mm] $A^{-1} [/mm] T A$ die Eigenwerte $i$ und $-i$. Die reelle JNF von [mm] $A^{-1} [/mm] T A$ ist also [mm] $\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }$.
[/mm]
Wenn du also die reelle JNF von $B$ mit passenden, zusammengesetzten Matrizen $A$ konjugierst, bekommst du eine Matrix deren reelle JNF von der geforderten Form ist. Wenn du alle Basiswechselmatrizen zusammenfasst, bekommst du das in der Aufgabenstellung geforderte.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:00 So 14.06.2009 | | Autor: | Lucy234 |
Hallo Felix,
danke schon mal für deine Hilfe!
Ich habe das jetzt für eine konkrete Matrix mal ausgerechnet, aber zum Schluss erfüllt nur [mm]M^{-1}BM [/mm] die Behauptung. Bei [mm] M^{t}BM [/mm] kommt etwas anderes heraus..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:39 Di 16.06.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Lucy,
> danke schon mal für deine Hilfe!
> Ich habe das jetzt für eine konkrete Matrix mal
> ausgerechnet, aber zum Schluss erfüllt nur [mm]M^{-1}BM[/mm] die
> Behauptung. Bei [mm]M^{t}BM[/mm] kommt etwas anderes heraus..
da hast du Recht. Und auch mit [mm] $M^{-1} [/mm] B M$ klappt es nur wenn die Eigenwerte $i$ und $-i$ sind, aber nicht Vielfache davon.
Also, nochmal von vorne 
Die Idee ist eine orthonormale Basis von $V$ zu konstruieren, bezueglich dieser $M$ fast die geforderte Form hat. (Naemlich das man $t a$ als Diagonalbloecke hat mit $t > 0$, und nicht umbedingt mit $t = 1$.) Die erwuenschte Form erzielt man dann, indem man noch eine passende Blockdiagonalmatrix mit Bloecken der Form [mm] $\pmat{ \frac{1}{\sqrt{t}} & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{t}} }$ [/mm] von beiden Seiten dranpackt.
Aber zuerst zur Konstruktion der Orthonormalbasis.
Erstmal zeige folgendes: Ist $V$ ein $M$-invarianter Unterraum und $W = [mm] V^\bot$ [/mm] das orthogonale Komplement von $V$, so ist ebenfalls $W$ $M$-invariant.
Dies bedeutet: wenn du eine Basis des Vektorraums waehlst, so dass die ersten Vektoren eine ON-Basis von $V$ und die letzten Vektoren eine ON-Basis von $W$ bilden, dann ist die Matrix bzgl dieser Basis von der Form [mm] $\pmat{ A & 0 \\ 0 & B }$, [/mm] wobei $A$ und $B$ wieder schiefsymmetrisch sind. (Das solltest du dir auch genau ueberlegen bzw. zeigen.)
Jetzt geht's also darum die Aufgabenstellung fuer moeglichst kleine solche Unterraeume $V$ zu erledigen; wenn man das per Induktion nach $n$ macht, so kann man die Induktionsvoraussetzung auf die Matrix bzgl. $W = [mm] V^\bot$ [/mm] anwenden.
Ist $M$ nicht invertierbar, so sei $V$ der Kern von $M$. Dieser ist offenbar $M$-invariant und liefert den [mm] $0_{n - 2 r}$-Block [/mm] von der Zielmatrix. Die Matrix auf $W$ eingeschraenkt ist invertierbar.
Ist $M$ invertierbar, so gibt es einen Eigenwert [mm] $\lambda [/mm] = i t [mm] \in \IC$ [/mm] mit $t [mm] \in \IR$, [/mm] $t > 0$ (ansonsten ersetze [mm] $\lambda$ [/mm] durch [mm] $\overline{\lambda}$) [/mm] und dazu einen Eigenvektor $v [mm] \in \IC^n$. [/mm] Dann ist [mm] $\overline{v}$ [/mm] ein Eigenvektor zum Eigenwert [mm] $\overline{\lambda} [/mm] = -i t = [mm] -\lambda$.
[/mm]
Betrachte nun [mm] $w_1 [/mm] := v + [mm] \overline{v} [/mm] = 2 [mm] \Re [/mm] v$ und [mm] $w_2 [/mm] := -i (v - [mm] \overline{v}) [/mm] = 2 [mm] \Im [/mm] v$. Stell jetzt $M [mm] w_1$ [/mm] und $M [mm] w_2$ [/mm] durch [mm] $w_1$ [/mm] und [mm] $w_2$ [/mm] dar. Folgere, dass $V := [mm] span\{ w_1, w_2 \}$ [/mm] ein $M$-invarianter Unterraum ist und bestimmte die Matrix von $M$ eingeschraenkt auf $V$ bzgl. dieser Basis. Zeige schliesslich, dass [mm] $w_1$ [/mm] und [mm] $w_2$ [/mm] orthogonal zueinander sind. (Benutze dazu, dass $v$ und [mm] $\overline{v}$ [/mm] bzgl. dem komplexen Skalarprodukt orthogonal zueinander sind, da $M$ unitaer diagonalisierbar ist.)
Damit kannst du den Induktionsschritt auf $W = [mm] V^\bot$ [/mm] anwenden mit [mm] $\dim [/mm] W = n - 2$.
LG Felix
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