Schiefsymmetrische Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:20 Mi 22.06.2011 | | Autor: | pyw |
| Aufgabe | Sei [mm] A\in\IR^{n\times n} [/mm] schiefsymmetrisch und ferner [mm] C:=I_n+A, D:=I_n-A
[/mm]
Man zeige, dass die Matrix [mm] CD^{-1} [/mm] existiert und orthogonal ist. |
Hallo,
Da A schiefsymmetrisch ist, hat A keine Eigenwerte [mm] \neq0 [/mm] (das wurde vorangehend gezeigt). Daher haben die Matrizen C und D vollen Rang und sind damit invertierbar.
Nun ist für den Nachweis der Orthonalität zu zeigen: [mm] CD^{-1}*[CD^{-1}]^T=I_n.
[/mm]
Ich habe so gerechnet:
[mm] CD^{-1}*[CD^{-1}]^T=CD^{-1}\left[D^{-1}\right]^TC^T=CD^{-1}\left[D^{T}\right]^{-1}C^T
[/mm]
Unter Verwendung von [mm] C=D^T, C^T=D [/mm] (folgt aus A schiefsymmetrisch) folgt:
[mm] ...=CD^{-1}C^{-1}D
[/mm]
Wie bekomme ich das nun weiter aufgelöst?
Danke für Hilfe.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:34 Mi 22.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei [mm]A\in\IR^{n\times n}[/mm] schiefsymmetrisch und ferner
> [mm]C:=I_n+A, D:=I_n-A[/mm]
>
> Man zeige, dass die Matrix [mm]CD^{-1}[/mm] existiert und orthogonal
> ist.
> Hallo,
>
> Da A schiefsymmetrisch ist, hat A keine Eigenwerte [mm]\neq0[/mm]
> (das wurde vorangehend gezeigt).
Das stimmt nicht: sie haben keine reellen Eigenwerte [mm] $\neq [/mm] 0$. Genauer: alle Eigenwerte sind rein imaginaer.
> Daher haben die Matrizen C
> und D vollen Rang und sind damit invertierbar.
Dazu brauchst du, dass 1 und -1 keine Eigenwerte von $A$ sind. Allgemein hat die Summe einer Matrix von nicht vollem Rank und der Identitaetsmatrix nicht umbedingt vollen Rang, wie man von der Summe von [mm] $I_2$ [/mm] und [mm] $\pmat{0 & 0 & 0 & -1}$ [/mm] sieht.
> Nun ist für den Nachweis der Orthonalität zu zeigen:
> [mm]CD^{-1}*[CD^{-1}]^T=I_n.[/mm]
>
> Ich habe so gerechnet:
>
> [mm]CD^{-1}*[CD^{-1}]^T=CD^{-1}\left[D^{-1}\right]^TC^T=CD^{-1}\left[D^{T}\right]^{-1}C^T[/mm]
>
> Unter Verwendung von [mm]C=D^T, C^T=D[/mm] (folgt aus A
> schiefsymmetrisch) folgt:
>
> [mm]...=CD^{-1}C^{-1}D[/mm]
>
> Wie bekomme ich das nun weiter aufgelöst?
Nun, es gilt $C D = D C$, und damit auch [mm] $C^{-1} D^{-1} [/mm] = [mm] D^{-1} C^{-1}$. [/mm] Damit loest sich das schnell in Wohlgefallen auf.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:42 Mi 22.06.2011 | | Autor: | pyw |
Hallo,
> Das stimmt nicht: sie haben keine reellen Eigenwerte [mm]\neq 0[/mm].
> Genauer: alle Eigenwerte sind rein imaginaer.
stimmt, ich habe auch nur gezeigt, dass es keine weiteren reellen Eigenwerte außer 0 geben kann.
> Damit loest sich das schnell in Wohlgefallen auf.
Danke!
Gruß,
pyw
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