Schiefsymmetrische Matrix,Dim. < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:04 Fr 24.02.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Bestimme die Dimension der schiefsymmetrischen (3 [mm] \times [/mm] 3)-Matrizen
[mm] S=\{A \in M_{3 \times 3} (\IR)| A^t \} [/mm] = -A |
Mein Lösungsweg ist anscheinend falsch, jedoch ist meine Frage warum?Ich hab die allgemeine Schreibweise von schiefsymmetrische Matrizen aus Wiki genommen, warum ist die in der Musterlösung anders definiert?
Jede schiefsymmetrische Matrix lässt sich in der Form [mm] \pmat{ 0 & -a_3&a_2 \\ a_3 & 0 &-a_1\\-a_2&a_1&0 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 0 & -a_3&a_2 \\ a_3 & 0 &-a_1\\-a_2&a_1&0 } ----Spaltenumformungen-->\pmat{ -a_3 & 0&0 \\ 0 & -a_1 &0\\a_1&a_1*a_2/a_3&0 }
[/mm]
was rang 2 bedeutet also dim(S)=2
Lösngsweg laut Musterlösung:
Jede schiefsymmetrische Matrix lässt sich in der [mm] Form:\pmat{ 0 & a&b \\ -a& 0 &c\\-b&-c&0 } [/mm] = a* [mm] \pmat{ 0 & 1&0 \\ -1 & 0 &0\\0&0&0 } [/mm] + b [mm] *\pmat{ 0 & 0&1 \\ 0& 0 &0\\-1&0&0 } [/mm] + c* [mm] \pmat{ 0 & 0&0 \\ 0 & 0 &1\\0&-1&0 } [/mm]
schreiben, für eindeutig bestimmte a,b,c [mm] \in \IR. [/mm] Die Matrizen
[mm] \pmat{ 0 & 1&0 \\ -1 & 0 &0\\0&0&0 },\pmat{ 0 & 0&1 \\ 0& 0 &0\\-1&0&0 } ,\pmat{ 0 & 0&0 \\ 0 & 0 &1\\0&-1&0 } [/mm] bilden daher eine Basis von V, es gilt somit dim(V)=3
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Hallo sissile,
> Bestimme die Dimension der schiefsymmetrischen (3 [mm]\times[/mm]
> 3)-Matrizen
> [mm]S=\{A \in M_{3 \times 3} (\IR)| A^t \}[/mm] = -A
>
>
> Mein Lösungsweg ist anscheinend falsch, jedoch ist meine
> Frage warum?Ich hab die allgemeine Schreibweise von
> schiefsymmetrische Matrizen aus Wiki genommen, warum ist
> die in der Musterlösung anders definiert?
>
> Jede schiefsymmetrische Matrix lässt sich in der Form
> [mm]\pmat{ 0 & -a_3&a_2 \\ a_3 & 0 &-a_1\\-a_2&a_1&0 }[/mm]
Das entspricht genau der Musterlösung, dort wurde diese Matrix lediglich als Linearkombination der drei Basiselemente dargestellt.
>
> [mm]\pmat{ 0 & -a_3&a_2 \\ a_3 & 0 &-a_1\\-a_2&a_1&0 } ----Spaltenumformungen-->\pmat{ -a_3 & 0&0 \\ 0 & -a_1 &0\\a_1&a_1*a_2/a_3&0 }[/mm]
Spaltenumformungen sind hier fehl am Platz! Dadurch bleibt die Matrix doch nicht einmal schiefsymmetrisch. Hier geht es darum eine Basis der schiefsymmetrischen Matrizen zu finden: die schiefsymmetrischen Matrizen bilden einen Untervektorraum der [mm] 3\times3 [/mm] Matrizen mit Einträge aus [mm] \IR.
[/mm]
>
> was rang 2 bedeutet also dim(S)=2
>
> Lösngsweg laut Musterlösung:
> Jede schiefsymmetrische Matrix lässt sich in der
> [mm]Form:\pmat{ 0 & a&b \\ -a& 0 &c\\-b&-c&0 }[/mm] = a* [mm]\pmat{ 0 & 1&0 \\ -1 & 0 &0\\0&0&0 }[/mm]
> + b [mm]*\pmat{ 0 & 0&1 \\ 0& 0 &0\\-1&0&0 }[/mm] + c* [mm]\pmat{ 0 & 0&0 \\ 0 & 0 &1\\0&-1&0 }[/mm]
> schreiben, für eindeutig bestimmte a,b,c [mm]\in \IR.[/mm] Die
> Matrizen
> [mm]\pmat{ 0 & 1&0 \\ -1 & 0 &0\\0&0&0 },\pmat{ 0 & 0&1 \\ 0& 0 &0\\-1&0&0 } ,\pmat{ 0 & 0&0 \\ 0 & 0 &1\\0&-1&0 }[/mm]
> bilden daher eine Basis von V, es gilt somit dim(V)=3
>
>
LG
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> Bestimme die Dimension der schiefsymmetrischen (3 [mm]\times[/mm]
> 3)-Matrizen
> [mm]S=\{A \in M_{3 \times 3} (\IR)| A^t=-A \}[/mm]
>
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> Mein Lösungsweg ist anscheinend falsch, jedoch ist meine
> Frage warum?Ich hab die allgemeine Schreibweise von
> schiefsymmetrische Matrizen aus Wiki genommen, warum ist
> die in der Musterlösung anders definiert?
Hallo,
Deine allgemeine schiefsymmetrische Matrix ist schon i.O.
Ob man [mm] \pmat{ 0 & a&b \\ -a& 0 &c\\-b&-c&0 }$ [/mm] nimmt oder wie Du [mm] $\pmat{ 0 & -a&b \\ a& 0 &-c\\-b&c&0 }$ [/mm] ist völlig schnuppe, auch wenn Deine eher ungewöhnlich ist - und einem Mißverständnis entspringt.
>
> Jede schiefsymmetrische Matrix lässt sich in der Form
> [mm]\pmat{ 0 & -a_3&a_2 \\
a_3 & 0 &-a_1\\
-a_2&a_1&0 }[/mm]
Wie gesagt, es stimmt (zufällig), daß man jede schiefsymmetrische Matrix so schreiben kann, aber in der wikipedia ist der Zusammenhang, in welchem diese Matrix auftaucht, ein völlig anderer als der, daß auf diese Weise jede schiefsymmetrische Matrix geschrieben werden kann.
Das aber nur am Rande, denn es spielt für die Aufgabe keine Rolle.
Was läuft schief?
Du hast einen Vektorraum S gegeben, der aus gewissen Matrizen besteht, und sollst seine Dimension sagen, also die Anzahl der Matrizen, welche eine Basis dieses Raumes bilden.
Deine Chefs zeigen , aus welchen Matrizen S erzeugt wird. Da die lineare Unabhängigkeit der Matrizen bzw. die Minimalität des Erzeugendensystems so offensichtlich sind, erwähnen sie sie nicht weiter, sondern sagen bloß, daß die drei eine Basis bilden. Damit kennt man die Dimension von S.
Du hingegen machst etwas völlig(!) anderes: Du versuchst, zu bestimmen, welche Dimension das Bild einer allgemeinen schiefsymmetrischen Matrix hat, also den Rang der Matrix zu bestimmen. (Übrigens müßtest Du hierbei noch verschiedene Fälle für die [mm] a_1, a_2, a_3 [/mm] unterscheiden, was Dir spätestens beim Dividieren durch [mm] a_3 [/mm] hätte auffallen sollen...)
LG Angela
>
> [mm]\pmat{ 0 & -a_3&a_2 \\
a_3 & 0 &-a_1\\
-a_2&a_1&0 } ----Spaltenumformungen-->\pmat{ -a_3 & 0&0 \\
0 & -a_1 &0\\
a_1&a_1*a_2/a_3&0 }[/mm]
>
> was rang 2 bedeutet also dim(S)=2
>
> Lösngsweg laut Musterlösung:
> Jede schiefsymmetrische Matrix lässt sich in der
> [mm]Form:\pmat{ 0 & a&b \\
-a& 0 &c\\
-b&-c&0 }[/mm] = a* [mm]\pmat{ 0 & 1&0 \\
-1 & 0 &0\\
0&0&0 }[/mm]
> + b [mm]*\pmat{ 0 & 0&1 \\
0& 0 &0\\
-1&0&0 }[/mm] + c* [mm]\pmat{ 0 & 0&0 \\
0 & 0 &1\\
0&-1&0 }[/mm]
> schreiben, für eindeutig bestimmte a,b,c [mm]\in \IR.[/mm] Die
> Matrizen
> [mm]\pmat{ 0 & 1&0 \\
-1 & 0 &0\\
0&0&0 },\pmat{ 0 & 0&1 \\
0& 0 &0\\
-1&0&0 } ,\pmat{ 0 & 0&0 \\
0 & 0 &1\\
0&-1&0 }[/mm]
> bilden daher eine Basis von V, es gilt somit dim(V)=3
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:11 Sa 25.02.2012 | | Autor: | sissile |
okay , ich habs eingesehen, dass ich total Mist produziert habe^^
Liebe Grüße
Danke
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