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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:23 Sa 07.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | | Lösen Sie die Ungleichung [mm] (x-3)^2\le 16x^2. [/mm] |
Die Ungleichung ist nicht wirklich das Problem. Allerdings quält mich eine Frage in deren Zusammenhang. Wenn ich versuche obige Ungleichung zu lösen und mich dabei der Wurzel bediene, liefert mir das durch "Auflösung" der Betragsstriche 4 mögliche Ungleichungen.
Im einen Fall ist [mm] x-3-4x\le [/mm] 0 und ergibt die Lösung [mm] x\ge [/mm] -1, was falsch ist.
Im andere Fall gilt [mm] -x+3+4x\le [/mm] 0 und ergibt die richtige Lösung [mm] x\le [/mm] -1.
Warum krieg ich hier einmal die richtigen und das andere Mal die falschen Lösungen raus? Besten Dank für die Antwort.
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> Lösen Sie die Ungleichung [mm](x-3)^2\le 16x^2.[/mm]
> Die
> Ungleichung ist nicht wirklich das Problem. Allerdings
> quält mich eine Frage in deren Zusammenhang. Wenn ich
> versuche obige Ungleichung zu lösen und mich dabei der
> Wurzel bediene, liefert mir das durch "Auflösung" der
> Betragsstriche 4 mögliche Ungleichungen.
> Im einen Fall ist [mm]x-3-4x\le[/mm] 0 und ergibt die Lösung [mm]x\ge[/mm]
> -1, was falsch ist.
> Im andere Fall gilt [mm]-x+3+4x\le[/mm] 0 und ergibt die richtige
> Lösung [mm]x\le[/mm] -1.
> Warum krieg ich hier einmal die richtigen und das andere
> Mal die falschen Lösungen raus? Besten Dank für die
> Antwort.
ich habs für mich mal mit der quadratischen ergänzung gerechnet, wo man am ende auf [mm] \frac{16}{25}\le (x+\frac{1}{5})^2 [/mm] kommt, bei der auflösung dieses betrages fallen dann eigentlich nur 2 fälle an, könnte somit eigentlich schneller gehen 
aber falsche fälle fliegen eigentlich sofort raus wenn man die fall"vorraussetzung" richtig hinschreibt.
wenn ich in nem fall [mm] x\ge [/mm] 5 vorgebe, um den betrag auflösen zu können, als lösung aber x < 2 bekomme, ist das offensichtlich ein widerspruch, und der fall fliegt raus, da die lösungsmenge [mm] \IL=\emptyset
[/mm]
notfalls bleibt dir nichts anderes übrig als die fälle abzutippen und hier nochmal zu posten.
mfg tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 Sa 07.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Nun danke, aber wie gesagt ist die Lösung der Ungleichung nicht das Problem, obn durch Interpretation als Funktion, ducrh quadratische Ergänzung oder sonst dergleichen.
Ich würde aber trotzdem gerne wissen, wie es möglich ist, dass ich bei der Lösung mittels Radizieren und Auflösung der Betragstriche sowohl die richtige als auch falsche Lösung bekomme. Zu deinem Vorschlag über die Voraussetzungen falsche Fälle auszuschließen, kann ich nur sagen, dass es außer [mm] x\in \IR [/mm] keine Voraussetzungen gibt. Also hat jemand ne Idee warum das ganze so ist wie es ist? Oder ist es einfach so, dass ich nach Erhalt der Lösungen noch überprüfen muss welche die "wirklichen" Lösungen sind?
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Hallo,
quadrieren und wurzelziehen sind keine Äquivalenzumformungen, sodass sich dort Scheinlösungen ergeben können.
Gruß Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:29 Sa 07.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Hey Patrick,
sorry hab ers jetz geshen, dass du was geschrieben hast. Du hast Recht: Quadrieren und Radizieren sind im Allgemeinen keine Äquivalenzumformungen. Allerdings ziehe ich hier die Wurzel aus positiven oder zumindest nichtnegativen Termen, was es in diesem Fall sehr wohl zu einer Äquivalenzumformung macht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:56 Sa 07.11.2009 | | Autor: | glie |
> Lösen Sie die Ungleichung [mm](x-3)^2\le 16x^2.[/mm]
> Die
> Ungleichung ist nicht wirklich das Problem. Allerdings
> quält mich eine Frage in deren Zusammenhang. Wenn ich
> versuche obige Ungleichung zu lösen und mich dabei der
> Wurzel bediene, liefert mir das durch "Auflösung" der
> Betragsstriche 4 mögliche Ungleichungen.
> Im einen Fall ist [mm]x-3-4x\le[/mm] 0 und ergibt die Lösung [mm]x\ge[/mm]
> -1, was falsch ist.
> Im andere Fall gilt [mm]-x+3+4x\le[/mm] 0 und ergibt die richtige
> Lösung [mm]x\le[/mm] -1.
> Warum krieg ich hier einmal die richtigen und das andere
> Mal die falschen Lösungen raus? Besten Dank für die
> Antwort.
Das kannst du auch ganz einfach haben:
[mm] $(x-3)^2\le 16x^2$
[/mm]
[mm] $x^2-6x+9\le 16x^2$
[/mm]
[mm] $15x^2+6x\ge [/mm] 9$
[mm] $x^2+\bruch{2}{5}x\ge \bruch{9}{15}$
[/mm]
[mm] $x^2+\bruch{2}{5}x+\bruch{1}{25}\ge \bruch{9}{15}+\bruch{1}{25}$
[/mm]
[mm] $(x+\bruch{1}{5})^2\ge \bruch{16}{25}$
[/mm]
Jetzt die Wurzel auf beiden Seiten:
[mm] $|x+\bruch{1}{5}|\ge \bruch{4}{5}$
[/mm]
Wenn du dir klar machst, was [mm] $|x+\bruch{1}{5}| [/mm] eigentlich ist, nämlich der Abstand der Zahl x von [mm] $-\bruch{1}{5}$, [/mm] dann kannst dir jegliche Fallunterscheidung sparen!!
Du suchst einfach nur alle Zahlen x, die von der Zahl [mm] $-\bruch{1}{5}$ [/mm] mindestens [mm] $\bruch{4}{5}$ [/mm] entfernt sind!
(Zahlenstrahl aufmalen, Zahl [mm] $-\bruch{1}{5}$ [/mm] markieren, Kreis mit Radius [mm] $\bruch{4}{5}$ [/mm] drum herum und fertig)
Also:
[mm] $\IL=]-\infty;-1] \cup [\bruch{3}{5};\infty[$
[/mm]
Gruß Glie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:12 Sa 07.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Man Leute, das ist doch alles echt klasse und ich bin euch sehr dankbar, dass ihr euch so reinhängt, um mir zu helfen. Aber das ist doch im Prinzip auch nur eine weitere Lösung der Ungleichung, wenn auch durchaus eleganter als die bisherigen. Nur ich sags nochmal ich weiß wie man die Ungleichung löst ob nun auf die eine oder andere Art ist mir relativ egal. Ich wollte allerdings meinem Nachhilfeschüler eine plausible Erkläung dafür geben, warum er bei seiner Lösung mittels Radizieren [mm] (\wurzel{-}=|-|) [/mm] und anschließender Auflösung der Betragstriche -was ja zu den 4 möglichen Ungleichungen führt- nicht nur auf die richtige Lösung kommt, sondern auch auf die falsche. Daher auch meine Frage! Da mir dazu auch nicht wirklich was einfiel bis auf alle erhaltenen Lösungen nochmals auf Richtigkeit zu prüfen, wollt ich hier mal nach Hilfe suchen. Könnt mir das jemand erklären? Nochmals vielen Dank.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:55 Sa 07.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Hier tritt ja genau das gleiche Problem auf, also wenn man sich das ganze nicht geometrisch über den Abstand erarbeitet.
Denn geht man rein analytisch vor, muss es doch heißen:
[mm] |x+\bruch{1}{5}|\ge |\bruch{4}{5}|
[/mm]
Das führt wiederum zu 4 möglichen Ungleichungen:
1) [mm] x+\bruch{1}{5}\ge \bruch{4}{5}
[/mm]
2) [mm] -x-\bruch{1}{5}\ge -\bruch{4}{5}
[/mm]
3) [mm] x+\bruch{1}{5}\ge -\bruch{4}{5}
[/mm]
4) [mm] -x-\bruch{1}{5}\ge \bruch{4}{5}
[/mm]
Oder stimmt das etwa nicht? Besten Dank für die Antwort.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:02 Sa 07.11.2009 | | Autor: | abakus |
> Hier tritt ja genau das gleiche Problem auf, also wenn man
> sich das ganze nicht geometrisch über den Abstand
> erarbeitet.
> Denn geht man rein analytisch vor, muss es doch heißen:
> [mm]|x+\bruch{1}{5}|\ge |\bruch{4}{5}|[/mm]
>
> Das führt wiederum zu 4 möglichen Ungleichungen:
> 1) [mm]x+\bruch{1}{5}\ge \bruch{4}{5}[/mm]
> 2) [mm]-x-\bruch{1}{5}\ge -\bruch{4}{5}[/mm]
>
> 3) [mm]x+\bruch{1}{5}\ge -\bruch{4}{5}[/mm]
> 4) [mm]-x-\bruch{1}{5}\ge \bruch{4}{5}[/mm]
>
> Oder stimmt das etwa nicht? Besten Dank für die Antwort.
Hallo,
das Beseitigen der Betragszeichen kann man auffassen als Multiplikation des Terms im Betrag mit 1 (wenn positiv, können die Striche einfach weggelassen werden) oder als Multiplikation mit -1 (Striche weglassen und entgegengesetzten Term aufschreiben).
Du hast bisher in jedem der 4 Fälle das Relationszeichen brav beibehalten. Denke mal darüber nach, ob du das immer darst.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:06 Sa 07.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Au man vielen Dank. Die ganze Fragerei wegen so nem kleinen Denkfehler. Manchmal ist die Antwort einfach so nah, dass man sie nicht mehr sieht. Nochmals danke!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:11 Sa 07.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Sorry ich hätte da jetzt doch noch ne Frage. Im zweiten Fall löse ich ja beide Beragstriche auf also multipliziere ich nach deiner "Definition" auch zweimal mit -1 also siehts dann trotzdem so aus oder nich?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:24 Sa 07.11.2009 | | Autor: | leduart |
siehe meine Bemerkung zum Betrag einer reelln Zahl
gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:22 Sa 07.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
das sind nicht 4 Fälle, denn |4/5|=4/5 und nie -4/5
2. du sagst bei der Nicht Äqivalenzumformung weil beide Siten pos sind kannst du das immer machen.
1=1 folgt nach dir [mm] \wurzel{1}=\wurzel{1}
[/mm]
wenn du jetzt nicht streng [mm] \wurzel{1}>0 [/mm] forderst, sondern wie üblich [mm] \wurzel{1}=\pm [/mm] 1 nimmst kannst du auch -1=1 rauskriegen
Für deinen Schüler:
wenn es irgend geht, die 2 Seiten graphisch darstellen, dann sind direkt die Gebiete klar, wo eine fkt kleiner als die andere ist.
Dann nimm die Darstellung der 2 gewurzelten Seiten dazu, und du siehst, was falsch ist. dass also die Geraden sich ja nur in einem Pkt schneiden, die Parabeln aber in 2.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 Sa 07.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Ja aber es ist doch [mm] \wurzel{\bruch{4}{5}}=|\bruch{4}{5}|. [/mm] Dann widersprichst du dir aber selber, wenn du sagst, dass [mm] |\bruch{4}{5}| [/mm] stets [mm] \bruch{4}{5} [/mm] und nie [mm] -\bruch{4}{5} [/mm] ist, aber wie üblich [mm] \wurzel{1}=\pm [/mm] 1.
Was stimmt denn nun? Dank dir für die Antwort.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:37 Sa 07.11.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kegel!
> Ja aber es ist doch [mm]\wurzel{\bruch{4}{5}}=|\bruch{4}{5}|.[/mm]
Das ist ja nun schon mal falsch.
> ist, aber wie üblich [mm]\wurzel{1}=\pm[/mm] 1.
Und auch das ist falsch. Schließlich ist die Wurzel einer Zahl als diejenige nicht-negative Zahl definiert, deren Quadrat die Ausgangszahl ergibt.
Es gilt also eindeutig: [mm] $\wurzel{1} [/mm] \ = \ [mm] \red{+} [/mm] \ 1$ .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:42 Sa 07.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Irgendwie verwirrt mich das immer. Die Wurzel ist zwar als nichtnegative Zahl definiert also wie du ja gesagt hast [mm] \wurzel{1}=1 [/mm] und zwar eindeutig, allerdings muss ich in einer Gleichung auch darauf achten, dass [mm] \wurzel{1} [/mm] mitunter auch -1 sein kann. Wie passt das zusammen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:45 Sa 07.11.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo kegel!
> allerdings muss ich in einer Gleichung auch darauf achten, dass
> [mm]\wurzel{1}[/mm] mitunter auch -1 sein kann.
Darauf musst Du niemals achten, da es aus den o.g. Gründen falsch ist.
Du scheinst es lediglich mit den Lösungen der Gleichung [mm] $x^2 [/mm] \ = \ 1$ zu verwechseln.
Dort entsteht (wie hier bereits geschrieben wurde):
$$|x| \ = \ [mm] \wurzel{1} [/mm] \ = \ 1$$
Daraus ergeben sich dann die beiden Lösungen [mm] $x_{1/2} [/mm] \ = \ [mm] \pm [/mm] \ 1$ .
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:49 Sa 07.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Damit hast du ein lange andauerndes Verrwirrspiel soeben beendet. Ich danke vielmals. Gruß kegel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:23 Sa 07.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo Loddar
Ich bin nicht ganz einverstanden.
wenn man die Funktion [mm] f(x)=\wurzel{x} [/mm] meint, sind nur die positiven Werte gemeint.
Aber Wurzel ist ausserdem die Umkehrabbildung von Quadrat, und dann gilt eben die Nichteindeutigkeit [mm] \wurzel{-1}^2=\wurzel{1}=-1
[/mm]
Du hast recht, dass man mit [mm] \wurzel{1} [/mm] immer +1 meint, und sonst [mm] -\wurzel{1} [/mm] schreiben muss. das gilt aber nicht für die Opereation Umkehrung des Quadrierens.
Gruss leduart
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> Hallo Loddar
> Ich bin nicht ganz einverstanden.
> wenn man die Funktion [mm]f(x)=\wurzel{x}[/mm] meint, sind nur die
> positiven Werte gemeint.
> Aber Wurzel ist ausserdem die Umkehrabbildung von Quadrat,
> und dann gilt eben die Nichteindeutigkeit
> [mm]\red{\wurzel{-1}^2}=\wurzel{1}=-1[/mm]
Du meinst sicher [mm] $\blue{\wurzel{(-1)^2}}$
[/mm]
> Du hast recht, dass man mit [mm]\wurzel{1}[/mm] immer +1 meint, und
> sonst [mm]-\wurzel{1}[/mm] schreiben muss. das gilt aber nicht für
> die Operation Umkehrung des Quadrierens. ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
> Gruss leduart
Hallo leduart,
die Quadratfunktion (auf [mm] \IR [/mm] definiert) hat
eben gar keine (eindeutige) Umkehrfunktion.
Man kann aber der Gleichung [mm] x^2=a [/mm] (mit [mm] a\ge0)
[/mm]
eine (eindeutige) Lösungsmenge zuordnen,
nämlich
$\ [mm] \IL\ [/mm] =\ [mm] \{\sqrt{a}\,,\,-\sqrt{a}\}$
[/mm]
Negative Wurzel kommt dabei keine vor; die negative
Lösung der Gleichung ist einfach
[mm] $-\underbrace{\sqrt{a}}_{\ge0}$
[/mm]
Lässt man neben [mm] \sqrt{1}=1 [/mm] auch [mm] \sqrt{1}=-1 [/mm] zu,
dann kommt man in einen in der Mathematik nicht
haltbaren Konflikt mit der Transitivität der
Gleichheit.
LG Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:33 Sa 07.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Wenn beide Seiten einer Gleichung positiv sind und ich beim Radizieren Betragstriche verwende, ist es nach meiner Ansicht auch eine Äquivalenzumformung. Bitte um Korrektur sollte das nicht stimmen!
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> Wenn beide Seiten einer Gleichung positiv sind und ich beim
> Radizieren Betragstriche verwende, ist es nach meiner
> Ansicht auch eine Äquivalenzumformung.
Das ist richtig !
LG Al
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wenn du jetzt nicht streng [mm]\red{\wurzel{1}>0}[/mm] forderst, sondern
wie üblich [mm]\red{\wurzel{1}=\pm1}[/mm] nimmst kannst du auch -1=1
rauskriegen
wie üblich ??? NNEEIINN !!
Die Quadratwurzel aus einer positiven Zahl a ist die
positive Lösung der Gleichung [mm] x^2=a [/mm] !
Lieben Gruß Al
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Hallo kegel53,
du solltest bei der Unterscheidung der verschiedenen
Fälle Protokoll führen über die jeweils zugelassenen
x-Werte:
$\ [mm] (x-3)^2\le16x^2\ \gdw\ |x-3|\le4\,|x|$
[/mm]
ist tatsächlich eine Äquivalenzumformung !
Doch dann kommt das Aufdröseln der einzelnen
Fälle. Es gilt ja zum Beispiel:
$\ |x-3|=\ [mm] \begin{cases} x-3 & \mbox{ falls } x\ge3 \\ 3-x & \mbox{ falls } x\le3 \end{cases}$
[/mm]
Also kommen wir auf die 4 Fälle:
1.) [mm] x\ge3 [/mm] und [mm] x\ge0 [/mm] : $\ [mm] x-3\,\le\, 4\,x$
[/mm]
2.) [mm] x\ge3 [/mm] und [mm] x\le0 [/mm] : $\ [mm] x-3\,\le\, -4\,x$
[/mm]
3.) [mm] x\le3 [/mm] und [mm] x\ge0 [/mm] : $\ [mm] 3-x\,\le\, 4\,x$
[/mm]
4.) [mm] x\le3 [/mm] und [mm] x\le0 [/mm] : $\ [mm] 3-x\,\le\, -4\,x$
[/mm]
So, und nun sieht man, dass z.B. der Fall 2.) gar
nicht in Frage kommen kann, denn die Bedingung
[mm] x\ge3 [/mm] und [mm] x\le0 [/mm] ist gar nicht erfüllbar. Die übri-
gen 3 Fälle muss man schrittweise durchgehen und
dabei auch stets die Vorbedingungen betr. x beachten.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:38 Sa 07.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Okay jetzt hats geklickt. Oh man war mal wieder ne Geburt. Also vielen herzlichen Dank auch den anderen, die tatkräftig mitgemacht haben :).
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