Schnitt u. Vereinigung v.Menge < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:08 Do 11.10.2012 | | Autor: | Pia90 |
| Aufgabe | Für jedes k [mm] \in \IN [/mm] sei eine Menge [mm] M_k [/mm] gegeben. Zeigen Sie
[mm] \bigcap_{n=1}^{\infty} (\bigcup_{k=1}^{n} M_k) [/mm] = [mm] \bigcup_{n=1}^{\infty} (\bigcap_{k=1}^{n} M_k) [/mm] = [mm] M_1 [/mm] |
Hallo zusammen,
schon wieder sitze ich an einer Aufgabe und komme einfach nicht weiter.
Mein erster Gedanke war die vollständige Induktion, die mir inzwischen aber Fehl am Platz vorkommt... Stattdessen habe ich überlegt, ob es nicht möglich wäre, irgendwie über Komplemente zu arbeiten bzw. dass die Regeln von de Morgan irgendwie weiterhelfen könnten...
Nach de Morgan gilt ja für eine nicht-leere Menge I und für eine Menge [mm] M_i, [/mm] die für jedes i [mm] \in [/mm] I gegeben ist, und eine weitere Menge K:
K [mm] \backslash (\bigcap_{i \in I}^{} M_i) [/mm] = [mm] \bigcup_{i \in I}^{} [/mm] ((K [mm] \backslash M_i) [/mm] bzw. umgekehrt, also wenn man Schnitt und Vereinigung einfach vertauscht.
Irgendwie komme ich aber auf keinen Ansatz... Hat jemand vielleicht einen Tipp oder eine Idee für mich oder kann mir erklären, wie ich vorgehen muss?
Vielen Dank schonmal und liebe Grüße!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:44 Do 11.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Für jedes k [mm]\in \IN[/mm] sei eine Menge [mm]M_k[/mm] gegeben. Zeigen Sie
> [mm]\bigcap_{n=1}^{\infty} (\bigcup_{k=1}^{n} M_k)[/mm] = [mm]\bigcup_{n=1}^{\infty} (\bigcap_{k=1}^{n} M_k)[/mm] = [mm]M_1[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> schon wieder sitze ich an einer Aufgabe und komme einfach
> nicht weiter.
>
> Mein erster Gedanke war die vollständige Induktion, die
> mir inzwischen aber Fehl am Platz vorkommt...
wie würdest Du dann Induktion machen? Induktion über was? Außerdem
könnte man auch mit "beliebigeren Indexmengen" arbeiten, und eine
entsprechende Gleichheit beweisen - dann geht Induktion sicher schief.
Aber nun zur Aufgabe:
Klar ist:
Obige Gleichungskette gilt genau dann, wenn die folgenden zwei
Gleichungen gelten:
1.) [mm] $\bigcap_{n=1}^{\infty} (\bigcup_{k=1}^{n} M_k)=M_1$
[/mm]
und
2.) [mm] $\bigcup_{n=1}^{\infty} (\bigcap_{k=1}^{n} M_k)=M_1\,.$
[/mm]
Erinnerung:
Nun gilt für Mengen [mm] $A,B\,$ [/mm] die Gleichheit [mm] $A=B\,$ [/mm] genau dann, wenn
sowohl $A [mm] \subseteq [/mm] B$ als auch $B [mm] \subseteq [/mm] A$ gelten!
Bei 1.):
Die (Mengen-)Folge [mm] $(F_n)_{n \in \IN}:\equiv\Big(\bigcup_{k=1}^n M_k\Big)_{n \in \IN}$ [/mm] erfüllt sicherlich
[mm] $$F_1 \subseteq F_2 \subseteq F_3 \subseteq [/mm] ...$$
Was ist dann der Schnitt über alle [mm] $F_n$? [/mm] (Hier braucht man die Erinnerung
also nicht wirklich - allerdings kann man die eine Teilmengenbeziehung
auch ähnlich wie gleich bei 2.) begründen!)
Bei 2.):
Wegen [mm] $M_1=\bigcup_{n=1}^1 (\bigcap_{k=1}^n M_k) \subseteq \bigcup_{n=1}^\infty (\bigcap_{k=1}^n M_k)$ [/mm] (beachte: $A [mm] \subseteq \bigcup_{i \in I}T_i\,,$ [/mm] wenn ein [mm] $T_{i_0}=A$ [/mm] mit [mm] $i_0 \in [/mm] I$existiert!)
gilt [mm] "$\supseteq$".
[/mm]
Nun zeige noch [mm] "$\subseteq$":
[/mm]
Sei $x [mm] \in \bigcup_{n=1}^\infty (\bigcap_{k=1}^n M_k)$ [/mm] beliebig, aber
fest. ... (Jetzt ist Dein Part dran - denn das hier ist eigentlich der einzige
kleine Teil, wo man wirklich (minimal) was zu tun hat!)
P.S.
Hier mal eine andere Aufgabe, die Deiner oben sehr ähnlich ist (die habe
ich mir nur gerade selbst ausgedacht, deswegen auch die Formulierung
"zeige oder widerlege" - wenn sich die Behauptung zeigen läßt, dann
analog zu oben, wobei man natürlich bei der zu 1.) analogen Behauptung
dann aber nicht mit einer "Folge" arbeiten kann, sondern halt die
Erinnerung benutzen sollte!):
Sei [mm] $I\,$ [/mm] irgendeine nichtleere Indexmenge und sei [mm] $i_0 \in I\,.$ [/mm] Zeige
oder widerlege:
[mm] $$M_{i_0}=\bigcup_{\substack{J \subseteq I\\i_0 \in J}}(\bigcap_{\substack{e \in E\\E \subseteq J\\E \text{ endlich }}}M_e)=\bigcap_{\substack{J \subseteq I\\i_0 \in J}}(\bigcup_{\substack{e \in E\\E \subseteq J\\E \text{ endlich}}}M_e)$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 Do 11.10.2012 | | Autor: | Pia90 |
Vielen, vielen Dank erstmal für die hilfreiche Antwort!
> Hallo,
>
> > Für jedes k [mm]\in \IN[/mm] sei eine Menge [mm]M_k[/mm] gegeben. Zeigen Sie
> > [mm]\bigcap_{n=1}^{\infty} (\bigcup_{k=1}^{n} M_k)[/mm] =
> [mm]\bigcup_{n=1}^{\infty} (\bigcap_{k=1}^{n} M_k)[/mm] = [mm]M_1[/mm]
> > Hallo zusammen,
> >
> > schon wieder sitze ich an einer Aufgabe und komme einfach
> > nicht weiter.
> >
> > Mein erster Gedanke war die vollständige Induktion, die
> > mir inzwischen aber Fehl am Platz vorkommt...
>
> wie würdest Du dann Induktion machen? Induktion über was?
Ich hätte eine Induktion über n gemacht. Mein Hintergedanke war, dass ich von den ersten beiden Teilen der Gleichungskette jeweils zeige, dass es für alle n gleich [mm] M_1 [/mm] ist...
> Außerdem
> könnte man auch mit "beliebigeren Indexmengen" arbeiten,
> und eine
> entsprechende Gleichheit beweisen - dann geht Induktion
> sicher schief.
> Aber nun zur Aufgabe:
>
> Klar ist:
> Obige Gleichungskette gilt genau dann, wenn die folgenden
> zwei
> Gleichungen gelten:
>
> 1.) [mm]\bigcap_{n=1}^{\infty} (\bigcup_{k=1}^{n} M_k)=M_1[/mm]
>
> und
> 2.) [mm]\bigcup_{n=1}^{\infty} (\bigcap_{k=1}^{n} M_k)=M_1\,.[/mm]
>
> Erinnerung:
> Nun gilt für Mengen [mm]A,B\,[/mm] die Gleichheit [mm]A=B\,[/mm] genau
> dann, wenn
> sowohl [mm]A \subseteq B[/mm] als auch [mm]B \subseteq A[/mm] gelten!
>
> Bei 1.):
> Die (Mengen-)Folge [mm](F_n)_{n \in \IN}:\equiv\Big(\bigcup_{k=1}^n M_k\Big)_{n \in \IN}[/mm]
> erfüllt sicherlich
> [mm]F_1 \subseteq F_2 \subseteq F_3 \subseteq ...[/mm]
>
> Was ist dann der Schnitt über alle [mm]F_n[/mm]?
Der Schnitt über alle [mm] F_n [/mm] ist dann [mm] F_1.
[/mm]
Meine vollständige Lösung für Teil 1 würde also wie folgt aussehen:
Die (Mengen-)Folge [mm](F_n)_{n \in \IN}:\equiv\Big(\bigcup_{k=1}^n M_k\Big)_{n \in \IN}[/mm] erfüllt sicherlich [mm]F_1 \subseteq F_2 \subseteq F_3 \subseteq ...[/mm]
Der Schnitt über alle [mm] F_n [/mm] ist folglich [mm] F_1.
[/mm]
[mm] F_1 [/mm] = [mm] \cup_{k=1}^1 M_k [/mm] = [mm] M_1
[/mm]
> (Hier braucht man
> die Erinnerung
> also nicht wirklich - allerdings kann man die eine
> Teilmengenbeziehung
> auch ähnlich wie gleich bei 2.) begründen!)
>
> Bei 2.):
> Wegen [mm]M_1=\bigcup_{n=1}^1 (\bigcap_{k=1}^n M_k) \subseteq \bigcup_{n=1}^\infty (\bigcap_{k=1}^n M_k)[/mm]
> (beachte: [mm]A \subseteq \bigcup_{i \in I}T_i\,,[/mm] wenn ein
> [mm]T_{i_0}=A[/mm] mit [mm]i_0 \in I[/mm]existiert!)
> gilt "[mm]\supseteq[/mm]".
>
> Nun zeige noch "[mm]\subseteq[/mm]":
> Sei [mm]x \in \bigcup_{n=1}^\infty (\bigcap_{k=1}^n M_k)[/mm]
> beliebig, aber
> fest. ... (Jetzt ist Dein Part dran - denn das hier ist
> eigentlich der einzige
> kleine Teil, wo man wirklich (minimal) was zu tun hat!)
Ich muss gestehen, dass ich an dieser Stelle noch ein wenig hänge...
Nun muss ich ja zeigen, dass [mm]\bigcup_{n=1}^{\infty} (\bigcap_{k=1}^{n} M_k) \subseteq M_1[/mm] ist.
Wenn ich jetzt ein beliebiges aber festes x [mm] \in \bigcup_{n=1}^{\infty} (\bigcap_{k=1}^{n} M_k) [/mm] nehme, muss ich also zeigen, dass dieses x auch [mm] \in M_1 [/mm] ist... Irgendwie bin ich dafür aber leider grad zu blöd ... :/
>
> P.S.
> Hier mal eine andere Aufgabe, die Deiner oben sehr
> ähnlich ist (die habe
> ich mir nur gerade selbst ausgedacht, deswegen auch die
> Formulierung
> "zeige oder widerlege" - wenn sich die Behauptung zeigen
> läßt, dann
> analog zu oben, wobei man natürlich bei der zu 1.)
> analogen Behauptung
> dann aber nicht mit einer "Folge" arbeiten kann, sondern
> halt die
> Erinnerung benutzen sollte!):
>
> Sei [mm]I\,[/mm] irgendeine nichtleere Indexmenge und sei [mm]i_0 \in I\,.[/mm]
> Zeige
> oder widerlege:
> [mm]M_{i_0}=\bigcup_{\substack{J \subseteq I\\i_0 \in J}}(\bigcap_{\substack{e \in E\\E \subseteq J\\E \text{ endlich }}}M_e)=\bigcap_{\substack{J \subseteq I\\i_0 \in J}}(\bigcup_{\substack{e \in E\\E \subseteq J\\E \text{ endlich}}}M_e)[/mm]
Vielen Dank für die weitere Aufgabe! Die werde ich mir dann angucken, wenn ich meine endlich geschafft habe :)
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:55 Do 11.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ich muss leider jetzt weg, aber:
> Vielen, vielen Dank erstmal für die hilfreiche Antwort!
>
> > Hallo,
> >
> > > Für jedes k [mm]\in \IN[/mm] sei eine Menge [mm]M_k[/mm] gegeben. Zeigen Sie
> > > [mm]\bigcap_{n=1}^{\infty} (\bigcup_{k=1}^{n} M_k)[/mm] =
> > [mm]\bigcup_{n=1}^{\infty} (\bigcap_{k=1}^{n} M_k)[/mm] = [mm]M_1[/mm]
> > > Hallo zusammen,
> > >
> > > schon wieder sitze ich an einer Aufgabe und komme einfach
> > > nicht weiter.
> > >
> > > Mein erster Gedanke war die vollständige Induktion, die
> > > mir inzwischen aber Fehl am Platz vorkommt...
> >
> > wie würdest Du dann Induktion machen? Induktion über was?
>
> Ich hätte eine Induktion über n gemacht. Mein
> Hintergedanke war, dass ich von den ersten beiden Teilen
wie denn? [mm] $n\,$ [/mm] ist eine Laufvariable. Schreib' mal genau hin, wie
die Aussage, die Du induktiv beweisen willst, dann aussehen soll!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Fr 12.10.2012 | | Autor: | Pia90 |
Hallo nochmal!
Mir kam grad eben noch ein Gedanke, zu dem noch fehlenden Teil des Beweises. Könnte jemand drüber schauen und mir mitteilen, ob das so korrekt ist oder ich vollkommen auf der falschen Fährte bin?
> > Aber nun zur Aufgabe:
> >
> > Klar ist:
> > Obige Gleichungskette gilt genau dann, wenn die
> folgenden
> > zwei
> > Gleichungen gelten:
> >
> > 1.) [mm]\bigcap_{n=1}^{\infty} (\bigcup_{k=1}^{n} M_k)=M_1[/mm]
> >
>
> > und
> > 2.) [mm]\bigcup_{n=1}^{\infty} (\bigcap_{k=1}^{n} M_k)=M_1\,.[/mm]
>
> >
> > Erinnerung:
> > Nun gilt für Mengen [mm]A,B\,[/mm] die Gleichheit [mm]A=B\,[/mm] genau
> > dann, wenn
> > sowohl [mm]A \subseteq B[/mm] als auch [mm]B \subseteq A[/mm] gelten!
> >
> > Bei 1.):
> > Die (Mengen-)Folge [mm](F_n)_{n \in \IN}:\equiv\Big(\bigcup_{k=1}^n M_k\Big)_{n \in \IN}[/mm]
> > erfüllt sicherlich
> > [mm]F_1 \subseteq F_2 \subseteq F_3 \subseteq ...[/mm]
> >
> > Was ist dann der Schnitt über alle [mm]F_n[/mm]?
>
> Der Schnitt über alle [mm]F_n[/mm] ist dann [mm]F_1.[/mm]
>
> Meine vollständige Lösung für Teil 1 würde also wie
> folgt aussehen:
> Die (Mengen-)Folge [mm](F_n)_{n \in \IN}:\equiv\Big(\bigcup_{k=1}^n M_k\Big)_{n \in \IN}[/mm]
> erfüllt sicherlich [mm]F_1 \subseteq F_2 \subseteq F_3 \subseteq ...[/mm]
> Der Schnitt über alle [mm]F_n[/mm] ist folglich [mm]F_1.[/mm]
> [mm]F_1[/mm] = [mm]\cup_{k=1}^1 M_k[/mm] = [mm]M_1[/mm]
>
> > (Hier braucht man
> > die Erinnerung
> > also nicht wirklich - allerdings kann man die eine
> > Teilmengenbeziehung
> > auch ähnlich wie gleich bei 2.) begründen!)
> >
> > Bei 2.):
> > Wegen [mm]M_1=\bigcup_{n=1}^1 (\bigcap_{k=1}^n M_k) \subseteq \bigcup_{n=1}^\infty (\bigcap_{k=1}^n M_k)[/mm]
> > (beachte: [mm]A \subseteq \bigcup_{i \in I}T_i\,,[/mm] wenn ein
> > [mm]T_{i_0}=A[/mm] mit [mm]i_0 \in I[/mm]existiert!)
> > gilt "[mm]\supseteq[/mm]".
> >
> > Nun zeige noch "[mm]\subseteq[/mm]":
> > Sei [mm]x \in \bigcup_{n=1}^\infty (\bigcap_{k=1}^n M_k)[/mm]
> > beliebig, aber
> > fest. ... (Jetzt ist Dein Part dran - denn das hier ist
> > eigentlich der einzige
> > kleine Teil, wo man wirklich (minimal) was zu tun
> hat!)
>
> Ich muss gestehen, dass ich an dieser Stelle noch ein wenig
> hänge...
> Nun muss ich ja zeigen, dass [mm]\bigcup_{n=1}^{\infty} (\bigcap_{k=1}^{n} M_k) \subseteq M_1[/mm]
> ist.
> Wenn ich jetzt ein beliebiges aber festes x [mm]\in \bigcup_{n=1}^{\infty} (\bigcap_{k=1}^{n} M_k)[/mm]
> nehme, muss ich also zeigen, dass dieses x auch [mm]\in M_1[/mm]
> ist... Irgendwie bin ich dafür aber leider grad zu blöd
> ... :/
Ich muss noch "[mm]\subseteq[/mm]" zeigen. Dazu hatte ich nun folgenden Gedankengang:
Sei [mm]x \in \bigcup_{n=1}^\infty (\bigcap_{k=1}^n M_k)[/mm] beliebig, aber fest.
Dann gilt auch x [mm] \in bigcup_{n=1}^\infty (\bigcap_{k=1}^1 M_k) [/mm] = [mm] M_1
[/mm]
Ist das so korrekt?
Schönen Abend noch!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:04 Fr 12.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo nochmal!
>
> Mir kam grad eben noch ein Gedanke, zu dem noch fehlenden
> Teil des Beweises. Könnte jemand drüber schauen und mir
> mitteilen, ob das so korrekt ist oder ich vollkommen auf
> der falschen Fährte bin?
>
>
> > > Aber nun zur Aufgabe:
> > >
> > > Klar ist:
> > > Obige Gleichungskette gilt genau dann, wenn die
> > folgenden
> > > zwei
> > > Gleichungen gelten:
> > >
> > > 1.) [mm]\bigcap_{n=1}^{\infty} (\bigcup_{k=1}^{n} M_k)=M_1[/mm]
>
> > >
> >
> > > und
> > > 2.) [mm]\bigcup_{n=1}^{\infty} (\bigcap_{k=1}^{n} M_k)=M_1\,.[/mm]
>
> >
> > >
> > > Erinnerung:
> > > Nun gilt für Mengen [mm]A,B\,[/mm] die Gleichheit [mm]A=B\,[/mm]
> genau
> > > dann, wenn
> > > sowohl [mm]A \subseteq B[/mm] als auch [mm]B \subseteq A[/mm] gelten!
> > >
> > > Bei 1.):
> > > Die (Mengen-)Folge [mm](F_n)_{n \in \IN}:\equiv\Big(\bigcup_{k=1}^n M_k\Big)_{n \in \IN}[/mm]
> > > erfüllt sicherlich
> > > [mm]F_1 \subseteq F_2 \subseteq F_3 \subseteq ...[/mm]
> > >
> > > Was ist dann der Schnitt über alle [mm]F_n[/mm]?
> >
> > Der Schnitt über alle [mm]F_n[/mm] ist dann [mm]F_1.[/mm]
> >
> > Meine vollständige Lösung für Teil 1 würde also wie
> > folgt aussehen:
> > Die (Mengen-)Folge [mm](F_n)_{n \in \IN}:\equiv\Big(\bigcup_{k=1}^n M_k\Big)_{n \in \IN}[/mm]
> > erfüllt sicherlich [mm]F_1 \subseteq F_2 \subseteq F_3 \subseteq ...[/mm]
> > Der Schnitt über alle [mm]F_n[/mm] ist folglich [mm]F_1.[/mm]
> > [mm]F_1[/mm] = [mm]\cup_{k=1}^1 M_k[/mm] = [mm]M_1[/mm]
> >
> > > (Hier braucht man
> > > die Erinnerung
> > > also nicht wirklich - allerdings kann man die eine
> > > Teilmengenbeziehung
> > > auch ähnlich wie gleich bei 2.) begründen!)
> > >
> > > Bei 2.):
> > > Wegen [mm]M_1=\bigcup_{n=1}^1 (\bigcap_{k=1}^n M_k) \subseteq \bigcup_{n=1}^\infty (\bigcap_{k=1}^n M_k)[/mm]
> > > (beachte: [mm]A \subseteq \bigcup_{i \in I}T_i\,,[/mm] wenn ein
> > > [mm]T_{i_0}=A[/mm] mit [mm]i_0 \in I[/mm]existiert!)
> > > gilt "[mm]\supseteq[/mm]".
> > >
> > > Nun zeige noch "[mm]\subseteq[/mm]":
> > > Sei [mm]x \in \bigcup_{n=1}^\infty (\bigcap_{k=1}^n M_k)[/mm]
> > > beliebig, aber
> > > fest. ... (Jetzt ist Dein Part dran - denn das hier ist
> > > eigentlich der einzige
> > > kleine Teil, wo man wirklich (minimal) was zu tun
> > hat!)
> >
> > Ich muss gestehen, dass ich an dieser Stelle noch ein wenig
> > hänge...
> > Nun muss ich ja zeigen, dass [mm]\bigcup_{n=1}^{\infty} (\bigcap_{k=1}^{n} M_k) \subseteq M_1[/mm]
> > ist.
> > Wenn ich jetzt ein beliebiges aber festes x [mm]\in \bigcup_{n=1}^{\infty} (\bigcap_{k=1}^{n} M_k)[/mm]
> > nehme, muss ich also zeigen, dass dieses x auch [mm]\in M_1[/mm]
> > ist... Irgendwie bin ich dafür aber leider grad zu blöd
> > ... :/
>
> Ich muss noch "[mm]\subseteq[/mm]" zeigen. Dazu hatte ich nun
> folgenden Gedankengang:
>
> Sei [mm]x \in \bigcup_{n=1}^\infty (\bigcap_{k=1}^n M_k)[/mm]
> beliebig, aber fest.
> Dann gilt auch x [mm]\in bigcup_{n=1}^\infty (\bigcap_{k=1}^1 M_k)[/mm]
> = [mm]M_1[/mm]
>
> Ist das so korrekt?
Nicht ganz.
Besser: Sei [mm]x \in \bigcup_{n=1}^\infty (\bigcap_{k=1}^n M_k)[/mm] ,
dann ex. ein n mit x [mm] \in \bigcap_{k=1}^n M_k. [/mm] Somit ist x [mm] \in M_k [/mm] für k=1,...,n.
Insbes. ist x [mm] \in M_1
[/mm]
>
> Schönen Abend noch!
Ebenso
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:12 Fr 12.10.2012 | | Autor: | Pia90 |
Vielen, vielen Dank an alle, die dazu beigetragen haben, die Aufgabe gemeinsam mit mir zu lösen UND zu verstehen! DANKE!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:25 Fr 12.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen, vielen Dank erstmal für die hilfreiche Antwort!
>
> > Hallo,
> >
> > > Für jedes k [mm]\in \IN[/mm] sei eine Menge [mm]M_k[/mm] gegeben. Zeigen Sie
> > > [mm]\bigcap_{n=1}^{\infty} (\bigcup_{k=1}^{n} M_k)[/mm] =
> > [mm]\bigcup_{n=1}^{\infty} (\bigcap_{k=1}^{n} M_k)[/mm] = [mm]M_1[/mm]
> > > Hallo zusammen,
> > >
> > > schon wieder sitze ich an einer Aufgabe und komme einfach
> > > nicht weiter.
> > >
> > > Mein erster Gedanke war die vollständige Induktion, die
> > > mir inzwischen aber Fehl am Platz vorkommt...
> >
> > wie würdest Du dann Induktion machen? Induktion über was?
>
> Ich hätte eine Induktion über n gemacht. Mein
> Hintergedanke war, dass ich von den ersten beiden Teilen
> der Gleichungskette jeweils zeige, dass es für alle n
> gleich [mm]M_1[/mm] ist...
>
> > Außerdem
> > könnte man auch mit "beliebigeren Indexmengen"
> arbeiten,
> > und eine
> > entsprechende Gleichheit beweisen - dann geht Induktion
> > sicher schief.
> > Aber nun zur Aufgabe:
> >
> > Klar ist:
> > Obige Gleichungskette gilt genau dann, wenn die
> folgenden
> > zwei
> > Gleichungen gelten:
> >
> > 1.) [mm]\bigcap_{n=1}^{\infty} (\bigcup_{k=1}^{n} M_k)=M_1[/mm]
> >
>
> > und
> > 2.) [mm]\bigcup_{n=1}^{\infty} (\bigcap_{k=1}^{n} M_k)=M_1\,.[/mm]
>
> >
> > Erinnerung:
> > Nun gilt für Mengen [mm]A,B\,[/mm] die Gleichheit [mm]A=B\,[/mm] genau
> > dann, wenn
> > sowohl [mm]A \subseteq B[/mm] als auch [mm]B \subseteq A[/mm] gelten!
> >
> > Bei 1.):
> > Die (Mengen-)Folge [mm](F_n)_{n \in \IN}:\equiv\Big(\bigcup_{k=1}^n M_k\Big)_{n \in \IN}[/mm]
> > erfüllt sicherlich
> > [mm]F_1 \subseteq F_2 \subseteq F_3 \subseteq ...[/mm]
> >
> > Was ist dann der Schnitt über alle [mm]F_n[/mm]?
>
> Der Schnitt über alle [mm]F_n[/mm] ist dann [mm]F_1.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Meine vollständige Lösung für Teil 1 würde also wie
> folgt aussehen:
> Die (Mengen-)Folge [mm](F_n)_{n \in \IN}:\equiv\Big(\bigcup_{k=1}^n M_k\Big)_{n \in \IN}[/mm]
> erfüllt sicherlich [mm]F_1 \subseteq F_2 \subseteq F_3 \subseteq ...[/mm]
> Der Schnitt über alle [mm]F_n[/mm] ist folglich [mm]F_1.[/mm]
Ja. Wobei man das in der Tat auch, wenn man Lust hat, formal zeigen kann.
Klar ist hier , dass [mm] $F_1$ [/mm] eine Teilmenge des Schnittes ist (weil [mm] $F_1$ [/mm] ja
eine Teilmenge einer jeden am Schnitt beteiligten Menge ist!), und wenn
wir IRGENDEIN [mm] $x\,$ [/mm] aus dem Schnitt über alle [mm] $F_n$ [/mm] hernehmen, liegt
das [mm] $x\,$ [/mm] insbesondere auch in [mm] $F_1\,,$ [/mm] also ist der Schnitt auch
Teilmenge von [mm] $F_1\,.$ [/mm] (Generell ist der Schnitt über Mengen immer
Teilmenge einer jeden am Schnitt beteiligten Menge!)
> [mm]F_1[/mm] = [mm]\cup_{k=1}^1 M_k[/mm] = [mm]M_1[/mm]
Genau: Aus [mm] $F_1=M_1$ [/mm] folgt dann die Behauptung!
> > (Hier braucht man
> > die Erinnerung
> > also nicht wirklich - allerdings kann man die eine
> > Teilmengenbeziehung
> > auch ähnlich wie gleich bei 2.) begründen!)
> >
> > Bei 2.):
> > Wegen [mm]M_1=\bigcup_{n=1}^1 (\bigcap_{k=1}^n M_k) \subseteq \bigcup_{n=1}^\infty (\bigcap_{k=1}^n M_k)[/mm]
> > (beachte: [mm]A \subseteq \bigcup_{i \in I}T_i\,,[/mm] wenn ein
> > [mm]T_{i_0}=A[/mm] mit [mm]i_0 \in I[/mm]existiert!)
> > gilt "[mm]\supseteq[/mm]".
> >
> > Nun zeige noch "[mm]\subseteq[/mm]":
> > Sei [mm]x \in \bigcup_{n=1}^\infty (\bigcap_{k=1}^n M_k)[/mm]
> > beliebig, aber
> > fest. ... (Jetzt ist Dein Part dran - denn das hier ist
> > eigentlich der einzige
> > kleine Teil, wo man wirklich (minimal) was zu tun
> hat!)
>
> Ich muss gestehen, dass ich an dieser Stelle noch ein wenig
> hänge...
> Nun muss ich ja zeigen, dass [mm]\bigcup_{n=1}^{\infty} (\bigcap_{k=1}^{n} M_k) \subseteq M_1[/mm]
> ist.
> Wenn ich jetzt ein beliebiges aber festes x [mm]\in \bigcup_{n=1}^{\infty} (\bigcap_{k=1}^{n} M_k)[/mm]
> nehme, muss ich also zeigen, dass dieses x auch [mm]\in M_1[/mm]
> ist... Irgendwie bin ich dafür aber leider grad zu blöd
> ... :/
Fred hatte es ja schon erklärt, oder? Wenn $x [mm] \in \bigcup_{n=1}^\infty Q_n\,,$ [/mm] dann heißt dass, dass es ein [mm] $n_0 \in \IN$ [/mm] so gibt, dass
$x [mm] \in Q_{n_0}\,.$ [/mm] Wenn [mm] $Q_{n}=\bigcap_{k=1}^n R_k\,,$ [/mm] dann liegt
$x [mm] \in R_k$ [/mm] für ALLE $k [mm] \in \{1,...,n\}\,.$
[/mm]
Sowas steht ja auch bei Fred, nur, dass er die "richtigen Mengen aus der
Aufgabe" direkt benutzt!
> >
> > P.S.
> > Hier mal eine andere Aufgabe, die Deiner oben sehr
> > ähnlich ist (die habe
> > ich mir nur gerade selbst ausgedacht, deswegen auch die
> > Formulierung
> > "zeige oder widerlege" - wenn sich die Behauptung
> zeigen
> > läßt, dann
> > analog zu oben, wobei man natürlich bei der zu 1.)
> > analogen Behauptung
> > dann aber nicht mit einer "Folge" arbeiten kann,
> sondern
> > halt die
> > Erinnerung benutzen sollte!):
> >
> > Sei [mm]I\,[/mm] irgendeine nichtleere Indexmenge und sei [mm]i_0 \in I\,.[/mm]
> > Zeige
> > oder widerlege:
> > [mm]M_{i_0}=\bigcup_{\substack{J \subseteq I\\i_0 \in J}}(\bigcap_{\substack{e \in E\\E \subseteq J\\E \text{ endlich }}}M_e)=\bigcap_{\substack{J \subseteq I\\i_0 \in J}}(\bigcup_{\substack{e \in E\\E \subseteq J\\E \text{ endlich}}}M_e)[/mm]
>
> Vielen Dank für die weitere Aufgabe! Die werde ich mir
> dann angucken, wenn ich meine endlich geschafft habe :)
Na, dann probier' Dich mal noch dran - wenn Du Zeit und Lust hast!
Gruß,
Marcel
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