Schnitt von komplexen Kurven < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:09 Di 20.06.2006 | | Autor: | bastue |
| Aufgabe | Es sei f(x+i y) = g(x, y)+i h(x, y) in einem Gebiet G aus C holomorph und f'(x+i y) 6= 0
für alle x + iy 2 G. Zeigen Sie, dass sich die Kurven
g(x, y) = c1 und h(x, y) = c2
mit c1, c2 2 R nur rechtwinklig schneiden können. |
Hallo ihr !
Ich hab die Aufgabe eigentlich schon recht viel gelöst hoffe ich, mir fehlt nur noch die Eindeutigkeit von einem ZWischenschritt
Da die Funktion ja holomorph ist, gilt die Cauchy-Riemann-Dgl.
Die DGL, hab ich durch multiplizieren so umgeformt, dass ich gesehen hab, dass das Skalarprodukt von den Gradienten von g und h null sein muss und mir dann mal die Definition vom Skalarprodukt mit dem Cosinus angeschaut.
SO und nun muss ich ja behaupten , dass die Beträge der Gradienten von G und H ungleich Null sind und folger daraus, dass der Cosinus Null ist und die Gradienten demnach senkrecht aufeinander stehen.
Und daraus kann ich dann folgern, dass sich die Kurven g und h rechtwinklig schneiden , da die Gradienten senkrecht auf den Kurven stehen ( <<--- ist das richtig ??? )
Jetzt bekomm ich es allerdings nicht hin zu zeigen, dass aus der Ableitung f' ungleich null schon folgt, dass die Beträge von nabla g und nabla h ungleich null sind.
Ich hab das zwar bei wem anders gesehen , der hat sich die gebiete einzelnd betrachtet und für h exemplarisch gesagt dass f'(z)=nabla h ist.
und diesen Schritt versteh ich nicht ganz , oder es liegt an der späten Stunde. Oder beides. Jedenfalls würd ich mich freuen, wenn mir wer diesen Schritt nochmal erklären könnte . Also ums nochmal zu präzisieren
1) Ich versteh nicht warum man aus der Existenz der ABleitung folgern kann, dass die Beträge von Nabla h und Nabla g ungleich null sind
2) Ich zweifel ein bisschen an der EIndeutigkeit des Beweises, am ANfang kam er mir zwar so schön simpel vor.. aber irgendwas stört mich jetzt mitlerweile daran
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Do 22.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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