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| Aufgabe | Ermittle die Schnittgerade:
E1: 3x-4y+z=1
E2: 5x+2y-3z=6 |
Hallo!
Ich hab ein Problem bei der Ermittlung der Schnittgeraden. Wie es in Parameterform funktioniert weiß ich. Ich könnte mir die Ebenen auch in Parameterform darstellen, aber es muss doch auch so gehen?
Ich habe mir die beiden Gleichungen untereinander als LGS geschrieben. Jetz hab ich im Netz gelesen das man eine Variable eliminieren kann. Aber ich weiß nicht wie. Ich hab die Aufgabe von einer Übungsseite, wo es leider zu kurz erklärt wird und somit Schritte ausgelassen werden.
Das Ergebnis soll lauten: [mm] g:x=\vektor{1 \\ 0,5 \\ 0}+t\vektor{5 \\ 7 \\ 13}
[/mm]
Thanks for help!
Esperanza
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Hi, Esperanza,
> Ermittle die Schnittgerade:
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> E1: 3x-4y+z=1
> E2: 5x+2y-3z=6
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> Ich hab ein Problem bei der Ermittlung der Schnittgeraden.
> Wie es in Parameterform funktioniert weiß ich. Ich könnte
> mir die Ebenen auch in Parameterform darstellen, aber es
> muss doch auch so gehen?
> Das Ergebnis soll lauten: [mm]g:x=\vektor{1 \\ 0,5 \\ 0}+t\vektor{5 \\ 7 \\ 13}[/mm]
Es gibt natürlich mehrere Methoden, die Aufgabe zu lösen! (Eine davon wäre, die eine der Ebenen in die Parameterform zu verwandeln und in die andere einzusetzen). Die von MIR bevorzugte Methode geht so:
(1) Kreuzprodukt der Normalenvektoren ergibt Richtungsvektor der Schnittgeraden.
(2) Z.B. z=0 setzen und das verbleibende Gleichungssystem lösen. Somit erhält man einen Aufpunkt der Schnittgeraden.
Ich zeig's mal an Deiner Aufgabe:
(1) [mm] \vektor{3 \\ -4 \\ 1}\times\vektor{5 \\ 2 \\ -3} [/mm] = [mm] \vektor{10 \\ 14 \\ 26} [/mm] = [mm] 2*\vektor{5 \\ 7 \\ 13}
[/mm]
(Letzteren verwenden wir als Richtungsvektor)
(2) Nun z=0 setzen (Du berechnest damit einen gemeinsamen Punkt der Ebenen [mm] E_{1} [/mm] und [mm] E_{2} [/mm] in der xy-Ebene!):
(I) 3x-4y=1
(II)5x+2y=6
Das zu lösen, ist kein Problem! Resultat: x=1; y=0,5.
Demnach liegt der Punkt A(1; 0,5; 0) in beiden Ebenen und somit auch auf der Schnittgerade; er kann als Aufpunkt verwendet werden.
Ergebnis der Schnittgeraden wie angegeben!
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:35 So 11.06.2006 | | Autor: | Esperanza |
Hey Danke das is ja genial! Hätt ich nicht gedacht, dass es so unkompliziert ist.
Thanks
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:28 So 11.06.2006 | | Autor: | Gleb |
| Aufgabe | ^hallo,
ich glaube der lösungsvorschlag von zwerglein ist nicht korrekt, bitte korrigiert mich, falls doch, denn:
der normalenvektor [mm] \vektor{3\\-4\\ 1} [/mm] * den normalen vektor [mm] \vektor{5\\2\\ -3} \not=\vektor {10\\14\\26}
[/mm]
sondern(egal was ich nehme) = [mm] \vektor{15\\-8\\-3} [/mm] |
bin dankbar für jede weitere anregung oder korrekturvorschlag
Gleb
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:46 So 11.06.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Gleb,
> ^hallo,
> ich glaube der lösungsvorschlag von zwerglein ist nicht
> korrekt, bitte korrigiert mich, falls doch, denn:
>
> der normalenvektor [mm]\vektor{3\\-4\\ 1}[/mm] * den normalen
> vektor [mm]\vektor{5\\2\\ -3} \not=\vektor {10\\14\\26}[/mm]
>
> sondern(egal was ich nehme) = [mm]\vektor{15\\-8\\-3}[/mm]
Kann es sein, dass du hier das Skalarprodukt im Hinterkopf hast? Das ergäbe allerdings:
[mm]\vektor{3\\-4\\ 1} *\vektor{5\\2\\ -3} = 3 \cdot 5 + (-4) \cdot 2 + 1 \cdot (-3) = 4 [/mm].
Das Ergebnis ist eine reelle Zahl, kein Vektor.
Zwerglein meinte das Vektorprodukt:
$ [mm] \vektor{a_1 \\ a_2\\a_3} \times \vektor{b_1 \\ b_2\\b_3} [/mm] = [mm] \vektor{a_2 b_3 - a_3 b_2\\ a_3 b_1 - a_1 b_3\\a_1 b_2 - a_2 b_1}
[/mm]
Möglicherweise habt ihr das im Unterricht noch nicht kennengelernt.
Gruß
Sigrid
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> bin dankbar für jede weitere anregung oder
> korrekturvorschlag
>
> Gleb
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:50 So 11.06.2006 | | Autor: | Gleb |
Sorry,
mein fehler, doch haben wir gemacht, das skalarprodukt hat mir bloss die weitsicht verbaut!
danke
Gleb
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