Schnittgerade zweier Ebenen < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ermitteln Sie die Schnittgerade [mm]s[/mm] der beiden Ebenen [mm]E[/mm] und [mm]F[/mm] sowie den Winkel zwischen den beiden Ebenen.
(Folgeaufgabe zu "Punkt, Gerade und Ebenen", gepostet von mir am 4. Juni) |
***nix rumgepostet***
Gegeben:
[mm]E: 0x+0y+1z=2[/mm]
[mm]F: 2x+3y+3z=10[/mm]
Lösung:
Richtung der Schnittgeraden: [mm]\vec{s} \ = \ \vektor{s_{x}\\s_{y}\\s_{z}}[/mm]
Der Vektor [mm]\vec{s}[/mm] der Schnittgeraden steht auf den Normalen beider Ebenen [mm]E[/mm] und [mm]F[/mm] senkrecht. Das Skalarprodukt mit diesen Normalen ist daher Null.
[mm]\vec{s}\ *\ \vec{n_{E}} \ = \ 0} [/mm]
[mm]\vec{s}\ *\ \vec{n_{F}} \ = \ 0} [/mm]
Im einzelnen:
[mm]\vec{s}*\ \vec{n_{E}} \ = \ \vektor{s_{x}\\s_{y}\\s_{z}} \ * \ \vektor{0\\0\\1} \ = \ 0 [/mm]
[mm] \Rightarrow s_{z} \ = \ 0[/mm]
[mm]\vec{s}*\ \vec{n_{F}} \ = \ \vektor{s_{x}\\s_{y}\\s_{z}} \ * \ \vektor{2\\3\\3} \ = \ 0 [/mm]
und da [mm] s_{z} \ = \ 0[/mm]
[mm] \Rightarrow 2s_{x} \ + \ 3s_{y} \ = \ 0[/mm]
Setzte [mm]s_{x} \ = \ \rho \ = 3[/mm] oder irgend eine andere geeignete Zahl[mm] \rho \ \in \IR [/mm]
[mm]2*s{x} \ + \ 3*s{y} \ = \ 0[/mm]
[mm]2*3 \ \ \ + \ 3*s{y} \ = \ 0[/mm]
[mm]3*s{y} \ = \ -6[/mm]
[mm]s{y} \ = \ -2[/mm]
[mm]\vec{s} \ = \ t\ * \ \vektor{3\\-2\\0}[/mm] mit [mm]t \ \in \IR [/mm]
Alternativer Weg via Vektorprodukt (Kreuzprodukt, Crossproduct)
[mm]\vektor{0\\0\\1} \ \times \ \vektor{2\\3\\3} \ = \ \vektor{-3\\2\\0}[/mm]
[mm]\vec{s} \ = \ \tau * \ \vektor{-3\\2\\0}[/mm] mit [mm] \tau \ \in \IR [/mm]
Da nun die Richtung [mm]\vec{s}[/mm] der Schnittgeraden [mm]s[/mm] gegeben ist, braucht es noch einen Punkt [mm]S[/mm] auf der Geraden, um einer Parameterdarstellung dieser Geraden zu bestimmen.
Aus Ebene [mm]E[/mm] wissen wir, dass [mm]z \ = \ 2[/mm] ist.
Dies in Ebene [mm]F[/mm] eingesetzt:
[mm]F: \ 2x \ + \ 3y \ + \ 3z \ = \ 10[/mm]
[mm]2x \ + \ 3y \ + \ \ 6 \ \ = \ 10[/mm]
[mm]2x \ + \ 3y \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \ 4[/mm]
Wähle irgend ein [mm]x \ \in \IR [/mm], z.B. [mm]x \ = \ 1[/mm]
[mm]2 \ + \ 3y \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \ 4[/mm]
[mm]3y \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \ 2[/mm]
[mm]y \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \ \bruch{2}{3}[/mm]
[mm]S \ = \ (1 / \bruch{2}{3} / 2) [/mm]
Test in [mm]E[/mm]
[mm]0*1 + 0* \bruch{2}{3} +1*2 \ = \ 2 [/mm] OK
Test in [mm]F[/mm]
[mm]2*1 + 3* \bruch{2}{3} +3*2 \ = \ 10 [/mm] OK
Parameterdarstellung der Gerade [mm]s[/mm]:
[mm]s: S \ + \ t \ * \vec{s} [/mm] mit [mm]t \ \in \IR [/mm]
[mm]s: \vektor{1\\ \bruch{2}{3} \\ 2} \* t \ \vektor{3 \\ -2 \\ 0}[/mm] mit [mm]t \ \in \IR [/mm]
Winkel zwischen den beiden Ebenen ist gleich dem Winkel zwischen den Normalen.
[mm]n_{E}*n_{F} \ = \ |n_{E}| *|n_{F}| *\cos( \alpha ) [/mm]
[mm]\cos( \alpha ) \ = \ \bruch{n_{E}*n_{F}}{|n_{E}| *|n_{F}| }[/mm]
[mm]|n_{E}| \ = \ \wurzel{0 \ + \ 0 \ + \ 1} \ = \ 1[/mm]
[mm]|n_{F}| \ = \ \wurzel{2^{2} \ + \ 3^{2} \ + \ 3^{2} } \ = \ \wurzel{22} \ = \ 4.69[/mm]
[mm]\cos( \alpha ) \ = \ \bruch{3}{4.69}[/mm]
[mm] \alpha \ = \ 50.2°[/mm]
mit der Bitte um kritische Durchsicht und herzlichen Grüssen aus Zürich
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:56 Mo 05.06.2006 | | Autor: | Disap |
Hallo.
Ist alles richtig gerechnet, nur war ja Kritik erwünscht. Einige Schreibweisen sind eigentlich eher unschön.
> Ermitteln Sie die Schnittgerade [mm]s[/mm] der beiden Ebenen [mm]E[/mm] und [mm]F[/mm]
> sowie den Winkel zwischen den beiden Ebenen.
>
> (Folgeaufgabe zu "Punkt, Gerade und Ebenen", gepostet von
> mir am 4. Juni)
> ***nix rumgepostet***
>
> Gegeben:
>
> [mm]E: 0x+0y+1z=2[/mm]
>
> [mm]F: 2x+3y+3z=10[/mm]
>
> Lösung:
>
> Richtung der Schnittgeraden: [mm]\vec{s} \ = \ \vektor{s_{x}\\s_{y}\\s_{z}}[/mm]
>
> Der Vektor [mm]\vec{s}[/mm] der Schnittgeraden steht auf den
> Normalen beider Ebenen [mm]E[/mm] und [mm]F[/mm] senkrecht. Das Skalarprodukt
> mit diesen Normalen ist daher Null.
>
> [mm]\vec{s}\ *\ \vec{n_{E}} \ = \ 0}[/mm]
>
> [mm]\vec{s}\ *\ \vec{n_{F}} \ = \ 0}[/mm]
>
> Im einzelnen:
>
> [mm]\vec{s}*\ \vec{n_{E}} \ = \ \vektor{s_{x}\\s_{y}\\s_{z}} \ * \ \vektor{0\\0\\1} \ = \ 0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow s_{z} \ = \ 0[/mm]
>
>
> [mm]\vec{s}*\ \vec{n_{F}} \ = \ \vektor{s_{x}\\s_{y}\\s_{z}} \ * \ \vektor{2\\3\\3} \ = \ 0[/mm]
>
> und da [mm]s_{z} \ = \ 0[/mm]
> [mm]\Rightarrow 2s_{x} \ + \ 3s_{y} \ = \ 0[/mm]
>
> Setzte [mm]s_{x} \ = \ \rho \ = 3[/mm] oder irgend eine andere
> geeignete Zahl[mm] \rho \ \in \IR[/mm]
>
> [mm]2*s{x} \ + \ 3*s{y} \ = \ 0[/mm]
> [mm]2*3 \ \ \ + \ 3*s{y} \ = \ 0[/mm]
>
> [mm]3*s{y} \ = \ -6[/mm]
> [mm]s{y} \ = \ -2[/mm]
Das sollte wohl alles [mm] s_x [/mm] und [mm] s_y [/mm] heißen... Ein Tippfehler.
> [mm]\vec{s} \ = \ t\ * \ \vektor{3\\-2\\0}[/mm] mit [mm]t \ \in \IR [/mm]
>
> Alternativer Weg via Vektorprodukt (Kreuzprodukt,
> Crossproduct)
>
> [mm]\vektor{0\\0\\1} \ \times \ \vektor{2\\3\\3} \ = \ \vektor{-3\\2\\0}[/mm]
>
> [mm]\vec{s} \ = \ \tau * \ \vektor{-3\\2\\0}[/mm] mit [mm]\tau \ \in \IR [/mm]
>
> Da nun die Richtung [mm]\vec{s}[/mm] der Schnittgeraden [mm]s[/mm] gegeben
> ist, braucht es noch einen Punkt [mm]S[/mm] auf der Geraden, um
> einer Parameterdarstellung dieser Geraden zu bestimmen.
>
> Aus Ebene [mm]E[/mm] wissen wir, dass [mm]z \ = \ 2[/mm] ist.
>
> Dies in Ebene [mm]F[/mm] eingesetzt:
>
> [mm]F: \ 2x \ + \ 3y \ + \ 3z \ = \ 10[/mm]
> [mm]2x \ + \ 3y \ + \ \ 6 \ \ = \ 10[/mm]
>
> [mm]2x \ + \ 3y \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \ 4[/mm]
>
> Wähle irgend ein [mm]x \ \in \IR [/mm], z.B. [mm]x \ = \ 1[/mm]
>
> [mm]2 \ + \ 3y \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \ 4[/mm]
> [mm]3y \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \ 2[/mm]
>
> [mm]y \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \ \bruch{2}{3}[/mm]
>
> [mm]S \ = \ (1 / \bruch{2}{3} / 2)[/mm]
Meines Wissens nach setzt man bei Punkten kein Ist-Gleich-Zeichen, sondern man schreibt einfach nur: S(1 / [mm] \bruch{2}{3} [/mm] / 2)
> Test in [mm]E[/mm]
>
> [mm]0*1 + 0* \bruch{2}{3} +1*2 \ = \ 2[/mm] OK
>
> Test in [mm]F[/mm]
> [mm]2*1 + 3* \bruch{2}{3} +3*2 \ = \ 10[/mm] OK
>
> Parameterdarstellung der Gerade [mm]s[/mm]:
>
> [mm]s: S \ + \ t \ * \vec{s}[/mm] mit [mm]t \ \in \IR [/mm]
Geläufig wäre mir eigentlich nur folgende Bezeichnung:
[mm] $s:\vec{x} [/mm] = [mm] \overline{0S}+t [/mm] * [mm] \vec{s}$
[/mm]
> [mm]s: \vektor{1\\ \bruch{2}{3} \\ 2} \* t \ \vektor{3 \\ -2 \\ 0}[/mm]
> mit [mm]t \ \in \IR [/mm]
Hier würde ich dann auch [mm] s:\vec{x} [/mm] schreiben.
>
> Winkel zwischen den beiden Ebenen ist gleich dem Winkel
> zwischen den Normalen.
>
> [mm]n_{E}*n_{F} \ = \ |n_{E}| *|n_{F}| *\cos( \alpha )[/mm]
>
> [mm]\cos( \alpha ) \ = \ \bruch{n_{E}*n_{F}}{|n_{E}| *|n_{F}| }[/mm]
>
> [mm]|n_{E}| \ = \ \wurzel{0 \ + \ 0 \ + \ 1} \ = \ 1[/mm]
>
> [mm]|n_{F}| \ = \ \wurzel{2^{2} \ + \ 3^{2} \ + \ 3^{2} } \ = \ \wurzel{22} \ = \ 4.69[/mm]
>
> [mm]\cos( \alpha ) \ = \ \bruch{3}{4.69}[/mm]
>
> [mm]\alpha \ = \ 50.2°[/mm]
![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]")
Wenn es sehr kritisch sein sollte, würde ich [mm] \wurzel{22}nicht [/mm] zu 4.69 vereinfachen. Und beim Winkel Alpha auch lieber schreiben [mm] \alpha [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 50.24°
> mit der Bitte um kritische Durchsicht und herzlichen
> Grüssen aus Zürich
Ich hoffe, so etwas in der Art wolltest du hören.
Schöne Grüsse
Disap
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:34 Mo 05.06.2006 | | Autor: | BeniMuller |
Hallo Disap
Allerbesten Dank für die genauen Korrekturen, die ich alle verstanden habe und die durchaus berechtigt sind.
Du hast mich also richtig verstanden.
Herzliche Grüsse aus Zürich, wo ich jetzt zur Belohnung eine Röschti essen werde.
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