Schnittgerade zweier Ebenen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:36 Di 31.10.2006 | | Autor: | amazloum |
| Aufgabe | E1: [mm] \vec [/mm] a = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm] + r [mm] \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + s [mm] \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix};
[/mm]
E2: [mm] \vec [/mm] a = [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] + r [mm] \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] + s [mm] \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix};
[/mm]
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Aufgabe: Bestimmen Sie die Schnittgerade der Ebenen E1 und E2.
Der Anfang ist mir klar, gleichsetzen. Aber irgendwie komme ich nciht mehr drauf, wie dann weiter, vor allem weil ich es nicht schaffe nach einer einzigen Variable aufzulösen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:25 Di 31.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> E1: [mm] \vec[/mm] a = [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}[/mm] +
> r [mm]\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] + s [mm]\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix};[/mm]
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> E2: [mm] \vec[/mm] a = [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm] +
> r [mm]\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] + s [mm]\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix};[/mm]
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> Aufgabe: Bestimmen Sie die Schnittgerade der Ebenen E1 und
> E2.
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> Der Anfang ist mir klar, gleichsetzen. Aber irgendwie komme
> ich nciht mehr drauf, wie dann weiter, vor allem weil ich
> es nicht schaffe nach einer einzigen Variable aufzulösen.
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Machen wir es uns einfacher.
Wenn wie eine der beiden Ebenen mal in die Normalenform [mm] \vec{n}*\vec{x}=d [/mm] umwandeln, wird das ganze deutlich einfacher.
Nehmen wir mal [mm] E_{1} [/mm]
Dazu bilden wir erst einmal den Normalenvwektor [mm] \vec{n} [/mm] mit dem Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren
[Dateianhang nicht öffentlich]
Also
[mm] \vec{n}=\vektor{1\\0\\0}\times\vektor{1\\1\\0}=\vektor{0\\0\\1}
[/mm]
Jetzt wissen wir, dass der Stützpunkt [mm] \vec{p} [/mm] in der Ebene liegt, also gilt
[mm] \vec{p}*\vec{n}=d
[/mm]
Also
[mm] d=\vektor{1\\0\\3}*\vektor{0\\0\\1}=3
[/mm]
Das heisst [mm] E_{1} [/mm] hat folgende Form
[mm] \vektor{0\\0\\1}*\vec{x}=3
[/mm]
Hier kannst du jetzt [mm] e_{2} [/mm] als Parametergleichung einsetzen.
[mm] E_{2}
[/mm]
[mm] \vec{x}=\vektor{2\\3\\2}+r\vektor{0\\1\\1}+s\vektor{2\\0\\1}=\vektor{2+2s\\3+r\\2+r+s}
[/mm]
Dieses in [mm] E_{1} [/mm] eingesetzt ergibt
[mm] \vektor{0\\0\\1}*\vektor{2+2s\\3+r\\2+r+s}=3
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 0(2+2r)+0(3+r)+1(2+r+s)=3
[mm] \gdw [/mm] r+s=1
[mm] \gdw [/mm] r=1-s
Das ganze kannst du jetzt in [mm] E_{2} [/mm] einsetzen.
Also
[mm] \vec{x}=\vektor{2\\3\\2}+r\vektor{0\\1\\1}+s\vektor{2\\0\\1}
[/mm]
[mm] =\vektor{2\\3\\2}+(1-s)\vektor{0\\1\\1}+s\vektor{2\\0\\1}
[/mm]
[mm] =\vektor{2\\3\\2}+\vektor{0\\1\\1}-s\vektor{0\\0\\1}+s\vektor{2\\0\\1}
[/mm]
[mm] =\vektor{2\\4\\3}+s\vektor{2\\0\\0}
[/mm]
und damit hast du deine Schnittgerade
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:32 Mi 01.11.2006 | | Autor: | amazloum |
Danke sehr für diese ausfürhliche Erklärung. Ich würde das ganze mit Sicherheit verstehen, wenn wir schon das Kreuzprodukt und den Normalvektor gehabt hätten. Wir sollen das so machen, dass wir auf jeden fall die beiden Ebnen in der vorgegebenen Form gleichsetzen und dann auf Stufenform bringen soll usw...und so dann die Schnittgerade ausrechnen.
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Hi, amazloum,
> E1: [mm] \vec{a} [/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}[/mm] + r [mm]\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] + s [mm]\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix};[/mm]
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> E2: [mm] \vec{a} [/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm] + r [mm]\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] + s [mm]\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix};[/mm]
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> Aufgabe: Bestimmen Sie die Schnittgerade der Ebenen E1 und
> E2.
Gut, dann machen wir's wie gewünscht mit Gleichsetzen und Gaußverfahren.
Dazu müssen wir aber die Parameter der zweiten Ebene umschreiben,
z.B. in t und u:
[mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm] + r [mm]\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] + s [mm]\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm] + t [mm]\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] + u [mm]\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix};[/mm]
Jetzt subtrahieren wir [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm] und auch t [mm]\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
und erhalten dann:
r [mm]\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] + s [mm]\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] - t [mm]\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm] + u [mm]\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix};[/mm]
Somit haben wir ohne großen Aufwand auf der linken Seite bereits die im Gauß-Verfahren erwünschte Stufenform und können die letzte Zeile nach t "auflösen":
- t = -1 + u bzw. t = 1 - u. (***)
Du kannst natürlich die andern beiden Parameter (r, s) auch noch ausrechnen, d.h. durch u ausdrücken, aber das ist gar nicht nötig, da t und u zur selben Ebene gehören und Du durch Einsetzen von (***) in E2 die Gleichung der Schnittgeraden bereits erhältst:
[mm] \vec{a} [/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm] + (1 - u) [mm]\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] + u [mm]\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix};[/mm]
bzw:
[mm] \vec{a} [/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}[/mm] + u [mm]\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix};[/mm]
mfG!
Zwerglein
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