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| Aufgabe | Gegeben sind folgende Ebenen: [mm] E_2:2x_1-x_2+2x_3=12 [/mm] ; [mm] E_4: 2x_1-x_2+4x_3=12
[/mm]
Bestimmen Sie eine Gleichung der Schnittgeraden dieser beiden Ebenen. |
Hi,
ich hab ein kleines Problem mit den Schnittgeraden dieser Ebenen. Könnte vielleicht jemand von euch diese Schnittgerade aufstellen, ich komm da mit dem LGS nicht ganz klar.
Die Lösung der Schnittgeraden ist: g: x = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ -12 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] t*\begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
Wäre nett wenn ihr mir hier den Rechenweg darstellen könntet. Wär euch super dankbar.
Lieben Gruß
hackbert-celine
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Hallo,
bilden wir zunächst mal die Punktrichtungsform der 1. Ebene:
P(0/0/6) ist durch Ausprobieren (setze [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] gleich 0) Punkt von [mm] E_1 [/mm] wir benutzen ihn als Stützvektor.
S(6/0/0) ist auch Punkt der Ebene (setze [mm] x_2=x_3=0)
[/mm]
T(1/-8/1) ist auch Punkt der Ebene (setze [mm] x_1=x_3=1)
[/mm]
[mm] \overrightarrow{PS}=\vektor{6\\0 \\-6} [/mm] ist ein RV von [mm] E_2
[/mm]
[mm] \overrightarrow{PT}=\vektor{1\\-8 \\-5} [/mm] ist auch ein RV von [mm] E_2
[/mm]
Also.... [mm] E_2: \vec{x}=\vektor{0\\0 \\6}+\alpha*\vektor{6\\0 \\-6}+\beta*\vektor{1\\-8 \\-5}
[/mm]
[mm] \vec{x}=\vektor{6*\alpha+\beta\\-8*\beta \\6-6*\alpha-5*\beta} [/mm] ist allg. Ortsvektor eines Punktes der Ebene
wir setzen ihn in [mm] E_4 [/mm] ein für [mm] x_1, x_2 [/mm] und [mm] x_3
[/mm]
also...
[mm] 2*(6*\alpha+\beta)+8*\beta+4*(6-6*\alpha-5*\beta)=12
[/mm]
[mm] \gdw 12*\alpha+2*\beta+8*\beta+24-24*\alpha-20*\beta=12
[/mm]
[mm] \gdw -12*\alpha-10*\beta=-12
[/mm]
[mm] \gdw \alpha=1-\bruch{5}{6}*\beta
[/mm]
Nun setz ich mein [mm] \alpha [/mm] in [mm] E_2 [/mm] ein und erhalte eine Geradengleichung mit dem Parameter [mm] \beta....
[/mm]
also...
g: [mm] \vec{x}=\vektor{0\\0 \\6}+(1-\bruch{5}{6}*\beta)*\vektor{6\\0 \\-6}+\beta*\vektor{1\\-8 \\-5}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] g: [mm] \vec{x}=\vektor{0+6\\0+0 \\6-6}+*\beta*\vektor{-5\\0 \\5}+\beta*\vektor{1\\-8 \\-5}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] g: [mm] \vec{x}=\vektor{6\\0 \\0}+*\beta*\vektor{-4\\-8 \\0} [/mm] ist die gesuchte Schnittgerade
Da es ja unendlich viele Möglichkeiten gibt eine Gerade zu schreiben... zeigen wir noch, dass diese Gleichung dener Geradengleichung entspricht.
Als erstes sieht man ja, dass beide RVs linear abhängig sind, meiner ist nur doppelt so lang.
Jetzt setz ich für meine Gleichung [mm] \beta [/mm] 2/3 mal ein und erhalte den Stützvektor deiner Geradengleichung.
Somit stehen beide Gleichungen für ein und dieselbe Schnittgerade.
Liebe Grüße
Andreas
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Danke... Perfekt...
Ich hab die ganze Zeit probiert das über die Koordinatengleichungen der Ebenen zu machen (müsste ja auch gehen), also ohne Parameterform.
Hat hierfür auch noch jemand eine Lösung?
Also dass man in der Koordinatengleichung eine Variable = t setzt und des damit dann durchrechnet. Da hat sich dann bei mir immer zu viel "rausgekürzt". Kriegt das jemand anderes hin? :)
Besten Dank nochmals
Lieben Gruß
Hackbert-celine
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Hallo,
berechne das Kreuzprodukt beder Normalenvektoren.
Dies ist RV der Gerade.
Dann setzt du in beden Gleichungegn [mm] x_2=x_3=0 [/mm] und erhälst als Punkt der beiden Ebenen (6/0/0)
Den benutzt du als Stützvektor deiner Geraden.
Gruß
Andreas
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:35 Do 05.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo hackbert-celine,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Subtrahiere hier mal z.B. die beiden Ebenenglechungen. Daraus ergibt sich schnell: [mm] $x_3 [/mm] \ = \ 0$ .
Dies eingesetzt in die obere Gleichung und nach [mm] $x_2 [/mm] \ = \ ...$ umgestellt ergibt:
[mm] $x_2 [/mm] \ = \ [mm] 2*x_1-12$
[/mm]
Nun wählen wir $t \ := \ [mm] x_1$ [/mm] und setzen in die den Vektor der Schnittgerade ein:
[mm] $\vec{x} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{t \\2*t-12 \\ 0} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{0+1*t \\ -12 + 2*t \\ 0 + 0*t} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{0 \\ -12 \\ 0}+\vektor{t*1 \\ t*2 \\ t*0} [/mm] \ = \ ...$
Gruß
Loddar
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Danke! Ihr habt mir echt geholfen.
Ich hab wohl bei der Rechnung mit der Koordinatengleichung einfach zu früh aufgehört.
Naja jetzt hab ichs kapiert.
Danke nochmals
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