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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Kardinalitaet der folgenden Menge:
{x [mm] \in \IR [/mm] | fuer alle y [mm] \in \IR [/mm] gilt x = [mm] y^{2} [/mm] } [mm] \cap [/mm] {x [mm] \in \IZ [/mm] | -5 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 5} |
Hallo zusammen,
wieder einmal bin ich auf eure Hilfe angewiesen.
Es geht um das Verstaendis der o.g Aufgabe.
Zunaechst mal die linke Menge:
{x [mm] \in \IR [/mm] | fuer alle y [mm] \in \IR [/mm] gilt x = [mm] y^{2} [/mm] } = A
Fuer jedes x muss es ein y geben, so dass y = [mm] \wurzel{x} [/mm] gilt.
[mm] \wurzel{x} [/mm] gibt es ja fuer alle positiven Reelen Zahlen (einschliesslich Null).
Somit muessen also auch {0,1,2,3,4,5} [mm] \subseteq [/mm] A sein; weil
[mm] \wurzel{0} \in [/mm] A, [mm] \wurzel{1} \in [/mm] A, ...
Dann ware also der Betrag der Schnittmenge 6, da die Rechte Menge
{x [mm] \in \IZ [/mm] | -5 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 5} = B ebenfalls diese Elemente enthaelt.
Ok, jetzt zu meiner Frage:
In der Menge A ist in der Bedingung die Rede von "fuer alle y"; bedeutet das automatisch, dass sobald es fuer ein y (z.B [mm] \wurzel{-3} [/mm] nicht gilt) die Menge leer ist?
Oder ist die Menge A aus einem anderen Grund leer?
Die Loesung der o.g Aufgabe ist: |A [mm] \cap [/mm] B| = 0
Gruss
mathlooser
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Hiho,
du meinst vermutlich das richtige, schreibst aber teilweise Dinge recht falsch auf.
Aber mal langsam:
> Fuer jedes x muss es ein y geben, so dass y = [mm]\wurzel{x}[/mm] gilt.
Das steht da nicht.
> [mm]\wurzel{x}[/mm] gibt es ja fuer alle positiven Reelen Zahlen (einschliesslich Null).
>
> Somit muessen also auch {0,1,2,3,4,5} [mm]\subseteq[/mm] A sein;
> weil [mm]\wurzel{0} \in[/mm] A, [mm]\wurzel{1} \in[/mm] A, ...
Nein, denn A ist leer.
> Ok, jetzt zu meiner Frage:
>
> In der Menge A ist in der Bedingung die Rede von "fuer alle y"; bedeutet das automatisch, dass sobald es fuer ein y [...] nicht gilt die Menge leer ist?
Ja!
Aber: [mm] \sqrt{-3} [/mm] ist natürlich Blödsinn, da das keine reelle Zahl ist!
Aber nochmal langsam in Worten: Woraus besteht A?
In A sind alle [mm] $x\in\IR$ [/mm] für die für alle [mm] $y\in\IR$ [/mm] gilt: $x = [mm] y^2$.
[/mm]
So ein x gibt es natürlich nicht, denn wenn es so wäre, wäre es insbesondere für y=1 und y=2 gegeben, d.h. es müsste sowohl [mm] $x=1^2=1$ [/mm] als auch [mm] $x=2^2=4$ [/mm] gelten.
Gruß,
Gono
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Hi,
danke fuer die Antwort.
> Aber: $ [mm] \sqrt{-3} [/mm] $ ist natürlich Blödsinn, da das keine reelle Zahl ist!
Aber genau diese Tatsache habe ich doch versucht zu nutzen um zu Zeigen, dass es eben fuer mindestens ein Element nicht gilt.
Fuer alle y [mm] \in \IR [/mm] soll gelten x = [mm] y^{2}. [/mm] Es gibt also mehrere y, fuer die, die Bedingung erfuellt ist, wie z.B y = 2. Es gibt also ein y = 2 [mm] \IR [/mm] fuer das gilt [mm] 2^{2} [/mm] = 4, somit waere doch (wenn in der Bedingung nicht "fuer alle" stuende) die Bedingung fuer x = 4 erfuellt und 4 waer ein Element aus [mm] \IR.
[/mm]
Da es aber fuer alle y gefordert wird, gilt die Bedingung genau dann nicht mehr, wenn y negativ wird(was ja in der Bedingung erlaubt wird mit y [mm] \in \IR).
[/mm]
> So ein x gibt es natürlich nicht, denn wenn es so wäre, wäre es
> insbesondere für y=1 und y=2 gegeben, d.h. es müsste sowohl
> $ [mm] x=1^2=1 [/mm] $ als auch $ [mm] x=2^2=4 [/mm] $ gelten.
Hmm, ich hab es offenbar, ganz anders/falsch verstanden.
Ich versuche es nochmal in Worte zu fassen:
Ich suche mir ein beliebiges x [mm] \in \IR, [/mm] z.B x = 5. In der Bedingung ist nun gefordert, dass fuer alle y [mm] \in \IR [/mm] folgendes gilt: 5 = [mm] y^{2}. [/mm] Somit ist 5 = [mm] y^{2} [/mm] fuer jedes y falsch ausser fuer y = [mm] \wurzel{5}.
[/mm]
Also 5 [mm] \not= 4^{2} \not= 3^{2}, [/mm] ...
Damit das x in der Menge enthalten ist muss es von allen y mit x = [mm] y^{2} [/mm] abgedeckt sein.
Ist das so ok?
Gruss
mathlooser
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Hiho,
> Aber genau diese Tatsache habe ich doch versucht zu nutzen
> um zu Zeigen, dass es eben fuer mindestens ein Element nicht gilt.
Nein, denn deine Umformung ist schon falsch.
Es gilt eben nicht [mm] $x=y^2 \gdw \sqrt{x} [/mm] = y$
D.h. deine Umformung selbst ist schon nicht hilfreich und daraus dann etwas zu folgern macht die Aussage nicht hilfreicher.
> Fuer alle y [mm]\in \IR[/mm] soll gelten x = [mm]y^{2}.[/mm] Es gibt also mehrere y, fuer die, die Bedingung erfuellt ist
Wenn wir annehmen würden, dass die Menge nicht leer ist, ja.
> wie z.B y = 2. Es gibt also ein y = 2 [mm]\IR[/mm] fuer das gilt [mm]2^{2}[/mm] = 4,
> somit waere doch (wenn in der Bedingung nicht "fuer alle"
> stuende) die Bedingung fuer x = 4 erfuellt und 4 waer ein
> Element aus [mm]\IR.[/mm]
Wenn das "für alle" durch ein "es existiert ein" ersetzt werden würde, hättest du für alle [mm] $x\ge [/mm] 0$ recht.
> Da es aber fuer alle y gefordert wird, gilt die Bedingung
> genau dann nicht mehr, wenn y negativ wird(was ja in der
> Bedingung erlaubt wird mit y [mm]\in \IR).[/mm]
Nein, du vertauschst die Rollen für x und y.
Es soll ja für [mm] $y\in \IR$ [/mm] gelten: $x = [mm] y^2$.
[/mm]
Daraus folgt sofort insbesondere [mm] $x\ge [/mm] 0$. Und egal wie du y wählst, selbst wenn du es negativ wählst, gilt [mm] $y^2 \ge [/mm] 0$ und damit erstmal kein Widerspruch.
Und dein Versuch ein Gegenbeispiel zu konstruieren funktioniert nicht, weil da eben nicht [mm] $\sqrt{x} [/mm] = y$ steht, sondern [mm] $x=y^2$ [/mm] und da kannst du eben nicht $y = [mm] \sqrt{-5}$ [/mm] wählen, weil [mm] $y\in\IR$ [/mm] gefordert ist, aber [mm] $\sqrt{-5} \not\in \IR$.
[/mm]
> Ich suche mir ein beliebiges x [mm]\in \IR,[/mm] z.B x = 5. In der
> Bedingung ist nun gefordert, dass fuer alle y [mm]\in \IR[/mm]
> folgendes gilt: 5 = [mm]y^{2}.[/mm] Somit ist 5 = [mm]y^{2}[/mm] fuer jedes y falsch ausser fuer y = [mm]\wurzel{5}.[/mm]
Und für [mm] $y=-\sqrt{5}$!
[/mm]
> Also 5 [mm]\not= 4^{2} \not= 3^{2},[/mm] ...
Ungleichungsketten sind so eine Sache, aber wenn du es korrekt aufschreibst: Ja.
> Damit das x in der Menge enthalten ist muss es von allen y mit x = [mm]y^{2}[/mm] abgedeckt sein.
>
> Ist das so ok?
Ja, und dass es so ein x nicht gibt, kannst du dir eben durch zwei günstige Wahlen von y klar machen.
Durch zwei ungünstige Wahlen kann das schon mal schiefgehen.
Bspw. y=5 und y=-5 liefern beide das selbe x....
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:55 Di 07.04.2015 | | Autor: | mathlooser |
Hallo,
alles klar :).
Danke fuer die schnellen Reaktionen und hilfreichen Antworten.
Ich sehe, dass ich mich mit [mm] \wurzel{x} [/mm] = y ein wenig verstrickt habe.
da x [mm] \ge [/mm] 0 wegen x = [mm] y^{2} [/mm] sein muss, darf ich x nicht gleich -5 setzten(zumindest nicht in [mm] \IR).
[/mm]
Das heisst das haette ich nicht als Begruendung verwenden duerfen.
Und dass es fuer alle y [mm] \in \IR [/mm] nicht ein x [mm] \in \IR [/mm] geben kann ist dann schnell klar.
Gruss
mathlooser
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