Schnittmenge Raum/Gerade < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Bestimmen sie die Schnittmenge! |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wie berechnet man die Schnittmenge der folgenden Objekte?
A = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ -1} [/mm] + r * [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] + s * [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ -1} [/mm] + t * [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ -3} [/mm] mit r, s, t aus [mm] \IR
[/mm]
B = [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 2} [/mm] + [mm] \lambda [/mm] * [mm] \vektor{3 \\ 2 \\ 4} [/mm] mit [mm] \lambda [/mm] aus [mm] \IR
[/mm]
Wie berechnet man denn so eine Schnittmenge?
Ist eine Schnittmenge einer Geraden mit einem Raum nicht die Gerade selbst?
Aber wie drückt man das mit einer Rechnung aus???
Wäre echt dankbar, wenn mir jemand weiterhelfen kann.
MfG Thorsten
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:43 So 19.11.2006 | | Autor: | rahu |
guten morgen,
das kannst du machen wie bei jeder anderen schnittmenge auch, nur das das gleichungssystem eine gleichung zu wenig hat und somit eine varibale halt übrig bleibt die du dann beim einsetzen halt mitnehmen musst.
ich versuche mal dir die schritte aufzuschreiben:
1) gleichsetzen: A=B
2) gleichungssystem aufstellen (3gln. 4 unbekannte) und (sinnvollerweise nach [mm] \lambda [/mm] auflösen.
3) ausdruck für [mm] \lambda [/mm] und B einsetzen--> schnittmenge enstpricht der geraden
viele grüße
ralf
|
|
|
| |
|
Zuerst mal danke für diese schnelle Anwort.
Wenn ich die beiden Gleichungen gleichsetze, dann erhalte ich ja:
r + 2s = -2 + 3 * [mm] \lambda [/mm] (I)
s + t = -2 + 2 * [mm] \lambda [/mm] (II)
r - s - 3t = 3 + 4 * [mm] \lambda [/mm] (III)
nach zwei Schritten erhält man: 0 = -1 + [mm] \lambda [/mm] und somit [mm] \lambda [/mm] = 1/7
Es ist vllt einfacher als ich denke, aber ich komm irgendwie nicht drauf.
Wäre super, wenn mir nochmal geholfen wird!
Viele Grüße!!!
Thorsten
|
|
|
| |
|
> Zuerst mal danke für diese schnelle Anwort.
> Wenn ich die beiden Gleichungen gleichsetze, dann erhalte
> ich ja:
>
> r + 2s = -2 + 3 * [mm]\lambda[/mm] (I)
>
> s + t = -2 + 2 * [mm]\lambda[/mm] (II)
>
> r - s - 3t = 3 + 4 * [mm]\lambda[/mm] (III)
>
> nach zwei Schritten erhält man: 0 = -1 + [mm]\lambda[/mm] und somit
> [mm]\lambda[/mm] = 1/7
>
>
Hallo,
wenn Du das ausgerechnet hast, bedeutet das ja 1=1/7, was offensichtlich nicht wahr ist, d.h. das GS hat keine Lösung.
Aaaaaaaber ich bin mir ziemlich sicher, daß Du Dich verrechnet hast. Rechne nochmal nach!
Ich habe mir die Rechnung übrigens etwas vereinfacht, die Richtungsvektoren sind ja linear abhängig:
A = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ -1} [/mm] + r * [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] + s * [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ -1} [/mm] + t * [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ -3}
[/mm]
= [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ -1} [/mm] + r * [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] + s * [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ -1} [/mm] + t [mm] *(-2\vektor{1 \\ 0 \\ 1}+\vektor{2 \\ 1 \\ -1})
[/mm]
[mm] =\vektor{1 \\ 2 \\ -1} [/mm] + (r-2t) * [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] + (s+t) * [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ -1}
[/mm]
[mm] =\vektor{1 \\ 2 \\ -1} [/mm] + R* [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] + S * [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ -1} [/mm] mit R,S [mm] \in \IR.
[/mm]
So ist man die Lästigkeit mit den 4 Variablen los, was das Gleichsetzen und Lösen vereinfacht. Jedenfalls für mich.
Gruß v. Angela
P.S.: Ich habe [mm] \lambda=13/7 [/mm] ausgerechnet. Ohne Gewähr.
|
|
|
| |
|
Die lineare Abhängigkeit war der Knackpunkt.
Die eine Gleichung stellt nämlich keinen Raum dar, sondern nur eine Ebene, aufgrund der linearen Abhängigkeit der Vektoren.
Danke für die Antwort!!!
VG Thorsten
|
|
|
|
