Schnittmenge v. Prozentangaben < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | In einer Regionalbahn sind 60% der Fahrgäste Männer, 70% Raucher und 80% Pendler zwischen Arbeitsstätte und Wohnung. Gibt es Fahrgäste mit allen drei Eigentschaften? Wieviel Prozent sind es ggf. mindestens?
(Hinweils: Verwenden Sie die Regeln von de Morgan, indem sie die Menge F aller Fahrgäste ins Spiel bringen.) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mein einziger Ansatz ist leider
F = Menge aller Fahrgäste
M = Menge der Männer = { x [mm] \in [/mm] F | x ist männlich }
R = Menge der Raucher = { x [mm] \in [/mm] F | x ist Raucher }
P = Menge der Pendler = { x [mm] \in [/mm] F | x ist Pendler }
[Dateianhang nicht öffentlich]
$ X = M [mm] \cap [/mm] R [mm] \cap [/mm] P $
Ich bitte formale Fehler zu entschuldigen und aufzuzeigen.
Wie beantworte ich die beiden Fragen?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Zur Schreibweise: wo hier das Wort "Menge" zwischen
Mengenklammern steht, ist etwas nicht in Ordnung.
Du kannst z.B. schreiben:
F = Menge aller Fahrgäste
R = Menge aller rauchenden Fahrgäste = [m] \{ x \in F\ |\ x\ \ ist RaucherIn \}[/m]
Es geht darum, den Anteil der Menge [mm] X=M\cap{R}\cap{P} [/mm] möglichst
klein zu machen.
Dazu kannst du schrittweise vorgehen: Lass z.B. zuerst das
Merkmal "Pendler" aus dem Spiel und bestimme den kleinst-
möglichen Anteil für die Menge [mm] MR=M\cap{R}. [/mm] Das ist dann
der Fall, wenn [mm] M\cup{R}=F.
[/mm]
Dann machst du nochmals dieselbe Überlegung mit den
beiden Mengen MR und P.
LG
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Hallo erstmal und vielen Dank, dass Du Dich meines Problems angenommen hast!
Ich kann jedoch weder der Überlegung $ M [mm] \cup [/mm] R = F $ führe zum kleinstmöglichen Anteil für die Menge $MR = M [mm] \cap [/mm] R $ folgen noch erschließt sich mir, wie ich durch die Arbeit mit diesen Überlegungen eine Prozentangabe errechnen kann. Daher möchte ich darum bitten, für einen wirklichen Laien in Mengenlehre und -operationen Deine Antwort etwas weiter zu erläutern ( wenn nötig auch in Grundschuldeutsch :) ).
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:04 Do 09.10.2008 | | Autor: | maddhe |
fangen wir mit M und R an:
wenn 60% Männer sind und 70% Raucher, so müssen es doch mindestens 30% männliche Raucher sein, richtig? (denn es sind 40% nicht-männer die maximal alle rauchen und dann blieben noch 30 übrig, die rauchen aber nicht nicht-männer sind^^)
wenn nun 80% Pendler sind, müssen es mindestens 10% sein, die in X liegen.
kann aber auch sein, dass ich irgendwo nen denkfehler hab^^
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Wenn ich Dir richtig folge, dann rechnest Du dieses:
$ MR = R [mm] \setminus \overline{M} [/mm] = 70 - (100 - 60) = 30 $
[Dateianhang nicht öffentlich]
$ X = MR [mm] \setminus \overline{P} [/mm] = 30 - (100 - 80) = 10 $
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:34 Do 09.10.2008 | | Autor: | maddhe |
jep - jetzt siehts sogar schön aus
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Zuletzt möchte ich Euch noch bitten, Fehler in der Schreibweise meiner Lösung aufzudecken. Ich schreibe sie wiefolgt:
$ X = F [mm] \setminus (\overline{M} \cup \overline{R} \cup \overline{P}) [/mm] $
$ = 100 - (40 + 30 + 20) $
$ = 100 - 90 $
$ = 10 $
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> Zuletzt möchte ich Euch noch bitten, Fehler in der
> Schreibweise meiner Lösung aufzudecken. Ich schreibe sie
> wiefolgt:
>
> [mm]X = F \setminus (\overline{M} \cup \overline{R} \cup \overline{P})[/mm]
>
> [mm]= 100 - (40 + 30 + 20)[/mm]
> [mm]= 100 - 90[/mm]
> [mm]= 10[/mm]
Eigentlich kann man die Mengen nicht mit Zahlenwerten
gleichsetzen. Es geht um die Mächtigkeiten [mm] \mu(S) [/mm] der
vorkommenden Mengen S (oder um die entsprechenden
Wahrscheinlichkeiten). Wichtig ist dann der Satz, dass für
eine Vereinigungsmenge [mm] A\cup{B} [/mm] endlicher Mengen stets
gilt:
[mm] \mu(A\cup{B})=\mu(A)+\mu(B)-\underbrace{\mu(A\cap{B})}_{\ge 0}\le \mu(A)+\mu(B)
[/mm]
Analog gilt für die drei Mengen [mm] \overline{M},\overline{R},\overline{P} [/mm] :
[mm] \mu(\overline{M}\cup \overline{R}\cup \overline{P})\le \mu(\overline{M})+\mu(\overline{R})+\mu(\overline{P})
[/mm]
Dann folgt:
[mm] \mu(X)=\mu(F)-\mu(\overline{M}\cup \overline{R}\cup \overline{P})
[/mm]
[mm] \ge\mu(F)-\left( \mu(\overline{M})+\mu(\overline{R})+\mu(\overline{P})\right)
[/mm]
Gruß
Al Chwarizmi
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Ich hatte mich bereits gewundert, wieso niemand die Mächtigkeit ansprach. Mit Deiner Erklärung konnte ich jetzt alle Unklarheiten bei dieser Aufgabe beseitigen. Vielen Dank für Deine ausführliche Antwort!
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Halt, eine Sache ist mir doch noch nicht ganz klar.
> [mm]\mu(X)=\mu(F)-\mu(\overline{M}\cup \overline{R}\cup \overline{P})[/mm]
>
> [mm]\ge\mu(F)-\left( \mu(\overline{M})+\mu(\overline{R})+\mu(\overline{P})\right)[/mm]
Wieso wird an dieser Stelle [mm] \le [/mm] zu [mm] \ge [/mm] ? Ist es, weil ich die Differenz aus [mm] \mu(F) [/mm] und [mm] \mu(\overline{M})+\mu(\overline{R})+\mu(\overline{P}) [/mm] bilde? Ich habe gerade auf Wikipedia nachgesehen, dort werden die Rechenregeln ganz einfach mit Gleichheitszeichen geschrieben.
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> Halt, eine Sache ist mir doch noch nicht ganz klar.
>
> > [mm]\mu(X)=\mu(F)-\mu(\overline{M}\cup \overline{R}\cup \overline{P})[/mm]
>
> >
> > [mm]\ge\mu(F)-\left( \mu(\overline{M})+\mu(\overline{R})+\mu(\overline{P})\right)[/mm]
>
> Wieso wird an dieser Stelle [mm]\le[/mm] zu [mm]\ge[/mm] ?
Wegen der Subtraktion !
Analoges Beispiel:
Weil [mm] 5-x^2\le [/mm] 5 ist, folgt
[mm] $8-\underbrace{(5-x^2)}_{\le 5}\ge [/mm] 3$
Gruß Al
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:21 Do 09.10.2008 | | Autor: | abakus |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> In einer Regionalbahn sind 60% der Fahrgäste Männer, 70%
> Raucher und 80% Pendler zwischen Arbeitsstätte und Wohnung.
> Gibt es Fahrgäste mit allen drei Eigentschaften? Wieviel
> Prozent sind es ggf. mindestens?
Selbst wenn alle Nicht-Männer (40% aller Fahrgäste) Raucher wären, müssen bei 70% Rauchern immer noch 30% sowohl Männer als auch Raucher sein.
Diese Menge der männlichen Raucher muss sich mit der Menge der Pendler teilweise überdecken, denn 30% + 80 % = 110 %.
Also müssen mindestens 10 Prozent der Fahrgäste sowohl rauchende Männer als auch Pendler sein.
Gruß Abakus
>
> (Hinweils: Verwenden Sie die Regeln von de Morgan, indem
> sie die Menge F aller Fahrgäste ins Spiel bringen.)
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
> Mein einziger Ansatz ist leider
> F = Menge aller Fahrgäste
> M = Menge der Männer = { x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
F | x ist männlich }
> R = Menge der Raucher = { x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
F | x ist Raucher }
> P = Menge der Pendler = { x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
F | x ist Pendler }
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> [mm]X = M \cap R \cap P[/mm]
>
> Ich bitte formale Fehler zu entschuldigen und aufzuzeigen.
>
> Wie beantworte ich die beiden Fragen?
>
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