Schnittmenge von 2LineareSpann < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:59 Di 22.08.2006 | | Autor: | Nizzer |
| Aufgabe | Bestimmen Sie drei Vektoren, die in
[mm] <\vektor{1 \\ 1 \\ -1 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 1 \\ 1}, \vektor{-1 \\ 5 \\ 1 \\ 3} [/mm] > [mm] \cap [/mm] < [mm] \vektor{4 \\ 3 \\ 0 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{2 \\ 8 \\ 1 \\ 1}, \vektor{10 \\ 4 \\ -10 \\ -3} [/mm] >
liegen! |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo
Zu erst: Super Arbeit was ihr alles leistet. Ihr habt mir hier schon oft geholfen obwohl ich bisher nie aktiv geworden war.
Aber das soll sich ändern ;)
Zu meinem Problem: Ich habe das Gefühl das ich nicht wirklich die Lineare Algebra verstehe obwohl ich regelmäßig die Vorlesung besucht habe und alle Übungen etc. Die Übungsaufgaben die wir von unserem Proff haben habe ich alle richtig gelöst, allerdings habe ich dann schon Probleme bei der obene genannten Aufgabe sobald diese nicht mehr wie in den Übungen auftaucht.
Da wir sie so nie in der Form oder ähnliche hatten fällt mir der Lösungsansatz schwer.
Aus dem Bauch herraus würde ich sagen das man Linear Spann 1 = Linear Spann 2 setzt und dann nach Linear Spann 1 - Linear Spann 2 = 0 umformt.
Dann den GJA (das einzige Verfahren das wir übrigends gelernt haben ;) ) anwenden.
Dann würde ich am Ende auf
[mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] + s1 [mm] \vektor{-2 \\ -3 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] + s2 [mm] \vektor{7 \\ -3 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
kommen!
Dann hätte ich zwar meine 3 Vektoren, allerdings zweifel ich doch stark an der Richtigkeit meines Vorgehens ;)
Ich bitte um Hilfe wie ich die Aufgabe umformen muss, damit ich GJA anwenden kann.
Danke
MFG
Niz
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:36 Di 22.08.2006 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Bestimmen Sie drei Vektoren, die in
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> [mm]<\vektor{1 \\ 1 \\ -1 \\ 0}[/mm] , [mm]\vektor{-1 \\ 1 \\ 1 \\ 1}, \vektor{-1 \\ 5 \\ 1 \\ 3}[/mm]
> > [mm]\cap[/mm] < [mm]\vektor{4 \\ 3 \\ 0 \\ 0}[/mm] , [mm]\vektor{2 \\ 8 \\ 1 \\ 1}, \vektor{10 \\ 4 \\ -10 \\ -3}[/mm]
> >
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> liegen!
> Aus dem Bauch herraus würde ich sagen das man Linear Spann
> 1 = Linear Spann 2 setzt und dann nach Linear Spann 1 -
> Linear Spann 2 = 0 umformt.
>
> Dann den GJA (das einzige Verfahren das wir übrigends
> gelernt haben ;) ) anwenden.
>
> Dann würde ich am Ende auf
>
> [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm] + s1 [mm]\vektor{-2 \\ -3 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> + s2 [mm]\vektor{7 \\ -3 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> kommen!
>
> Dann hätte ich zwar meine 3 Vektoren, allerdings zweifel
> ich doch stark an der Richtigkeit meines Vorgehens ;)
Paß mal auf, du bist doch in deiner Aufgabe in einem 4dimensionalen Raum unterwegs, in dem sich alles abspielt. Wie kann es dann sein, daß deine Lösungsvektoren in einem 6dimensionalen Raum liegen? Richtig, das kann gar nicht sein!
Wenn du dir deine Vektoren etwas genauer anguckst, siehst du, daß im 1. Aggregat der 3. Vektor eine Linearkombination des 1. und des 2. Vektors ist, der aufgespannte U-Raum ist 2dimensional. Die Vektoren des 2. Systems sind anscheinend linear unabhängig, der aufgespannte U-Raum ist dann 3dimensional. Der Durchschnitt der beiden ist dann 2-, 1- oder 0dimensional.
Jetzt müßtest du mal prüfen, welche Vektoren denn da so drinliegen. Das heißt, für welche [mm] \lambda_{i} [/mm] die Gleichung
[mm] \lambda_{1}*\vektor{1 \\ 1 \\ -1 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda_{2}*\vektor{-1 \\ 1 \\ 1 \\ 1} [/mm] = [mm] \lambda_{3}*\vektor{4 \\ 3 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda_{4}*\vektor{2 \\ 8 \\ 1 \\ 1} [/mm] + [mm] \lambda_{5}*\vektor{10 \\ 4 \\ -10 \\ -3} [/mm]
gilt.
Dann kannst du deinen Durchschnitt beschreiben, und dann findest du auch 3 ('4dimensionale') Vektoren aus diesem Durchschnitt, es sei denn, er ist {0}, dann gibt es nur einen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:40 Di 22.08.2006 | | Autor: | Nizzer |
Vielen Dank erstmal das du mir versuchst zu helfen, obwohl das bei meinen Wissen nicht gerade leicht ist ^^
Das die Vektoren falsch waren aufgrund der Dimension, hatte ich mir eigentlich gedacht, aber mir viel einfach nichts besseres ein. Und ohne irgend eine Idee wollte ich auch nicht posten ;)
Nach deiner Formel würde dann folgende Lösungen möglich sein.
[mm] \lambda [/mm] = [mm] \vektor{\lambda_{1} \\ \lambda_{2} \\ \lambda_{3} \\ \lambda_{4} \\ \lambda_{5}} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] + s1 * [mm] \vektor{7 \\ -3 \\ 0 \\ 0 \\ 1}, [/mm] s1 [mm] \varepsilon \IR
[/mm]
ich denke mal das ist so richtig. Schön und gut, allerdings versage ich an dieser Stelle schon wieder und weiß gar nicht weiter. Ich hab jetzt zwar alle möglichen Darstellungen von [mm] \lambda [/mm] , aber kann irgendwie nichts damit anfangen.
Würdeste mir nochmal helfen? ;)
MFG
Niz
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:32 Di 22.08.2006 | | Autor: | statler |
Hi!
> Nach deiner Formel würde dann folgende Lösungen möglich
> sein.
>
> [mm]\lambda[/mm] = [mm]\vektor{\lambda_{1} \\ \lambda_{2} \\ \lambda_{3} \\ \lambda_{4} \\ \lambda_{5}}[/mm]
> = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm] + s1 * [mm]\vektor{7 \\ -3 \\ 0 \\ 0 \\ 1},[/mm]
> s1 [mm]\varepsilon \IR[/mm]
Den Vektor [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] kannst du weglassen, weil er sich ja für [mm] s_{1} [/mm] = 0 nochmal ergibt.
Jetzt hast du deine [mm] \lambda's [/mm] beschrieben, aber du möchtest doch deinen Unterraum beschreiben. Wenn du so eine mögliche Lösung in die Ursprungsgleichung
[mm] \lambda_{1}*\vektor{1 \\ 1 \\ -1 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda_{2}*\vektor{-1 \\ 1 \\ 1 \\ 1} [/mm] = [mm] \lambda_{3}*\vektor{4 \\ 3 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda_{4}*\vektor{2 \\ 8 \\ 1 \\ 1} [/mm] + [mm] \lambda_{5}*\vektor{10 \\ 4 \\ -10 \\ -3} [/mm]
einsetzt, siehst du doch sofort, daß im Durchschnitt die Vielfachen von [mm] \vektor{10 \\ 4 \\ -10 \\ -3} [/mm] liegen, oder? Also ist dein gesuchter U-Raum 1dimensional mit der Basis [mm] \vektor{10 \\ 4 \\ -10 \\ -3}.
[/mm]
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:04 Di 22.08.2006 | | Autor: | Nizzer |
Vielen Dank. Ich glaube ich habs begriffen ^^ Nur noch eine Frage zum sicher gehen: Der Prof wollte 3 Vektoren haben die in der Schnittmenge liegen.
Wäre meine konkrete Antwort auf die Frage nach den 3 Vektoren dann zum Bsp für [mm] \lambda [/mm] = 1
< [mm] \vektor{7 \\ 7 \\ -7 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{3 \\ -3 \\ 3 \\ 3} [/mm] , [mm] \vektor{-10 \\ -4 \\ 10 \\ 3} [/mm] >
Oder wie müsste die Antwort zum Bsp aussehen?
Danke
MFG Niz
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:50 Di 22.08.2006 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Vielen Dank. Ich glaube ich habs begriffen
Ich bin mir nicht sicher! Denn ...
> ^^ Nur noch eine
> Frage zum sicher gehen: Der Prof wollte 3 Vektoren haben
> die in der Schnittmenge liegen.
>
> Wäre meine konkrete Antwort auf die Frage nach den 3
> Vektoren dann zum Bsp für [mm]\lambda[/mm] = 1
>
> < [mm]\vektor{7 \\ 7 \\ -7 \\ 0}[/mm] , [mm]\vektor{3 \\ -3 \\ 3 \\ 3}[/mm] ,
> [mm]\vektor{-10 \\ -4 \\ 10 \\ 3}[/mm] >
... das stimmt so nicht.
Einzeln, also jeder für sich, liegen diese Vektoren [mm] \vektor{7 \\ 7 \\ -7 \\ 0}, \vektor{3 \\ -3 \\ 3 \\ 3} [/mm] nicht im Durchschnitt. Wo kommt der 2. überhaupt her?.
Aber die Vielfachen von [mm] \vektor{-10 \\ -4 \\ 10 \\ 3} [/mm] tun es. Wenn du noch 2 Vektoren brauchst, dann nimm z. B.
[mm] \vektor{10 \\ 4 \\ -10 \\ -3} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
(oder [mm] \vektor{-1000 \\ -400 \\ 1000 \\ 300} [/mm] meinetwegen)
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:05 Di 22.08.2006 | | Autor: | Nizzer |
Vielen Dank!
Nachdem ich meinen letzten Post gemacht hatte viel mir auch schon auf, das es falsch sein muss, weil es geht ja um Vektoren die im Unterraum liegen. Also müssen sie ein Vielfaches von [mm] \vektor{-10 \\ -4 \\ 10 \\ 3} [/mm] sein.
Bzw den habe ich bestimmt im vorhergegangen Post falsch genommen (und du übernommen? )
ich denke vielfache von [mm] \vektor{10 \\ 4 \\ -10 \\ -3}
[/mm]
ist zutreffender da er ja die Basis bildet. Sag mir bitte das das so korrekt ist ^^
Aber ich brauch bei solchen Sachen eh immer länger aber ich denke das ich es nun verstanden habe und hoffentlich in der Klausur erfolgreich anwenden kann.
Vielen Dank nochmal.
Aber ich meld mich bestimmt heute noch mal wieder wegen anderen Aufgaben ^^
MFG
Niz
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:18 Di 22.08.2006 | | Autor: | statler |
> Nachdem ich meinen letzten Post gemacht hatte viel mir auch
> schon auf, das es falsch sein muss, weil es geht ja um
> Vektoren die im Unterraum liegen. Also müssen sie ein
> Vielfaches von [mm]\vektor{-10 \\ -4 \\ 10 \\ 3}[/mm] sein.
>
> Bzw den habe ich bestimmt im vorhergegangen Post falsch
> genommen (und du übernommen? )
>
> ich denke vielfache von [mm]\vektor{10 \\ 4 \\ -10 \\ -3}[/mm]
Hi, die Vielfachen [mm] von\vektor{-10 \\ -4 \\ 10 \\ 3} [/mm] sind auch Vielfache von [mm] \vektor{10 \\ 4 \\ -10 \\ -3} [/mm] und umgekehrt (Warum?), deswegen habe ich ihn ganz absichtlich so übernommen.
Gruß
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:48 Di 22.08.2006 | | Autor: | Nizzer |
Also ich denke es macht keinen Unterschied, weil im Endeffeckt hast du damit nur die Positive seite mit der negativen vertauscht(würde ich jetzt einfach mal so sagen ^^). Wenn ich nur Mathe studieren würde, würde ich das bestimmt jetzt alles wiederlegen müssen etc, aber zum Glück ist das nicht so und ich akzeptiere es jetzt einfach mal.
Vielen Dank nochmal
Mfg
Niz
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