Schnittmengen zweier Ebenen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:46 Di 06.09.2005 | | Autor: | mr_di |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
erstmal möchte ich mich entschuldigen, falls meine Formeln nicht so gut aussehen, denn ich habe zwar versucht mit Tex hier zu arbeiten, aber ob das so richtig ist, weiß ich nicht.
also ich habe da ein Problem und hoffe jemand kann mir da weiterhelfen.
Folgende Aufgabe wurde gestellt, allerdings komme ich nicht weiter:
Gegeben seien zwei Ebenen:
[mm]E_1 := \lbrace \overrightarrow { x } \in [/mm] [mm] R^3 | \overrightarrow { x } = (1,3,0)^T+a(0,2,1)^T+b(1,-1,5)^T, a, b \in[/mm] R [mm]\rbrace[/mm]
und
[mm]E_2[/mm] := [mm] \lbrace[/mm] [mm] \overrightarrow { x } \in [/mm] [mm] R^3 [/mm] | [mm] \overrightarrow { x }[/mm]=[mm](0,4,-5)^T+c(1,1,6)^T+d(2,0,1)^T, c, d \in[/mm] R [mm]\rbrace[/mm]
ich habe daraus ein Gleichungssystem aufgestellt und die Ortsvektoren auf eine Seite, die Richtungsvektoren auf die andere Seite geschrieben.
[mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 5 }[/mm] = a[mm] \vektor{0 \\ -2 \\ -1 }[/mm] + b[mm]\vektor{-1 \\ 1 \\ -5 } [/mm] + c[mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 6 } [/mm] + d[mm]\vektor{2 \\ 0 \\ 1 }[/mm]
das habe ich dann versucht mit dem Gauß-Algorithmus Typ 4 zu lösen. Ich komme dann auf folgende Lösung:
III | A
0 | 0
0 | 0
0 | 0
------
1 | 0
1 | 1
1 | 0
0 | 0
0 | 1
Die Frage ist jetzt, was bedeutet das? Ist das überhaupt der richtige Ansatz? Was wäre, wenn III nicht komplett mit Nullen aufgefüllt wäre und ich noch auszeichnen könnte? Was steht dann eigentlich rechts, wenn es eine Gerade gibt, in dem sich beide Ebenen schneiden?
Ich weiß, viele Fragen, allerdings habe ich schon einiges durchgerechnet und komme nicht weiter.
Vielen Dank für die hoffentlich vielen Antworten.
Gruß
Dirk
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Hallo!
> Gegeben seien zwei Ebenen:
>
> [mm]E_1 := \lbrace \overrightarrow { x } \in[/mm] [mm]R^3 | \overrightarrow { x } = (1,3,0)^T+a(0,2,1)^T+b(1,-1,5)^T, a, b \in[/mm]
> R [mm]\rbrace[/mm]
>
> und
>
> [mm]E_2[/mm] := [mm]\lbrace[/mm] [mm]\overrightarrow { x } \in[/mm] [mm]R^3[/mm] |
> [mm]\overrightarrow { x }[/mm]=[mm](0,4,-5)^T+c(1,1,6)^T+d(2,0,1)^T, c, d \in[/mm]
> R [mm]\rbrace[/mm]
>
> ich habe daraus ein Gleichungssystem aufgestellt und die
> Ortsvektoren auf eine Seite, die Richtungsvektoren auf die
> andere Seite geschrieben.
>
> [mm]\vektor{1 \\ -1 \\ 5 }[/mm] = a[mm] \vektor{0 \\ -2 \\ -1 }[/mm] +
> b[mm]\vektor{-1 \\ 1 \\ -5 }[/mm] + c[mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 6 }[/mm] +
> d[mm]\vektor{2 \\ 0 \\ 1 }[/mm]
>
> das habe ich dann versucht mit dem Gauß-Algorithmus Typ 4
> zu lösen. Ich komme dann auf folgende Lösung:
>
> III | A
> 0 | 0
> 0 | 0
> 0 | 0
> ------
> 1 | 0
> 1 | 1
> 1 | 0
> 0 | 0
> 0 | 1
Ich kenne zwar den Gauß-Algorithmus, weiß aber nicht, was Typ 4 bedeutet. Und irgendwie verstehe ich nicht, was du hier aufgeschrieben hast. Ich schreibe beim Gaußalgorithmus immer komplette Matrizen hin - das hast du hier ja wohl nicht gemacht.
> Die Frage ist jetzt, was bedeutet das? Ist das überhaupt
> der richtige Ansatz? Was wäre, wenn III nicht komplett mit
> Nullen aufgefüllt wäre und ich noch auszeichnen könnte? Was
> steht dann eigentlich rechts, wenn es eine Gerade gibt, in
> dem sich beide Ebenen schneiden?
Also, es ist der richtige Ansatz ein Gleichungssystem aufzustellen und zu lösen. Wie gesagt, dein "Lösen" verstehe ich irgendwie nicht. Eigentlich müsstest du am Ende eine Abhängigkeit herausbekommen, du hast ja vier Variablen und nur drei Gleichungen. Und diese Abhängigkeit ist dann deine Geradengleichung.
Ich hätte da aber noch eine alternative Lösungsmöglichkeit:
Wandle doch eine der beiden Ebenengleichungen in einer Koordinatenform um. Ich habe das mal gerade mit der zweiten Ebene gemacht und erhalte [mm] x_1+11x_2-2x_3=54 [/mm] (aber keine Garantie für Richtigkeit!). Nun kannst du für [mm] x_1 [/mm] einfach die "erste Zeile" der ersten Ebenenform einsetzen, also 1+0*a+1*b, für [mm] x_2 [/mm] die zweite usw. Dann erhältst du eine Gleichung mit zwei Unbekannten, die du nun auch nach einer der beiden Variablen auflösen kannst. So erhältst du dann eine Geradengleichung - ich erhalte [mm] a=1+\bruch{3}{4}b [/mm] - das wäre dann meiner Meinung nach die gesuchte Schnittgerade.
Hilft dir das was?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:54 Di 06.09.2005 | | Autor: | mr_di |
Hi,
also erstmal vielen Dank für deine Antwort. Ich versuche mal zu erklären, was dir noch unklar war in meiner Frage.
Typ 4 beim Gauß-Algorithmus bedeutet (für mich), daß du folgendes ausgangsschema hast
I II III | A
Richtungsvektoren | Ortsvektor
----------------------------------------
Einheitsvektoren | Nullen
0 0 0 | 1
also in diesem Fall würde das so aussehen:
I II III IV | A
0 -1 1 2 | 1
-2 1 1 0 | -1
-1 -5 1 1 | 5
---------------
1 0 0 0 | 0
0 1 0 0 | 0
0 0 1 0 | 0
0 0 0 1 | 0
0 0 0 0 | 1
nachdem ich jetzt die Pivoelemente ausgewählt habe und die Spalten getilgt habe, bleibt halt in meinem Fall die Form übrig, die ich aufgeschrieben habe. So wie ich das sehe gibt es jetzt zwei Möglichkeiten entweder gibt es keine Lösung und sie schneiden sich nicht oder es gibt unendlich viele Lösungen, weil sie identisch sind. Ich würde ja zu letzterem tendieren, aber genau weiß ich es nicht.
Wobei ich nicht ausschliessen möchte, daß ich mich verrechnet habe. Sowas passiert ja leider schnell. Allerdings haben wir das mal so gemacht und dann die Geradengleichung aus der Lösung abgelesen. Nur weiß ich nicht mehr wie.
Wie hast du die Ebene in diese Koordinatenform umgewandelt?
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Hallo!
> nachdem ich jetzt die Pivoelemente ausgewählt habe und die
> Spalten getilgt habe, bleibt halt in meinem Fall die Form
> übrig, die ich aufgeschrieben habe. So wie ich das sehe
> gibt es jetzt zwei Möglichkeiten entweder gibt es keine
> Lösung und sie schneiden sich nicht oder es gibt unendlich
> viele Lösungen, weil sie identisch sind. Ich würde ja zu
> letzterem tendieren, aber genau weiß ich es nicht.
Also, zwei Ebenen müssen sich doch im [mm] \IR^3 [/mm] schneiden, oder nicht? Außer sie sind identisch, aber das würde ich dann auch "schneiden" nennen (sie schneiden sich dann halt überall  ).
> Wie hast du die Ebene in diese Koordinatenform umgewandelt?
Normalerweise mache ich das, indem ich einfach die erste "Zeile" der Gleichung als [mm] x_1 [/mm] schreibe, die zweite Zeile als [mm] x_2 [/mm] und die dritte entsprechend (also jeweils die erste (bzw. zweite bzw. dritte Koordinate vom Stützvektor und von den beiden Spannvektoren und natürlich die Variablen auch noch dazu). Und dann diese drei Gleichungen so umforme, dass sich die Variablen "wegkürzen" und alle [mm] x_i [/mm] in einer Gleichung stehen. Das ist dann die Koordinatengleichung.
Diesmal habe ich es aber über die Normalenform (ich hoffe, die heißt so...) gemacht. Also das Vektorprodukt der beiden Spannvektoren berechnet - das ist dann der Normalenvektor. Und dann kann ich direkt die Normalenform aufstellen. Diese wiederum kann ich, indem ich die Klammer ausmultipliziere, in die Koordinatenform umwandeln.
Habt ihr so etwas nie gemacht? Und hast du kein Buch, wo das vielleicht erklärt ist? Falls es noch unklar ist und du diesen Weg mal versuchen möchtest, frag ruhig nach, notfalls rechne ich es dir mal an deiner Ebene vor.
Viele Grüße
Bastiane
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Hallo!
[mm] \red{\mbox{Edit: Man beachte die Korrekturen in rot...}}
[/mm]
> Also mit dem Schneiden hast du Recht  Das ist mir jetzt
> auch klar. Trotzdem können sie doch auch parallel sein und
> dann schneiden sie sich nicht, soweit ich das weiß.
![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]") Natürlich können sie auch parallel sein.
> Wenn es dir nichts ausmacht, wäre es echt super, wenn du
> mir das ganze mal an einer Ebene vorrechnest. Denn leider
> ist das schon sehr lange her und ein Buch habe ich auch
> nicht gefunden, wo das mal ganz einfach erklärt ist.
Ok, also die Ebene war:
[mm] E_x:\vec{x}=\vektor{0\\4\\-5}+c\vektor{1\\1\\6}+d\vektor{2\\0\\1}
[/mm]
Die erste "Zeile" schreiben wir als [mm] x_1:
[/mm]
[mm] x_1=0+c+2d
[/mm]
mit den beiden anderen Zeilen machen wir das analog:
[mm] x_2=4+c
[/mm]
[mm] x_3=-5+6c+d
[/mm]
Nun lösen wir z. B. mal die erste Gleichung nach d auf:
[mm] d=0,5x_1-0,5c
[/mm]
Die zweite Gleichung lösen wir nach c auf:
[mm] c=x_2-4
[/mm]
Und beides setzen wir jetzt in die dritte Gleichung ein:
[mm] x_3=-5+6x_2-24+0,5x_1-0,5(x_2-4)
[/mm]
[mm] \gdw x_3=-29+5,5x_2+0,5x_1 [/mm] +2
[mm] \gdw [/mm] 27 [mm] =0,5x_1+5,5x_2-x_3
[/mm]
Und das ist unsere Koordinatenform (Rechenfehler nicht ausgeschlossen)
Oder über den zweiten Lösungsweg:
Wir berechnen einen Normalenvektor mit dem Vektorprodukt:
[mm] \vektor{1\\1\\6}\times\vektor{2\\0\\1} [/mm] = [mm] \red{\vektor{1\\11\\-2}} [/mm] - hatte ich das letztens auch raus?
Nun ist unsere Normalengleichung (wenn sie denn so heißt...):
[mm] (\vec{x}-\vektor{0\\4\\-5})*\vektor{1\\11\\-2}=0
[/mm]
Wenn wir nun die Klammer einfach ausmultiplizieren, erhalten wir:
[mm] x_1+11x_2-2x_3-44-10=0
[/mm]
[mm] \gdw x_1+11x_2-2x_3=54
[/mm]
Das wäre also auch eine mögliche Koordinatenform (hatte ich die letztens auch raus?). Beachte, dass die Koordinatenform nicht eindeutig ist und somit beide Lösungen stimmen können (sofern ich mich nicht verrechnet habe).
Falls noch etwas unklar ist, frag ruhig.
Viele Grüße
Bastiane
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:26 Mi 07.09.2005 | | Autor: | mr_di |
Hi,
also ich habe das jetzt soweit verstanden. Dafür erstmal Danke.
Allerdings müsste ich das ganze doch auch anstatt einzeln in die Koordinatenform zu bringen mit dem Gaußalgorithmus lösen können oder? Eigentlich müsste ich doch die Lösung dann ablesen können?
Problem ist nämlich, daß ich das für eine Klausur brauche und da im Prinzip so schnell wie möglich sein muss.
Viele Grüße
dirk
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Hallo!
Sorry, aber ich habe da durch deinen Gauß-Algorithmus immer noch nicht durchgeblickt, leider auch nicht die Motivation mich länger damit zu beschäftigen... Hoffentlich hilft dir da noch jemand anders.
Ich habe die Aufgabe mal nach meinem Gauß-Algorithmus gelöst:
[mm] \pmat{0&1&-1&-2 | -1\\2&-1&-1&0 | 1\\1&5&-6&-1 | -5} \to \pmat{0&1&-1&-2 | -1\\0&-11&11&2 | 11\\1&5&-6&-1 | -5} \to \pmat{0&1&-1&-2 | -1\\0&0&0&-20 | 0\\1&5&-6&-1 | -5}
[/mm]
also folgt: d=0
b-c=-1 [mm] \gdw [/mm] b=-1+c
a+5(-1+c)-6c=-5 [mm] \gdw [/mm] a-5+5c-6c=-5 [mm] \gdw [/mm] a=c
einsetzen in die erste Ebenengleichung ergibt:
[mm] g:\vec{x}=\vektor{1\\3\\0}+c\vektor{0\\2\\1}+(-1+c)\vektor{1\\-1\\5} [/mm] = [mm] \vektor{0\\4\\-5}+c\vektor{1\\1\\6}
[/mm]
Ich hoffe, ich habe mich nicht verrechnet...
Wäre das eine Lösung in der Art, wie du es brauchst?
Viele Grüße
Bastiane
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:51 Mi 07.09.2005 | | Autor: | mr_di |
Hi,
ja das hilft mir weiter. Allerdings sehe ich, daß ich noch andere Gauß-Algorithmen kenne, aber das Prinzip bleibt das selbe.
Ich habe jetzt aber eine zweite Möglichkeit gefunden erstmal zu schauen, ob es überhaupt eine Lösung gibt. Man braucht nur zu schauen, ob die beiden Ortsvektoren mit jeweils einem Ortsvektor der anderen Gleichung eine Determinante = 0 ergeben. Wenn eine davon nicht 0 ist, schneiden sich die Ebenen, dann geht man halt so vor, wie du beschrieben hast.
Wobei mir nicht ganz klar war, daß sich die gefundenen Geradengleichungen natürlich unterscheiden können. Je nachdem nach welchen Parametern man auflöst
Vielen Dank aber nochmal für alles.
Liebe Grüße
dirk
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:57 Mi 07.09.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Freut mich, dass ich dir letztendlich doch helfen konnte.
Ist deine Frage damit komplett beantwortet? Dann stelle ich sie nämlich auch auf grün. Ansonsten bleibt sie noch auf halb beantwortet...
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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