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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:46 Di 04.03.2008 | | Autor: | nescius |
| Aufgabe | Ich habe eine Ebene mit drei Punkten gegeben E[(0,1,1);(1,1,0);(1,0,1)]
und ein Gerade G[(0.5 ,0,0),(1,1,1). Diese schneiden sich in einem Punkt.
Wo liegt der Punkt? |
Hallo zusammen,
das Thema Ebene und Geraden ist schon etwas her, also hoffe ich auf eure Hilfe.
Ich weis das ich mit den drei Punkten eine eine Ebene Gleichung in Vektorform aufstellen kann. Mit den zwei Punkte der Geraden kann ich eine Geradengleichung in Vektorformaufstellen.
Die Ebengleichung müsste sein [mm] Egl\vektor{0\\ 0\\ 2}
[/mm]
Die Geradengleichung müsste sein [mm] Ggl\vektor{1\\1.5\\1}
[/mm]
Wie kann ich das jetzt gleich setzen bzw. wie bekomme ich daraus vernünftige Gleichung? Sind meine Vektorgleichungen richtig(kann sein das ich Richtungsvektor und Ortsvektor vertauscht habe)?
Viele Dank im Vorraus
nescius
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Hallo nescius,
eine Ebenengleichung in Parameterform sollte so aussehen:
$E: [mm] \vec{x}=\vektor{a_1 \\ a_2 \\ a_3}+\mu\vektor{b_1 \\ b_2 \\ b_3}+\nu\vektor{c_1 \\ c_2 \\ c_3} [/mm] ; [mm] \mu,\nu \in \IR$
[/mm]
Die kann man dann in eine Koordinatenform umrechnen:
$ E: [mm] n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3+d=0 [/mm] $
Da kann man die Geradengleichung der Form
$ g: [mm] \vec{x}=\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}=\vektor{d_1 \\ d_2 \\ d_3}+\lambda\vektor{e_1 \\ e_2 \\ e_3} [/mm] ; [mm] \lambda \in \IR$
[/mm]
einsetzen, nach dem Parameter [mm] $\lambda$ [/mm] auflösen und diesen wiederum in die Geradengleichung einsetzen, um den Schnittpunkt zu bekommen.
[mm] $\vec{a}$ [/mm] und [mm] $\vec{d}$ [/mm] sind Aufpunkte/Ortsvektoren, [mm] $\vec{b}, \vec{c}$ [/mm] und [mm] $\vec{e}$ [/mm] sind Richtungsvektoren, die du aus deinen gegebenen Punkten basteln musst.
Wie du auf das
> [mm]Egl\vektor{0\\ 0\\ 2}[/mm]
> [mm]Ggl\vektor{1\\1.5\\1}[/mm]
kommst, ist mir nicht klar.
Gruß
Slartibartfast
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:39 Mi 05.03.2008 | | Autor: | nescius |
Hallo!
Du hast Recht! ich habe ignoranterweise das [mm] \lambda [/mm] das v und das [mm] \mu [/mm] weggelassen und die Vektoren addiert. Ist natürlich schwachsinn.
Aber der Schritt von der Parametergleichung zur Koordinatengleichung den habe ich eigentlich gesucht. Es wäre gut wenn du mir dabei helfen könntest.
Gruß
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Hi!
Der einfachste Weg läuft hier über das Vektor-Kreuz-Produkt. Wenn du die beiden Richtungsvektoren kreuzt erhälst du direkt den Normalenvektor: [mm] \vektor{n_1 \\ n_2 \\ n_3}. [/mm]
Wenn du dann nóch den Normalenvektor mit dem Stützvektor mit Hilfe des Skalarprodukt muliplizierst erhälst du die Zahl, die auf der rechten Seite der Ko-Form steht.
Viele Grüße Patrick
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