Schnittpunkt - Gerade / Kreis < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist
der Kreis k mit der Gleichung [mm] 25=[\vec{x}-\vektor{2 \\ 5}²] [/mm] und der Koordinatengleichung x²-4x+y²-10y=-4
und die Gerade g: [mm] \vec{x}=\vektor{2 \\ 7}+k*\vektor{3 \\ 4}.
[/mm]
Berechne die Schnittpunkte A und B der Graden mit dem Kreis.
Mein Lösungsansatz:
x=3k+2 y=4k+7
(3k+2)²-4(3k+2)+(4k+7)²-10(4k+7)=-4
[mm] \gdw [/mm] 9k²+12k+4-12k-8+16k²+56k+49-40k-70=-4
[mm] \gdw [/mm] 25k²+16k-21=0
[mm] \gdw k²+\bruch{16}{25}-\bruch{21}{25}=0 [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Die Aufgabe habe ich in meiner letzten Mathearbeit bekommen und ich komme einfach nicht auf die richtige Lösung, obwohl es laut meinem Lehrer beide Punkte berechnet werden könnten. Die Formel sieht ja schon zum Schluss sehr komisch aus, aber wenn ich sie in die p-q-Formel einsetze, wird der Radiant negativ, so dass es eigentlich keine Schnittpunkte geben sollte.
Kann sich jemand das bitte einmal ansehen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:41 Mo 14.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
sofern Du richtig gerechnet hast, steht doch am Ende da:
[mm] k^2-\frac{5}{25}=0
[/mm]
und damit
[mm] k=\pm \frac{1}{\sqrt{5}}
[/mm]
Leider hattest Du Dich vertippt:
Am Ende hätte dort
$ [mm] \gdw k²+\bruch{16}{25}k-\bruch{21}{25}=0 [/mm] $
stehen müssen, mit [mm] $p=\frac{16}{25}$ [/mm] und [mm] $q=-\frac{21}{25}$
[/mm]
wäre dann
[mm] $k_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$
[/mm]
[mm] $=-\frac{8}{25}\pm \sqrt{\frac{64-(-21)*25}{25^2}}$
[/mm]
[mm] $=-\frac{8}{25}\pm \frac{\sqrt{589}}{25}$
[/mm]
(Beachte, dass die Gleichung der Form
[mm] $x^2+px+q=0$
[/mm]
(unter der Voraussetzung, dass alles im rellen definiert ist) die Lösungen [mm] $x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$ [/mm] hat (der Beweis dazu geht übrigens über quadratische Ergänzung).
D.h., um $p$ und $q$ hier ablesen zu können, schreibst Du einfach:
[mm] $k²+\frac{16}{25}k-\bruch{21}{25}=0$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $k^2+\underbrace{\frac{16}{25}}_{=p}*k+\underbrace{\left(-\frac{21}{25}\right)}_{=q}=0$.)
[/mm]
P.S.:
Zur Kontrolle:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß,
Marcel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:41 Mo 14.01.2008 | | Autor: | Maggons |
Huhu
Spontan hätte ich für k
k= -1,291 und k=0,65077
Ich hoffe du hast in deiner letzten Zeile das k beim 2. Summand vergessen und nicht einfach unter den Tisch fallen lassen.
wieso sollte das nicht aufgehen?
Ich kann leider, zu meiner Schande, die p-q-Formel nicht so ganz aber wenn es mit meiner quadratischen Ergänzung geht, sollte es auch mit der p-q-Formel gehen.
Die Schnittpunkte lägen dann [mm] bei\approx
[/mm]
[mm] \vektor{-1,872 \\ 1,84} [/mm] und [mm] \vektor{3,95 \\ 9,603}.
[/mm]
Ich weiß nicht, ob du dich nur bei der pq- Formel irgendwo vertan hast; schätze ich einfach mal :/
Lg
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