Schnittpunkt Exp.-Funktionen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:01 So 06.05.2007 | | Autor: | just_me |
| Aufgabe | Die Bevölkerung des Staates Atlantis (50 Mill.) wächst jährlich um 3%, die des Staates Utopia (100 Mill.) wächst jährlich um 1%.
Nach wievielen Jahren hat Atlantis ebensoviele Einwohner wie Utopia? |
hey,
ich häng ein bisschen an oben genannter aufgabe..
ich hab erstmal funktionsgleichungen aufgestellt:
Atlantis: [mm]y = 50 \cdot (1,03)^x[/mm]
Utopia: [mm]y = 100 \cdot (1,01)^x[/mm]
dann dacht ich mir, wenn ich die gleiche anzahl der bevölkerung haben möchte, such ich den schnittpunkt der graphen, d.h. ohne zu zeichnen, ich nehme mal das einsetzungsverfahren..
[mm]50 \cdot (1,03)^x = 100 \cdot (1,01)^x[/mm]
ich krieg es aber partout nicht hin, die gleichung nach x aufzulösen! vielleicht funktioniert das einsetzungsverfahren ja gar nicht bei exponentialfunktionen? wir haben die in der letzten stunde erst angefangen, daher hab ich eigentlich noch gaar keine ahnung..
hat jemand vielleicht einen tipp, denkanstoß oder sonstwas für mich? :)
lg,
just_me
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:13 So 06.05.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Der Ansatz ist korrekt.
$ 50 [mm] \cdot (1,03)^x [/mm] = 100 [mm] \cdot (1,01)^x [/mm] $ |:100
[mm] \gdw\bruch{1}{2}*(1,03)^{x}=(1,01)^{x} |:(1,03)^{x}
[/mm]
[mm] \gdw\bruch{1}{2}=\bruch{(1,01)^{x}}{(1,03)^{x}}
[/mm]
[mm] \gdw\bruch{1}{2}=\left(\bruch{1,01}{1,03}\right)^{x}
[/mm]
[mm] \gdw\bruch{1}{2}=0,98^{x}
[/mm]
[mm] \Rightarrow x=log_{0,98}\bruch{1}{2}
[/mm]
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 So 06.05.2007 | | Autor: | just_me |
hey,
danke für deine schnelle antwort!
so ähnlich hatte ich das auch schon probiert, aber bei dem vorletzten schritt bin ich dann nicht mehr weitergekommen - das lässt sich also nicht ohne logarithmus lösen? das hatte wir nämlich noch nicht...
lg
just_me
|
|
|
| |
|
Hallo just_me,
> hey,
>
> danke für deine schnelle antwort!
> so ähnlich hatte ich das auch schon probiert, aber bei dem
> vorletzten schritt bin ich dann nicht mehr weitergekommen -
> das lässt sich also nicht ohne logarithmus lösen? das hatte
> wir nämlich noch nicht...
>
wenn Ihr den Logarithmus "offiziell" noch nicht kennt, sollt Ihr vielleicht durch "gezieltes Raten" die Lösung suchen:
Probier mal: x=32, ..., 35
Habt Ihr schon mal 'was von Intervallschachtelung gehört?
such zuerst die Zahl, die das "beste" Ergebnis liefert.
Dann kannst du ja noch die erste Kommastelle hinzunehmen, um dein Ergebnis zu verfeinern...
Gruß informix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:58 So 06.05.2007 | | Autor: | rabilein1 |
Ich habe da etwas anderes raus (allerdings auch mit Logarithmus). und zwar:
[mm] x=\bruch{log2}{log1,03-log1,01}=35,29 [/mm] (Jahre)
In die Ursprungsgleichung eingesetzt ergibt das für beide Städte eine Bevölkerung von rund 142 Mio
|
|
|
|
