Schnittpunkt: Gerade Kugel < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:58 Fr 06.02.2009 | | Autor: | Schobbi |
Guten Morgen zusammen vielleicht kann mir jemand bei folgender Aufgabe etwas unter die Arme greifen:
Es geht darum, dass in einem Würfel mit der Kantenlänge von 10LE eine Kugel mit dem Radius von 5LE und dem Mittelpunkt M(5/5/5) einbeschrieben ist. Nun soll eine Gerade durch die Punkte (10/0/10) und (0/10/0) konstruiert werden und der Schnittpunkt mit der Kugel berechnet werden.
Ach ja, die hintere, linke, untere Ecke des Würfels steht natürlich im Koordinatenursprung.
Mein Ansatz war der folgende:
Für die Gerade g gilt: [mm] g:\overrightarrow{x}=\vektor{10 \\ 0 \\10}+t\vektor{-10 \\ 10 \\-10}
[/mm]
Nun habe ich vor eine Ebene E zu konstruiern die senkrecht auf g steht und den Abstand 5LE vom Mittelpunkt der Kugel hat. Letztendlich müsste der Schnittpunkt von g und E der Gesucht sein, oder?
E: -10x+10y-10z=a mit [mm] |\overrightarrow{n}|=10\wurzel{3}
[/mm]
Für den Abstand von M zur E gilt dann:
[mm] \bruch{1}{10\wurzel{3}}\vektor{-10 \\ 10 \\ -10}[\vektor{10 \\ 0 \\ 10}+(5)*\bruch{1}{10\wurzel{3}}\vektor{-10 \\ 10 \\ -10}]-\bruch{a}{10\wurzel{3}}=0
[/mm]
Löst man dies nach a auf so erhalte ich [mm] a=50\wurzel{3}-200
[/mm]
Durch Einsetzen von g in E erhalte ich:
[mm] -10(10-10t)+10(10t)-10(10-10t)=50\wurzel{3}-200
[/mm]
Also [mm] t=\bruch{1}{6}\wurzel{3}
[/mm]
Somit ergibt sich wiederum als Schnittpunkt
[mm] \vektor{10 \\ 0 \\10}+(\bruch{1}{6}\wurzel{3})\vektor{-10 \\ 10 \\-10}=\vektor{10- \bruch{5}{3}\wurzel{3}\\ \bruch{5}{3}\wurzel{3} \\10-\bruch{5}{3}\wurzel{3}}\approx\vektor{7,11 \\ 2,88\\7,11}
[/mm]
Ist da sp okay, oder gibt es da eine andere Lösungsmöglichkeit??
Danke schon mal im Voraus!!
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Ich würde dir vor allem einmal empfehlen, nicht
alle diese Zehnerfaktoren durch die Rechnung zu
schleppen ! Man kann doch den Richtungsvektor
der Geraden kürzen.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:08 Fr 06.02.2009 | | Autor: | fred97 |
Wozu Du die Ebene brauchst ist mir nicht klar.
Die Kugel hat die Gleichung (*) [mm] (x-5)^2+ (y-5)^2+ (z-5)^2 [/mm] = 25
Sei [mm] \vektor{x \\ y \\z} [/mm] ein Schnittpunkt der Geraden und der Kugel. Dann gibt es ein t mit:
x = 10-10t
y= 10t
z= 10-10t
und x,y,z erfüllen (*). Damit kannst Du t brechnen (es gibt 2 Lösungen !!)
FRED
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