Schnittpunkt bestimmen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Huhu
also nochmal! brauche hilfe bei der berechnung folgender aufgabe:
AUFGABE: Zeige, dass die Geraden g1 und g2 in einem Punkt S sich schneiden!
[mm] \verktor{1;-1;-4}+r \vektor{2\\-4\\7} [/mm] und [mm] \verktor{-1 ;2; 0}+s \vektor{-2\\3\\4}
[/mm]
ich weiß das man die Gleichsetzen muss, aber wie und was da raus kommt bzw. der weg? keine ahnung! bitte echt um hilfe
p.s. wegen den ; zwischen den Zahlen sollten eigentlich Klammern hin aber nicht nur das ich zu blöd zum rechnen bin ich weiß auch nicht wie man diese zeichen macht 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:44 So 09.01.2005 | | Autor: | pierre |
Also: Bei den Vektoren kannst du aus den einzelnen Komponenten Gleichungen erstellen. d.h. wenn du das in normaler Vektorschreibweise aufschreibst, gibt dir jede Zeile eine Gleichung. In deinem Fall haben wir 3 Gleichungen (eine für die x-Komponente, y-Komponente und die z-Komponente) und 2 Unbekannte, nämlich r und s. Das heisst wir haben ein überbestimmtes Gleichungssystem. (Das heisst, du musst nur 2 Zeilen auswählen und mit der dritten kannst du dein Resultat korrigieren.
[mm] \vektor{1\\-1\\-4}+r \vektor{2\\-4\\7} [/mm] = [mm] \vektor{-1\\2\\0}+s \vektor{-2\\3\\4}
[/mm]
jetzt kannst du 2 beliebige Zeilen wählen und 2 Gleichungen aufstllen. Ich nehme Zeile 1 und 3.
[mm] \Rightarrow [/mm] 1+r * 2=-1+s * -2 und -4+r * 7=0+s * 4
das kannst du locker auflösen und erhälst für r=0 und s=-1
Das kannst du zur Kontrolle in die 2 Zeile einsetzen
[mm] \Rightarrow [/mm] -1+0 * -4=2+-1 * 3
somit siehst du, dass du richtig gerechnet hast.
jetzt kannst du r und s in deine ursprünglichen Geraden einsetzen und erhälst den Punkt (1/-1/-4) Das ist nun dein gesuchter Schnittpunkt.
Falls du aber keine lösung bekommst und du sicher bist richtig gerechnet zu haben, schneiden sich die Geraden nicht.
hoffe, ich konnte dir helfen...
greez pierre
ps: dasselbe geht natürlich auch, wenn du eine Ebene mit einer Geraden schneiden musst. dann hast du 3 Gleichungen und 3 Unbekannte.
Wenn du 2 Ebenen schneiden musst, bleibt eine Unbekannte übrig, welcher dan der Parameter der Schnittgerade ist.
Wenn du 3 Ebenen schneidest, kriegt man ja einen Punkt. den erhälst du, wenn du jeweils 2 Ebenen miteinander schneidest und somit 2 Schnittgeraden erhälst. mit diesen 2 Geraden kannst du wie in deinem Beispiel den Schnittpunkt bestimmen.
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Okay soweit versteh ich ABER wie kann man eine Gleichung auflösen, in der zwei Variablen vorkommen? Ich weiß ich habe echt in der 7,8,9 und 10 Klasse in Mathe gefehlt :-(
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Gut, dann rechnen wir die Aufgabe mal ausführlich durch.
Zuerstmal: wenn man mehrere Variablen, und mehrere Gleichungen hat, dann nennt sich das ein "Lineares Gleichungssystem" (LGS).
Wir haben hier zwei Unbekannte, und drei Gleichungen. Zum 'einfach nur lösen' würden uns zwei Gleichungen reichen, d.h. die dritte bleibt uns übrig, um damit die Probe zu machen (und in der Probe sehen wir dann, ob's auch wirklich einen Schnittpunkt gibt).
Ich schreib die drei Gleichungen nochmal auf:
[mm]1+2r=-1-2s[/mm] [mm]|+2s\ |-1[/mm]
[mm]-1-4r=2+3s[/mm] [mm]|-3s\ |+1[/mm]
[mm]-4+7r=4s[/mm] [mm]|-4s\ |+4[/mm]
Jetzt ein wenig umformen - ich bringe alle Variablen auf eine Seite, und die konstanten Zahlen auf die andere Seite (also das, was ich hinter die Gleichungen geschrieben habe):
[mm]2r+2s=-2[/mm]
[mm]-4r-3s=3[/mm]
[mm]7r-4s=4[/mm]
Um für r und s Lösungen zu finden, brauche ich nur zwei dieser drei Gleichungen. Dafür nehme ich einfach (willkürlich) die ersten beiden Gleichungen, und "spare" mir die dritte Gleichung für die Probe auf.
[mm]2r+2s=-2[/mm]
[mm]-4r-3s=3[/mm]
Um in der zweiten Gleichung das r wegzubekommen, multipliziere ich die erste Gleichung mit 2, und addiere die beiden Gleichungen.
Das kann man einfach im Kopf rechnen, was dann passiert, ich beschreib es mal kurz, bevor ich den nächsten Schritt hinschreibe:
Was passiert mit dem r? [mm]2 \cdot 2r + (-4r)\ =\ 4r-4r\ =\ 0[/mm] (genau das wollten wir ja).
Was passiert mit dem s? [mm]2 \cdot 2s + (-3s)\ =\ 4s-3s\ =\ s[/mm]
Was passiert mit den Zahlen? [mm]2 \cdot (-2) + 3\ =\ -4+3\ =\ -1[/mm]
Somit bleibt nach der Aktion "2 mal erste Gleichung plus zweite Gleichung" das folgende LGS übrig (die erste Zeile bleibt unverändert, nur die zweite Zeile wird ersetzt):
[mm]2r+2s=-2[/mm]
[mm]s=-1[/mm]
Aus der zweiten Gleichung kann man direkt [mm]s=-1[/mm] ablesen.
Durch Einsetzen in die erste Gleichung erhält man: [mm]2r+2 \cdot (-1) =-2[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]2r-2=-2[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]2r=0[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]r=0[/mm].
Also hat die Rumrechnerei mit den ersten beiden Gleichungen folgenden Lösungen gebracht: [mm]s=-1[/mm], und [mm]r=0[/mm].
Jetzt das wichtigste: die Probe in der dritten Gleichung [mm]7r-4s=4[/mm]:
[mm]7 \cdot 0 - 4 \cdot (-1)\ =\ 0+4\ =\ 4[/mm], also wahre Aussage, und somit schneiden sich die beiden Geraden in einem Punkt.
Wenn du jetzt noch den Schnittpunkt brauchst, dann setzt du entweder das [mm]s=-1[/mm] in die Geradengleichung ein, die das s enthält, oder eben das [mm]r=0[/mm] in die Geradengleichung, in der das r steht. Und (wieder) als Probe (ob du dich beim Einsetzen verrechnet hast) kannst du natürlich beides machen, es müsste sich beide Male derselbe Schnittpunkt ergeben (bzw. "Ortsvektor des Schnittpunktes", um's mathematisch korrekt auszudrücken).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:51 So 09.01.2005 | | Autor: | candyblues |
Vielen vielen vielen vielen vielen vielen vielen vielen vielen vielen vielen vielen vielen vielen vielen vielen vielen vielen vielen HERZLICHEN DANK!
Ich bewundere euch wirklich
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